Astronomija

Gaukite standartinių koordinačių sistemos liestinį tašką (kilmę)

Gaukite standartinių koordinačių sistemos liestinį tašką (kilmę)


We are searching data for your request:

Forums and discussions:
Manuals and reference books:
Data from registers:
Wait the end of the search in all databases.
Upon completion, a link will appear to access the found materials.

Ankstesniame klausime (Pikselių koordinates (FITS faile) paverskite pusiaujo formomis) Robas pateikė puikų šaltinį, kuriame aprašomas dangaus koordinačių stebėjimo lauke esančių objektų gavimo procesas.

Šaltinis mini liestinis taškas aprašant standartinių koordinačių sistemą:

Tai objekto RA ir DEC projekcija ant dangaus liestinės plokštumos, t. Y. Dangaus sferą liečianti plokštuma, kuri kerta dangų liestinės taške (kuris yra paprastai šiek tiek atsveria vaizdo centras). X koordinatė suderinta su RA, o Y koordinatė - su DEC. The standartinės sistemos kilmė yra paveikslėlio liestiniame taške.

Aš manyčiau, kad liestinis taškas (ty standartinės koordinačių sistemos pradžia) bus stebimo lauko centre. Akivaizdu, kad tai nėra teisinga, todėl kyla klausimų:

  1. Kodėl liestinis taškas paprastai atsveriamas nuo vaizdo centro? (Žr. Toliau pateiktą redagavimą)
  2. Kaip gaunamas liestinės taškas $ ( alpha_0, delta_0) $?

Redaguoti

Atsakymą į pirmąjį klausimą radau knygoje „Astronominio vaizdo apdorojimo vadovas“, Berry, R. & Burnell, J. (Willmann-Bell, Antrasis leidimas, 2005).

Šios knygos 9 skyriuje aptariama astrometrija. Standartinės koordinatės pateikiamos 253 puslapyje, o efektai, trikdantys liestinės tašką $ ( alpha_0, delta_0) $, aptariami 254 puslapyje:

Tačiau realiame gyvenime $ ( alpha_0, delta_0) $ neišvengiamai yra šiek tiek atokiau nuo vaizdo centro, o detektoriaus x ir y ašys bus pasuktos tam tikru kampu. (...) Be poslinkio ir sukimosi, detektorius gali būti šiek tiek pakreiptas, palyginti su įeinančia šviesa; gamintojo pateikti pikselių matmenų skaičiai, esant CCD veikimo temperatūrai, gali būti šiek tiek netikslūs; o nuskaitytų nuotraukų atveju ašys gali būti ne visiškai stačios ir vienodo mastelio.

(9.2 pav., Autorių autorių teisės)

Tačiau 258 puslapyje (paaiškinę, kaip gauti X, Y iš žinomų etaloninių žvaigždžių padėties rėmelyje) autoriai X, Y koordinates paverčia pusiaujo koordinatėmis darant prielaidą, kad $ ( alpha_0, delta_0) $ yra „dabar žinomi“.

Galbūt praleidau kažką akivaizdaus, bet ankstesniuose puslapiuose nematau, kur gaunamos šios koordinatės. Taigi 2 klausimas tebėra galiojantis.


Gaukite standartinių koordinačių sistemos - astronomijos - liestinį tašką (kilmę)

Iki šio skyriaus pabaigos galėsite:

  • Apibūdinkite vektorius dviem ir trimis matmenimis pagal jų komponentus, naudodami vienetinius vektorius išilgai ašių.
  • Atskirkite vektoriaus vektoriaus komponentus ir skaliarinius vektoriaus komponentus.
  • Paaiškinkite, kaip vektoriaus dydis apibrėžiamas atsižvelgiant į vektoriaus komponentus.
  • Nustatykite vektoriaus krypties kampą plokštumoje.
  • Paaiškinkite ryšį tarp polinių koordinačių ir Dekarto koordinačių plokštumoje.

Vektoriai paprastai apibūdinami atsižvelgiant į jų komponentus a koordinačių sistema . Net ir kasdieniame gyvenime mes natūraliai remiamės stačiakampių koordinačių sistemos stačiakampių projekcijų samprata. Pvz., Jei ko nors paprašysite nurodymų į tam tikrą vietą, jums greičiausiai bus liepta eiti 40 km į rytus ir 30 km į šiaurę, nei 50 km kryptimi [lateksas] 37 text <°> [/ lateksas] į šiaurę. į rytus.

Teigiamą kryptį įprasta žymėti x-taksis pagal vieneto vektorių [lateksas] kepurė [/ lateksas] ir teigiama kryptis y-taksis pagal vieneto vektorių [lateksas] kepurė [/ lateksas]. Ašių vienetiniai vektoriai, [lateksas] kepurė [/ lateksas] ir [lateksas] kepurė [/ lateksas], apibrėžkite dvi stačias plokštumos kryptis. Kaip parodyta (paveiksle), x& # 8211 ir y& # 8211 vektoriaus komponentus dabar galima parašyti pagal ašių vienetinius vektorius:

Jei žinome koordinates [lateksą] b (_,_) [/ lateksas] vektoriaus pradžios taško (kur b reiškia „pradžia“) ir koordinates [lateksas] e (_,_) [/ lateksas] vektoriaus galinio taško (kur e reiškia „pabaiga“), vektoriaus skaliarinius komponentus galime gauti paprasčiausiai atimdami pradinio taško koordinates iš pabaigos taško koordinačių:

Pavyzdys

Pelės žymeklio poslinkis

Pelės žymeklis, esantis kompiuterio ekrane, jo pradinėje padėtyje yra taške (6,0 cm, 1,6 cm) apatinio kairiojo kampo atžvilgiu. Jei perkelsite žymeklį į piktogramą, esančią taške (2,0 cm, 4,5 cm), koks yra rodyklės poslinkio vektorius?

Strategija

Kilmė xy-koordinačių sistema yra apatinis kairysis kompiuterio monitoriaus kampas. Todėl vieneto vektorius [lateksas] hat [/ lateksas] x-taksis nukreiptas horizontaliai į dešinę ir vieneto vektorius [lateksas] kepurė [/ lateksas] y- ašys nukreiptos vertikaliai į viršų. Poslinkio vektoriaus kilmė yra taške b(6.0, 1.6) ir poslinkio vektoriaus galas yra taške e(2,0, 4,5). Pakeiskite šių taškų koordinates į (pav.), Kad rastumėte skaliarinius komponentus [lateksas] _ [/ lateksas] ir [lateksas] _ poslinkio vektoriaus [/ lateksas] [lateksas] perdėtas < į> [/ lateksas]. Galiausiai pakeiskite koordinates į (pav.), Kad užrašytumėte poslinkio vektorių vektoriaus komponento pavidalu.

Sprendimas

Poslinkio vektoriaus vektoriaus komponento forma yra

[lateksas] perdėtas < į>=_ kepurė+_ kepurė= (- 4,0 , tekstas) kepurė+ (2.9 , text) kepurė= (- 4,0 kepurė+2,9 kepurė) tekstas. [/ lateksas] Šis sprendimas parodytas (2.17 pav.).

2.17 pav Poslinkio vektoriaus grafikas. Vektorius nurodo nuo pradžios taško b iki pabaigos taško e.

Reikšmė

Atkreipkite dėmesį, kad fizinis vienetas - čia, 1 cm, gali būti dedamas arba su kiekvienu komponentu prieš pat vieneto vektorių, arba visame pasaulyje abiem komponentams, kaip parodyta (paveiksle). Dažnai pastarasis būdas yra patogesnis, nes yra paprastesnis.

Vektorius x-komponentas [lateksas] < overet < to>>_= -4,0 kepurė= 4,0 ( text <−> hat) poslinkio vektoriaus [/ lateksas] turi dydį [lateksas] | < overset < to>>_| = | -4,0 || kepurė| = 4,0 [/ lateksas], nes vieneto vektoriaus dydis yra [lateksas] | hat| = 1 [/ lateksas]. Taip pat atkreipkite dėmesį, kad x-komponentas yra [lateksas] tekstas <−> kepurė [/ lateksas], kuris yra priešingas + krypčiaixtaigi ašis x-komponentinis vektorius [lateksas] < overet < to>>_ [/ lateksas] rodo į kairę, kaip parodyta (paveiksle). Skalaras xvektoriaus komponentas [lateksas] overet < to> [/ lateksas] yra [lateksas] _= -4,0 [/ lateksas].

Panašiai ir vektorius y-komponentas [lateksas] < overet < to>>_= + 2,9 kepurė Poslinkio vektoriaus [/ lateksas] turi dydį [lateksas] | < overset < to>>_| = | 2.9 || kepurė| = , 2,9 [/ lateksas], nes vieneto vektoriaus dydis yra [lateksas] | hat| = 1 [/ lateksas]. Kryptis y-komponentas yra [lateksas] + hat [/ lateksas], kuris yra lygiagretus + krypčiaiy- ašis. Todėl y-komponentinis vektorius [lateksas] < overet < to>>_ [/ lateksas] nukreiptas į viršų, kaip parodyta (paveiksle). Skalaras yvektoriaus komponentas [lateksas] overet < to> [/ lateksas] yra [lateksas] _= + 2,9 [/ lateksas]. Poslinkio vektorius [lateksas] perdėtas < į> [/ lateksas] yra jo dviejų rezultatas vektorius komponentai.

Poslinkio vektoriaus vektoriaus komponento forma (pav.) Mums sako, kad pelės žymeklis monitoriuje buvo perkeltas 4,0 cm į kairę ir 2,9 cm į viršų nuo pradinės padėties.

Patikrinkite savo supratimą

Mėlyna musė nusileidžia ant grafiko popieriaus lapo taške, esančiame 10,0 cm kairiajame krašte dešinėje ir 8,0 cm virš apatinio krašto, ir lėtai eina iki taško, esančio 5,0 cm atstumu nuo kairio krašto ir 5,0 cm atstumu nuo apatinio krašto. . Apatiniame kairiajame popieriaus kampe pasirinkite stačiakampę koordinačių sistemą su kilme ir raskite musės poslinkio vektorių. Iliustruokite savo sprendimą grafiškai.

[lateksas] perdėtas < į>= (- 5,0 kepurė-3,0 kepurė) tekstas [/ lateksas] musė pasislinko 5,0 cm į kairę ir 3,0 cm žemyn nuo nusileidimo vietos.

2.19 pav Skaliariniai vektoriaus komponentai gali būti teigiami arba neigiami. Pirmojo kvadrato (I) vektoriuose skaliariniai komponentai yra teigiami, o trečiojo kvadranto vektorių skaliariniai komponentai yra neigiami. II ir III kvadrantų vektoriams vektoriaus krypties kampas yra [lateksas] < theta> _ = theta +180 text <°> [/ latex].

Pavyzdys

Poslinkio vektoriaus dydis ir kryptis Perkelkite pelės žymeklį ekrano monitoriuje iš pradinės padėties taške (6,0 cm, 1,6 cm) į ​​piktogramą, esančią taške (2,0 cm, 4,5 cm). Koks rodyklės poslinkio vektoriaus dydis ir kryptis?

Strategija

(Paveikslėlyje) radome poslinkio vektorių [lateksas] perdėtas < į> pelės žymeklio [/ lateksas] (žr. (pav.)). Mes nustatome jo skaliarinius komponentus [lateksas] _= -4,0 , tekstas [/ lateksas] ir [lateksas] _= + 2,9 , tekstas [/ lateksas] ir pakeiskite į (pav.) ir (pav.), kad nustatytumėte dydį D ir kryptis [lateksas] < theta> _ [/ lateksas].

Sprendimas

Patikrinkite savo supratimą

Jei mėlynos musės, einančios ant grafiko popieriaus lapo, poslinkio vektorius yra [lateksas] perdėtas < į>= (- 5,00 kepurė-3,00 kepurė) tekstas [/ lateksas], raskite jo dydį ir kryptį.

5,83 cm, [lateksas] 211 text <°> [/ latex]

Daugelyje programų yra žinomi vektorių dydžių dydžiai ir kryptys, todėl turime rasti daugelio vektorių rezultatą. Pvz., Įsivaizduokite, kaip stiprus vėjas juda San Francisko „Golden Gate“ tiltu. Kiekvienas automobilis suteikia tiltui skirtingą paspaudimą įvairiomis kryptimis, ir mes norėtume sužinoti, koks didelis gali būti gautas stumimas. Mes jau įgijome tam tikros geometrinės vektorių sumų konstrukcijos patirties, todėl žinome, kad užduotis surasti rezultatą, piešiant vektorius ir matuojant jų ilgius bei kampus, gali tapti gana greitai neįveikiama, o tai lemia didžiules klaidas. Tokių rūpesčių neatsiranda, kai naudojame analitinius metodus. Pirmasis analitinio požiūrio žingsnis yra vektoriaus komponentų radimas, kai yra žinoma vektoriaus kryptis ir dydis.

Pavyzdys

Poslinkio vektorių komponentai

Dingusio vaiko gelbėjimo vakarėlis seka paieškos šunį, vardu Trooper. Kariuomenė daug klaidžioja ir verčia daugybę bandymų uostyti įvairiais keliais. Trooperas galų gale randa vaiką ir istorija baigiasi laiminga, tačiau atrodo, kad jo poslinkiai ant įvairių kojų yra išties sukrėsti. Vienu iš kojų jis eina 200,0 m į pietryčius, tada eina į šiaurę apie 300,0 m. Trečioje kojoje jis atidžiai tiria kvapus 50,0 m kryptimi [lateksas] 30 text <°> [/ lateksas] į vakarus nuo šiaurės. Ketvirta atkarpa „Trooper“ eina tiesiai į pietus 80,0 m, pasiima gaivų kvapą ir pasuka [lateksas] 23 text <°> [/ lateksas] į vakarus nuo pietų 150,0 m. Raskite Trooperio poslinkio vektorių ir jo poslinkio vektorių skaliarinius komponentus kiekvienos kojos vektoriaus komponento pavidalu.

Strategija

Priimkime stačiakampę koordinačių sistemą su teigiama x- ašis geografinių rytų kryptimi, teigiama ykryptis nukreipta į geografinę šiaurę. Aiškiai, vieneto vektorius [lateksas] hat [/ lateksas] x-galis nukreipta į rytus ir vieneto vektorius [lateksas] hat [/ lateksas] y-ašis nukreiptas į šiaurę. Trooper daro penkias kojas, taigi yra penki poslinkio vektoriai. Pradedame nuo jų dydžių ir krypties kampų nustatymo, tada naudodamiesi (pav.) Surandame skaliarinius poslinkių komponentus ir (pav.) Poslinkio vektoriams.

Sprendimas

Pirmoje kojoje poslinkio dydis yra [lateksas] _ <1> = 200,0 , tekstas [/ lateksas] ir kryptis yra pietryčių. Krypties kampui [lateksas] < theta> _ <1> [/ lateksas] galime imti arba [lateksą] 45 tekstą <°> [/ lateksą], matuojamą pagal laikrodžio rodyklę nuo rytų krypties, arba [lateksą] 45 tekstą <° > +270 text <°> [/ lateksas] matuojamas prieš laikrodžio rodyklę iš rytų krypties. Pasirinkus pirmąjį variantą, [lateksas] < theta> _ <1> = -45 tekstas <°> [/ lateksas]. Pasirinkę antrąjį variantą, [lateksas] < theta> _ <1> = + 315 tekstas <°> [/ lateksas]. Mes galime naudoti bet kurį iš šių dviejų kampų. Komponentai yra

Pirmosios kojos poslinkio vektorius yra

Antroje „Trooper“ klajonių dalyje poslinkio dydis yra [lateksas] _ <2> = 300,0 , tekstas [/ lateksas] ir kryptis yra šiaurė. Krypties kampas yra [lateksas] < theta> _ <2> = + 90 tekstas <°> [/ lateksas]. Gauname šiuos rezultatus:

Trečioje kojoje poslinkio dydis yra [lateksas] _ <3> = 50,0 , tekstas [/ lateksas] ir kryptis yra [lateksas] 30 text <°> [/ latex] į vakarus nuo šiaurės. Krypties kampas, matuojamas prieš laikrodžio rodyklę nuo rytų krypties, yra [lateksas] < theta> _ <3> = 30 text <°> +90 text <°> = + 120 text <°> [/ latex]. Tai suteikia šiuos atsakymus:

Ketvirtoje ekskursijos dalyje poslinkio dydis yra [lateksas] _ <4> = 80,0 , tekstas [/ lateksas] ir kryptis yra į pietus. Krypties kampas gali būti vertinamas kaip [lateksas] < theta> _ <4> = -90 tekstas <°> [/ lateksas] arba [lateksas] < theta> _ <4> = + 270 tekstas <° > [/ lateksas]. Mes gauname

Patikrinkite savo supratimą

Jei Trooper prieš ilsėdamasis bėga 20 m į vakarus, koks yra jo poslinkio vektorius?

Poliarinės koordinatės

Norėdami apibūdinti taškų ar vektorių vietas plokštumoje, mums reikia dviejų stačių krypčių. Dekarto koordinačių sistemoje šias kryptis pateikia vieneto vektoriai [lateksas] hat [/ lateksas] ir [lateksas] kepurė [/ lateksas] išilgai x- ašis ir yatitinkamai ašis. Dekarto koordinačių sistema yra labai patogu naudoti apibūdinant objektų poslinkius ir greičius bei juos veikiančias jėgas. Tačiau tampa sudėtinga, kai reikia apibūdinti objektų sukimąsi. Apibūdindami rotaciją, mes paprastai dirbame poliarinių koordinačių sistema.

Poliarinių koordinačių sistemoje taško vieta P plokštumoje duoda du poliarinis koordinatės ((Pav.)). Pirmoji polinė koordinatė yra radialinė koordinatė r, kuris yra taško atstumas P nuo kilmės. Antroji polinė koordinatė yra kampas [lateksas] phi [/ lateksas], kurį radialinis vektorius daro pasirinkta kryptimi, paprastai teigiamą x-kryptis. Poliarinėmis koordinatėmis kampai matuojami radianais arba radais. Radialinis vektorius yra prijungtas prie pradžios ir nukreiptas tolyn nuo pradžios taško P. Šią radialinę kryptį apibūdina radialinis vektorius [lateksas] hat [/ lateksas]. Antrojo vieneto vektorius [lateksas] kepurė [/ lateksas] yra vektorius, statmenas radialinei krypčiai [lateksas] kepurė [/ lateksas]. Teigiama [lateksas] + kepurė [/ latekso] kryptis rodo, kaip kampas [lateksas] phi [/ lateksas] keičiasi prieš laikrodžio rodyklę. Tokiu būdu taškas P kuris turi koordinates (x, y) stačiakampio sistemoje poliarinių koordinačių sistemoje galima lygiaverčiai apibūdinti dviem polinėmis koordinatėmis [lateksas] (r, phi) [/ lateksas]. (Paveikslas) galioja bet kuriam vektoriui, todėl jį galime naudoti norėdami išreikšti x& # 8211 ir yvektoriaus [latekso] perdėtos < į> koordinatės [/ lateksas]. Tokiu būdu gauname ryšį tarp taško poliarinių ir stačiakampių koordinačių P:

2.20 pav Naudojant polines koordinates, vieneto vektorius [lateksas] hat [/ lateksas] apibrėžia teigiamą kryptį išilgai spindulio r (radialinė kryptis) ir, statmenai jai, vieneto vektorių [lateksas] hat [/ lateksas] apibrėžia teigiamą sukimosi kryptį kampu [lateksas] phi [/ lateksas].

Pavyzdys

Poliarinės koordinatės

Lobių ieškotojas suranda vieną sidabrinę monetą 20,0 m atstumu nuo sauso šulinio šiaurės rytų kryptimi [lateksas] 20 text <°> [/ lateksas] ir randa vieną auksinę monetą 10,0 m atstumu nuo šulinio. kryptimi [lateksas] 20 text <°> [/ lateksas] į šiaurės vakarus. Kokios yra šių radinių polinės ir stačiakampės koordinatės šulinio atžvilgiu?

Strategija

Šulinys žymi koordinačių sistemos kilmę, o rytuose yra +x-kryptis. Mes nustatome radialinius atstumus nuo vietų iki pradžios, kurie yra [lateksas] _= 20,0 , tekstas [/ lateksas] (sidabrinei monetai) ir [lateksas] _= 10,0 , tekstas [/ lateksas] (auksinei monetai). Norėdami rasti kampines koordinates, konvertuojame [lateksas] 20 text <°> [/ latex] į radianus: [lateksas] 20 text <°> = pi 20 text180 = pi tekstas9 [/ lateksas]. Mes naudojame (paveikslą) norėdami rasti x& # 8211 ir ymonetų koordinatės.

Sprendimas

Sidabrinės monetos koordinatės yra

Vektoriai trimis matmenimis

Norint nurodyti taško vietą erdvėje, mums reikia trijų koordinačių (x, y, z), kur koordinatės x ir y nurodyti vietas plokštumoje ir koordinuoti z suteikia vertikalią padėtį virš arba žemiau plokštumos. Trimatė erdvė turi tris stačiakampes kryptis, todėl mums reikia ne dviejų, o trys vieneto vektoriai apibrėžti trimatę koordinačių sistemą. Dekarto koordinačių sistemoje pirmieji du vieneto vektoriai yra vieneto vektorius x-ašis [lateksas] kepurė [/ lateksas] ir vieneto vektorius y-ašis [lateksas] kepurė [/ lateksas]. Trečiojo vieneto vektorius [lateksas] kepurė [/ lateksas] yra z-ašis ((pav.)).Ašių žymėjimo tvarka, kuri yra trijų vienetų vektorių atsiradimo tvarka, yra svarbi, nes ji apibrėžia koordinačių sistemos orientaciją. Užsakymas xyz, kuris prilygsta ordinui [lateksas] kepurė [/ lateksas] ir # 8211 [lateksas] kepurė [/ lateksas] ir # 8211 [lateksas] kepurė [/ lateksas], apibrėžia standartinę dešiniarankių koordinačių sistemą (teigiamą orientaciją).

2.21 pav Trys vieneto vektoriai apibrėžia Dekarto sistemą trimatėje erdvėje. Šių vieneto vektorių atsiradimo tvarka nusako koordinačių sistemos orientaciją. Čia rodoma tvarka apibrėžia orientaciją dešiniąja ranka.

Jei žinome jo kilmės koordinates [lateksas] b (_,_,_) [/ lateksas] ir jo galas [lateksas] e (_,_,_) [/ lateksas], jo skaliariniai komponentai gaunami imant jų skirtumus: [lateksas] _ [/ lateksas] ir [lateksas] _ [/ lateksas] pateikiami (pav.) ir z-komponentą suteikia

Dydis A gaunamas apibendrinant (pav.) į tris dimensijas:

2.22 pav Trimatėje erdvėje esantis vektorius yra jo trijų vektorinių komponentų vektorinė suma.

Pavyzdys

Drono pakilimas

IAI Heron ((pav.)) Pakilimo metu jo padėtis valdymo bokšto atžvilgiu yra 100 m virš žemės, 300 m į rytus ir 200 m į šiaurę. Po minutės jo padėtis yra 250 m virš žemės, 1200 m į rytus ir 2100 m į šiaurę. Koks drono poslinkio vektorius valdymo bokšto atžvilgiu? Koks yra jo poslinkio vektoriaus dydis?

2.23 pav Skraidantis bepilotis orlaivis „IAI Heron“. (kreditas: SSgt Reynaldo Ramon, USAF)

Strategija

Dekarto koordinačių sistemos kilmę laikome valdymo bokštu. „+“ Kryptisx-taksis pateikiamas vienetiniu vektoriu [lateksas] hat [/ lateksas] į rytus, + kryptisy-taksis pateikiamas vienetiniu vektoriu [lateksas] hat [/ lateksas] į šiaurę ir + kryptisz-taksis pateikiamas vienetiniu vektoriu [lateksas] hat [/ lateksas], kuris nukreiptas aukštyn nuo žemės. Pirmoji drono padėtis yra poslinkio vektoriaus kilmė (arba, lygiaverčiai, pradžia), o jo antroji padėtis yra poslinkio vektoriaus pabaiga.

Sprendimas

Šiuos komponentus pakeičiame į (paveikslėlis), kad rastume poslinkio vektorių:

Patikrinkite savo supratimą

Jei vidutinis drono greičio vektorius poslinkyje (paveiksle) yra [lateksas] perdėtas < į>= (15,0 kepurė+31,7 kepurė+2,5 kepurė) tekstas tekstas tekstas [/ lateksas], koks yra bepiločio oro greičio vektoriaus dydis?

Santrauka

  • Vektoriai aprašomi pagal jų komponentus koordinačių sistemoje. Dviejuose matmenyse (plokštumoje) vektoriai turi du komponentus. Trijuose matmenyse (erdvėje) vektoriai turi tris komponentus.
  • Vektoriaus vektoriaus komponentas yra jo dalis ašies kryptimi. Vektoriaus komponentas yra ašies vieneto vektoriaus, kurio skaliarusis komponentas yra išilgai šios ašies, sandauga. Vektorius yra jo vektorinių komponentų rezultatas.
  • Skaliariniai vektoriaus komponentai yra koordinačių skirtumai, kai iš vektoriaus pabaigos taško koordinačių atimamos kilmės koordinatės. Stačiakampėje sistemoje vektoriaus dydis yra jo komponentų kvadratų sumos kvadratinė šaknis.
  • Plokštumoje vektoriaus kryptį nurodo kampas, kurį vektorius turi su teigiamuoju x- ašis. Šis krypties kampas matuojamas prieš laikrodžio rodyklę. Skalaras xvektoriaus komponentas gali būti išreikštas kaip jo dydžio sandauga su jo krypties kampo kosinusu ir skaliaru ykomponentas gali būti išreikštas kaip jo dydžio sandauga su jo krypties kampo sinusu.
  • Plokštumoje yra dvi lygiavertės koordinačių sistemos. Dekarto koordinačių sistemą apibrėžia vieneto vektoriai [lateksas] hat [/ lateksas] ir [lateksas] kepurė [/ lateksas] išilgai x- ašis ir yatitinkamai ašis. Poliarinę koordinačių sistemą apibrėžia radialinio vieneto vektorius [lateksas] kepurė [/ lateksas], kuris nurodo kryptį nuo kilmės, ir vienetinis vektorius [lateksas] kepurė [/ lateksas], statmenas (stačiakampis) radialinei krypčiai.

Konceptualūs klausimai

Pateikite nulio nulio vektoriaus, kurio komponentas yra nulis, pavyzdį.

vieneto vektorius x- ašis

Paaiškinkite, kodėl vektoriaus komponentas negali būti didesnis už savo dydį.


Gaukite standartinių koordinačių sistemos - astronomijos - liestinį tašką (kilmę)

Projekcijos ir koordinačių sistemos

Projekcijos ir koordinačių sistemos yra sudėtinga GIS tema, tačiau jos sudaro pagrindą, kaip GIS gali saugoti, analizuoti ir rodyti erdvinius duomenis. Suprasti projekcijas ir koordinuoti sistemų svarbias žinias, ypač jei susiduriate su daugybe skirtingų duomenų rinkinių, gaunamų iš skirtingų šaltinių.

Geriausias žemės modelis būtų tos pačios formos trimatis vientisas kaip žemė. Šiam tikslui dažnai naudojami sferiniai gaubliai. Tačiau gaubliai turi keletą trūkumų.

  • Gaubliai yra dideli ir sudėtingi.
  • Paprastai jie yra tokio masto, kad netinka tikslams, kuriems naudojama dauguma žemėlapių. Paprastai mes norime pamatyti daugiau informacijos, nei įmanoma parodyti ant žemės rutulio.
  • Standartinė matavimo įranga (liniuotės, matuokliai, planimetrai, taškų tinkleliai ir kt.) Negali būti naudojamos matuojant sferos atstumą, kampą, plotą ar formą, nes šie įrankiai buvo sukurti naudoti plokštuminiuose modeliuose.
  • Platumos ir ilgumos sferinė koordinačių sistema gali būti naudojama tik matuojant kampus, o ne atstumus ar plotus.

Čia yra žemės rutulio vaizdas, rodantis atskaitos linijas. Šios linijos gali būti naudojamos tik matuojant kampus rutulyje. Jie negali būti naudojami tiesiniams ar plotiniams matavimams atlikti.

Žemės rutulio padėtis matuojama kampais, o ne X, Y (Dekarto plokštumos) koordinatėmis. Žemiau esančiame paveikslėlyje konkretus žemės paviršiaus taškas nurodomas koordinatėmis (60 & E rytų ilgumos, 55 den. N platumos). Ilguma matuojama kaip laipsnių skaičius nuo pagrindinio dienovidinio, o platuma - kaip laipsnių skaičius nuo pusiaujo.

Dėl šios priežasties buvo sukurtos projekcijos sistemos. Žemėlapio projekcijos yra matematinių modelių rinkiniai, kurie sferines koordinates (pvz., Platumą ir ilgumą) paverčia plokštuminėmis koordinatėmis (x ir y). Procese duomenys, kurie iš tikrųjų yra ant sferos, projektuojami ant plokščios plokštumos ar paviršiaus. Tas paviršius gali būti paverstas plokštuminiu pjūviu netempiant.

Čia pateikiama paprasta schema, skirta parodyti, kaip veikia projekcija. Įsivaizduokite stiklinę sferą, pažymėtą tinklelio linijomis ar geografinėmis savybėmis. Sferos centre esanti šviesa šviečia (& quotprojects & quot) į išorę, metant šešėlius nuo linijų. Lėktuvas, kūgis ar cilindras (žinomas kaip a vystomas paviršius) dedamas už sferos ribų. Šešėliai metami į paviršių. Paviršius atidaromas plokščias, o geografiniai požymiai rodomi plokščioje plokštumoje. Kai tik taikoma projekcija, yra įtvirtinta Dekarto koordinačių sistema (reguliarus matavimas X ir Y matmenimis). Vartotojas gali pasirinkti koordinačių sistemos detales (pvz., Vienetus, kilmę ir poslinkius).

Projekciniai paviršiai (t. Y. Cilindrai, kūgiai ir plokštumos) sudaro pagrindinius projekcijų tipus:

Standartinės paralelės yra tai, kur kūgis paliečia arba supjausto rutulį.
Centrinis dienovidinis yra priešais kraštą, kuriame kūgis yra atidarytas.

Skirtingos cilindrinės projekcijos orientacijos:

Labiausiai paplitusi cilindrinė projekcija yra „Mercator“ projekcija, kuri yra UTM (Universal Transverse Mercator) sistemos pagrindas.

Skirtingi ortografinės projekcijos parametrai:

[Vaizdai pateikti su Peterio Dana leidimu]

Šiuose vaizduose atkreipkite dėmesį, kaip atstumo iškraipymas yra kuo mažesnis toje paviršiaus vietoje, kuri yra arčiausiai sferos. Iškraipymas didėja keliaujant paviršiumi toliau nuo šviesos šaltinio. Šis iškraipymas yra neišvengiama žemėlapio projekcijos savybė. Nors egzistuoja daugybė skirtingų žemėlapių projekcijų, visi jie iškraipo vieną ar daugiau iš šių matavimo savybių:

Iškraipymas priklausys nuo bent vienos iš aukščiau nurodytų savybių, priklausomai nuo naudojamos projekcijos, žemėlapio masto ar žemėlapio erdvės. Kai tik vieno tipo iškraipymai yra kuo mažesni, atitinkamai padidės vienos ar daugiau kitų savybių iškraipymai.

Yra įvairių projekcijų klasių pavadinimai, kurie sumažina iškraipymus.

  • Vadinami tie, kurie sumažina formos iškraipymą konforminis.
  • Tie, kurie sumažina atstumo iškraipymą, yra žinomi kaip vienodo atstumo.
  • Tie, kurie sumažina iškraipymą srityje, yra žinomi kaip vienodo ploto.
  • Vadinami tie, kurie kuo labiau sumažina iškraipymą kryptimi tikroji kryptis projekcijos.

Tikslinga pasirinkti projekciją pagal tai, kurios matavimo savybės yra svarbiausios jūsų darbui. Pvz., Jei labai svarbu gauti tikslius ploto matavimus (pvz., Nustatant gyvūnų rūšies namų diapazoną), pasirinksite vienodo ploto projekciją.

Koordinačių sistemos

Kai žemėlapio duomenys suprojektuojami ant plokščio paviršiaus, į ypatybes turi būti nurodoma plokštumos koordinačių sistema. Geografinė sistema (platumos ir ilgumos), pagrįsta rutulyje išmatuotais kampais, negalioja matuojant plokštumoje. Todėl naudojama Dekarto koordinačių sistema, kur pradžia (0, 0) yra plokštumos pjūvio apatinės kairės pusės link. Tikrasis pradinis taškas (0, 0) gali būti ar netoliese naudojamų žemėlapio duomenų.

GIS koordinatės matuojamos nuo kilmės taško. Tačiau melagingi rytai ir netikri šiauriniai yra dažnai naudojami, kurie veiksmingai kompensuoja kilmę į kitą vietą koordinačių plokštumoje. Tai daroma siekiant kelių tikslų:

  • Sumažinkite galimybę naudoti neigiamas koordinačių reikšmes (kad būtų lengviau apskaičiuoti atstumą ir plotą).
  • Sumažinkite absoliučią koordinačių vertę (kad reikšmes būtų lengviau perskaityti, perrašyti, apskaičiuoti ir pan.).

Šiame paveikslėlyje Vašingtono valstija projektuojama į Šiaurės valstijos lėktuvą (NAD83). Dabar visos žemėlapio vietos nurodytos Dekarto koordinatėmis, kurių kilmė yra keli šimtai mylių nuo Ramiojo vandenyno pakrantės.

Kai kurios matavimo sistemos sistemos apibrėžia tiek projekcijas, tiek koordinačių sistemas. Pavyzdžiui, universali skersinė Mercator (UTM) sistema, kurią paprastai naudoja mokslininkai ir federalinės organizacijos, yra pagrįsta 60 skersinių Mercator projekcijų serija, kurioje skirtingos žemės sritys patenka į skirtingas 6 laipsnių zonas. Kiekvienoje zonoje yra apibrėžta vietinė koordinačių sistema, kurioje X pradžia yra 500 000 m į vakarus nuo centrinio dienovidinio, o Y pradžia yra pietų ašis arba pusiaujas, atsižvelgiant į pusrutulį. Valstybinio lėktuvo sistema taip pat apibrėžia projekcijos ir koordinačių sistemą.

Dvi dažniausios koordinačių / projekcijų sistemos, su kuriomis susidursite JAV, yra šios:

Būsenos plokštumos sistema apima skirtingas kiekvienos valstybės projekcijas ir dažnai skirtingas projekcijas skirtingoms sritims per kiekviena valstybė. Valstybinio lėktuvo sistema buvo sukurta 1930 m., Siekiant supaprastinti ir kodifikuoti skirtingas koordinačių ir projekcijų sistemas skirtingoms JAV valstijoms.

Buvo pasirinktos trys konforminės projekcijos: „Lambert“ konforminis kūgis valstybėms, kurios yra ilgesnės rytų – vakarų kryptimi, tokioms kaip Vašingtonas, Tenesis ir Kentukis, „Skersinis Mercator“ projekcija ilgesnėms valstybėms, esančioms šiaurės – pietų kryptimi, tokioms kaip Ilinojus ir Vermontas, ir „Oblique Mercator“ projekcija Aliaskos panhandlui, nes ji nėra daugiausia į šiaurę ar į pietus, bet pasvirusiu kampu.

Norint išlaikyti 1 dalies iš 10 000 tikslumą, reikėjo daugelį valstybių suskirstyti į kelias zonas. Kiekviena zona turi savo centrinį dienovidinį ir standartines paraleles, kad išlaikytų norimą tikslumo lygį. Kilmė yra į pietus nuo zonos ribos, o klaidingi rytai yra taikomi taip, kad visos zonos koordinatės turėtų teigiamas X ir Y reikšmes. Šių zonų ribos atitinka apskričių ribas. Mažesnėms valstijoms, tokioms kaip Konektikutas, reikalinga tik viena zona, o Aliaskoje yra dešimt zonų ir naudojamos visos trys projekcijos.


Gaukite standartinių koordinačių sistemos - astronomijos - liestinį tašką (kilmę)

Erdvės kreivės, tangento vektorius, pagrindinis normalus, binormalas, kreivė, sukimas, FRENET-SERRET formos, sferinės indikatoriai

Def. Erdvės kreivė. Erdvės kreivę galime galvoti kaip apie judančio taško kelią. Erdvės kreivės apibrėžimas iš esmės yra analitinis šio požiūrio įgyvendinimas. Erdvės kreivė parametriškai apibrėžiama kaip parametrinių lygčių grafikas

kur funkcijos f, g ir h yra ištisinės, o parametro t diapazonas yra tam tikros realiosios ašies intervalas (baigtinis arba begalinis). Vektorių kalboje erdvės kreivė apibrėžiama kaip taškų grafikas, atsekamas padėties vektoriaus

kur funkcijos f, g ir h yra ištisinės, o parametro t diapazonas yra tam tikras realiosios ašies intervalas (baigtinis arba begalinis). Teigiama kosmoso kreivės kryptis yra t didėjimo kryptis. y., & # 916s / & # 916t & gt 0.

Jei t interpretuosime kaip laiką, 1) galima laikyti apibrėžiančiu judančio taško kelią. Taškas gali kelis kartus praeiti per tą patį erdvės tašką, o tai reiškia, kad kreivė gali susikirsti pati. Šis mūsų pateiktas apibrėžimas suteikia kreivę, kuri yra labai bendra ir kuri gali būti nelabai lygi. Pvz., Tai gali apimti tokius dalykus kaip mažos dalelės kelias Brauno judėjime per ilgą laiką (labai atsitiktinis kelias, einantis pirmiausia viena kryptimi, tada staiga pereinantis kita kryptimi & # 8212 atsitiktinai ir staiga keičiantis iš vienos krypties kitam).

Def. Kreivės lankas. Kreivė, kuri savaime nesikerta, turi du skirtingus galus ir kurią galima pavaizduoti 1) pavidalu su baigtiniu parametro t diapazonu, tarkim, a t b, kur a & lt b. Pusapvalis yra lankas, bet visas apskritimas - ne.

Def. Uždara kreivė. Kreivė, kurią apibrėžia 1) su ribotu parametro t diapazonu, sakykime, t b, kuriame taškai, atitinkantys t = a ir t = b, sutampa.

Def. Paprasta uždara kreivė (arba Jordanijos kreivė). Uždara kreivė be susikirtimų.

Lanko prototipas yra vieneto intervalas 0 x 1, o paprastos uždaros kreivės prototipas yra apskritimo vieneto x 2 + y 2 = 1. Nuolatinė lanko deformacija (lenkimas, sukimasis, tempimas, susitraukimas) palieka ją vis dar lanką ir tą patį galima pasakyti apie paprastas uždaras kreives.

Def. Lygus kreivė. Sakoma, kad kreivė yra lygi, jei įvykdomos dvi sąlygos

a) kreivė savaime nesikerta

b) kreivė turi liestinę kiekviename taške, kurio kryptis nuolatos kinta, kai taškas juda išilgai kreivės.

Antroji sąlyga yra įvykdyta, jei pirmiau minėtos 1) funkcijos f, g ir h turi ištisinius darinius, kurie neišnyksta kartu esant t reikšmei.

Svarbūs esminiai santykiai. Lanko ilgio ds skirtumas yra susijęs su dx, dy ir dz pagal

Tegu C yra lygus lankas, kurį vaizduoja vektorinė funkcija f (t) = x (t) i + y (t) j + z (t) k, a t b. Tegu s yra lanko ilgis, išmatuotas išilgai C nuo taško t = a iki kintamo taško t. Tada galioja:

(kuris gaunamas tiesiogiai iš formulės ds 2 = dx 2 + dy 2 + dz 2 dalijant iš dt 2).

Lygaus lanko ilgis. Tegu C yra lygus lankas, kurį vaizduoja vektorinė funkcija f (t) = x (t) i + y (t) j + z (t) k, a t b. Tada jo ilgį nuo taško t = a iki t = b nurodo

Atstumas išilgai kreivės, matuojamas nuo taško t = a iki kintamo taško t, nurodomas

(gaunamas pakeitus fiksuotą viršutinę ribą b 4 punkte t)

Vieneto liestinės vektorius. Tegul suteikiama erdvės kreivė C

kur parametras s reiškia lanko ilgį, išmatuotą iš kokio nors fiksuoto kreivės taško. Tada kreivės vieneto liestinės vektorių tam tikrame taške P pateikia

Kad taip yra, matyti iš 1 paveikslo, kuriame R ir R + & # 916 R taškuose P ir P '. Dalmuo & # 916 R / & # 916s yra vektorius, einantis akordo PP 'linija. Kadangi & # 916 R ilgis yra akordo PP 'ilgis, matome, kad kai P' artėja prie P, & # 916 R / & # 916s ilgio riba yra vienybė. Be to, PP 'ribinė kryptis yra P liestinė. Todėl

Vienetinio liestinio vektoriaus krypties kosinusai. Vienetinio liestinio vektoriaus krypties kosinusus taške P pateikia vektoriaus x, y ir z komponentai.

Pagrindinis normalus. Pagrindinis normalusis taškas P kreivės C taške, žymimas N, yra vektoriaus vienetas d T / ds kryptimi (jei dT / ds nėra nulis, tokiu atveju pagrindinis normalus nenustatytas). Pagrindinis normalusis elementas būtinai yra statmenas vieneto liestinės vektoriui T. Iš 7) aukščiau gauname

Kreivės kreivė taške P. Kreivės & # 954 kreivė taške P yra apskaičiuojama pagal d T / ds dydį:

Kreivumo spindulys. Kreivumo spindulys & # 961 yra abipusis kreivumo:

Kreivumo centras. & # 160 Vektoriaus & # 961 N galas, nubrėžtas iš taško P kaip pradinio taško, vadinamas kreivės kreivės centru taške P.

Binormalas. Vektorius B = T N.

Judantis trišakis. Trys abipusiai statmeni vieneto vektoriai T, N ir B sudaro dešiniarankę triadą, susietą su kiekvienu erdvės kreivės tašku P. Šis trišakis reiškia lokalizuotą dešiniarankių koordinačių sistemą, kuri juda kreivei judant. Tai vadinama judančiu trišakiu. Žr. 2 pav. Šiame judančiame trišakyje plokštuma, kurioje yra liestinė T ir pagrindinis normalusis N, vadinama virpesių plokšte, plokštuma, statmena liestinei ties P, ty plokštuma, kurioje yra pagrindinis normalusis N ir binormalas B, vadinama normalia plokštuma, o plokštuma, kurioje yra liestinė T ir binormalas B, vadinama lyginamąja plokštuma. Virpanti plokštuma reiškia kreivės plokštumą, esančią netoli taško.

Normali plokštuma. Ši plokštuma yra statmena tangento vektoriui T ties P. Normaliosios plokštumos linijos, einančios per P, yra žinomos kaip kreivės, esančios P, normaliosios. Taigi pavadinimas normalus plokštumas. Jame yra du svarbūs normalūs elementai, pagrindinis normalusis ir binormalas.

Virpanti plokštuma. Kreivės C virpanti plokštuma taške P yra plokštuma, kurioje yra vieneto liestinės vektorius T ties P ir pagrindinis normalusis vektorius d T / ds, kur s yra atstumas išilgai kreivės (svyruojančios plokštumos nėra, jei d T / ds = 0, pvz., Jei kreivė yra tiesi). Virpanti plokštuma yra plokštuma, esanti ribinėje padėtyje, jei ji yra, per C liestinę taške P ir per kintamą tašką P 'C, kaip P' P išilgai C.

Def. Susukta kreivė. Kreivė, kuri nėra vienoje plokštumoje.

Sukimas. Sukimas & # 964 kreivės taške P yra ženklo viduje pateiktas vektoriaus d B / ds dydžiu.Vektorius d B / ds yra statmenas vektoriams T ir B, taigi yra tam tikras vektoriaus N kartotinis. & # 964 ženklas parenkamas taip, kad d B / ds = - & # 964 N. Sukimas tam tikru mastu matuoja kreivės pasisukimo dydį.

Pastaba. Kai kurie autoriai sukimą apibrėžia pagal formulę d B / ds = & # 964 N vietoj d B / ds = - & # 964 N, o kai kurie naudoja 1 / & # 964, o ne & # 964, norėdami nurodyti sukimą.

Jei P yra fiksuotas taškas, o P '- kintamas taškas, nukreiptoje erdvės kreivėje C, & # 916sako lanko C ilgis nuo P iki P', o & # 916 & # 968 kampas tarp teigiamų binormalų krypčių C taške P ir P ', tada C sukimasis & # 964 taške P

Sukimo spindulys. Sukimo spindulys apibrėžiamas kaip kiekis & # 963 = 1 / & # 964.

Būdingos erdvės kreivės lygtys. Tam tikros kreivės C kreivė & # 954 ir sukimas & # 964 yra funkcijos & # 954 (s) ir & # 964 (s) lanko ilgio s, matuojami iš tam tikro fiksuoto taško C. Judant išilgai C kreivės liestinė pasisuka normos kryptimi greičiu, kurį nustato kreivumas & # 954 (s), o svyruojanti plokštuma sukasi aplink liestinę greičiu, kurį nustato sukimas & # 964 (s). Galima parodyti, kad dvi kreivės, turinčios tą patį kreivumą ir sukimą, kaip ir lanko ilgio funkcijos, yra tapačios, išskyrus padėtį ir orientaciją erdvėje (t. Y. Vieną iš jų galima tvirtai perkelti taip, kad sutaptų su kita). Taigi kreivumas & # 954 (s) ir sukimas & # 964 (s) apibūdina visas esmines, nekintamas kreivės savybes. Lygtys

vadinamos vidinėmis arba natūraliomis kreivės lygtimis.

„Frenet-Serret“ formulės. Frenet-Serret formulės yra

kur T, N ir B yra trys judančio trišakio vieneto vektoriai, vieneto liestinė, pagrindinis normalusis ir binormalūs vektoriai.

Formulės. Tegul R (t) yra t vektoriaus funkcija ir tegul žymi diferenciaciją t atžvilgiu.

Lėktuvo kreivės. Jei kreivė r = r (t) yra plokštumos kreivė (ne tiesi linija), kreivės plokštuma yra svyruojanti plokštuma kiekviename taške.

1 teorema. Būtina ir pakankama sąlyga, kad kreivė (o ne tiesi linija) būtų plokštumos kreivė, yra ta, kad jos sukimas yra vienodai nulis.

2 teorema. Būtina ir pakankama sąlyga, kad kreivė r = r (t) (ne tiesi linija) būtų plokštumos kreivė, yra ta, kad r 'r' '& # 8729 r' '' = 0.

Erdvės kreivės sferiniai rodikliai.

Erdvės kreivės sferinė indikatorė (arba tangentinė matrica). Kai taškas juda išilgai erdvės kreivės, C įsivaizduoja vieneto vektorių t, esantį koordinačių sistemos, judančio kartu su vieneto liestiniu T, pradžia, visada lygiagreti jam. Judant išilgai C, vieneto vektorius t atseks kreivę & # 915 vieneto sferoje, kurios centras yra pradžia. Ši kreivė & # 915 vadinama kreivės C sferine indikatoriumi (arba liestine indikatoriumi). Žr. 3 pav. Jei kreivė C yra plokštumos kreivė, jos sferinė indikatorė yra dideliame sferos apskritime. Taigi erdvės kreivei sferinės indikatoriaus nuokrypio nuo didelio apskritimo dydis suteikia tam tikrą idėją apie kreivės nuokrypio nuo plokštumos kreivės dydį, t. Y. Kreivės sukimo dydį.

Tegul kreivė C pateikiama

kur s reiškia lanko ilgį, išmatuotą iš kokio nors kreivės taško. Tada kreivės C sferinę indikatorių & # 915 pateikia

Pagrindinė normali rodyklė kosmoso kreivėje. Kreivė & # 915, siejama vieneto sferoje, esančioje prie pradžios, yra vieneto vektorius t, judantis kartu su pagrindiniu normaliuoju (lygiagrečiu), kai taškas juda išilgai tam tikros kreivės C, ty jis yra toks pat kaip liestinės indikatorius, išskyrus vieneto vektorius t juda kartu su pagrindiniu normaliuoju, o ne vieneto liestine.

Binormali indikatorė kosmoso kreivėje. Tas pats kaip liestinės indikatorius, išskyrus tai, kad vieneto vektorius t juda kartu su (lygiagrečiai) binormalui, o ne vieneto liestinei.


Cilindrinės koordinatės

Cilindrinė koordinačių sistema išplečia polines koordinates į 3D, naudodama standartinę vertikalią koordinatą $ z $. Tai suteikia koordinates $ (r, theta, z) $, susidedančias iš:

koordinuoti vardas diapazonas apibrėžimas
$ r $ spindulys le r lt infty $ atstumas nuo $ z $ ašies
$ theta $ azimutas $ - pi lt theta le pi $ kampu nuo $ x $ - $ x $ - $ y $ plokštumos ašies
$ z $ ūgio $ - infty lt z lt infty $ vertikalus aukštis

Žemiau esančioje diagramoje parodytos taško $ P $ cilindrinės koordinatės. Pakeitę rodymo parinktis, galime pamatyti, kad pagrindiniai vektoriai liestų atitinkamas koordinačių linijas. Pakeitus $ theta $, $ P $ juda išilgai $ theta $ koordinačių linijos kryptimi $ hat_ theta $ ir panašiai kaip ir kitoms koordinatėms.

Cilindrinės koordinatės yra apibrėžtos Dekarto koordinačių rinkinio atžvilgiu ir gali būti konvertuojamos į šias koordinates ir iš jų naudojant funkciją atan2 taip.

Konversija tarp cilindrinių ir Dekarto koordinačių

Norėdami rasti konversiją į Dekarto koordinates, $ x $ - $ y $ plokštumoje naudojame stačiakampį trikampį su hipotenuzu $ r $ ir kampu $ theta $, kuris iškart pateikia $ x $ ir $ y $ išraiškas. $ Z $ koordinatė lieka nepakitusi.

Norėdami konvertuoti iš Dekarto koordinačių, mes naudojame funkciją atan2 su tuo pačiu trikampiu.

Pagrindiniai vektoriai liečia koordinačių linijas ir sudaro dešiniarankį ortonormalų pagrindą $ hat_r, kepurė_ teta, kepurė_z $, kuris priklauso nuo dabartinės pozicijos $ vec

$ taip. Galime parašyti arba $ hat_z $ arba $ hat$ vertikalaus pagrindo vektoriui.

Cilindriniai pagrindo vektoriai

[ prasideda kepurė_r & amp = cos theta , hat < imath> + sin theta , hat < jmath> hat_ < theta> & amp = - sin theta , hat < imath> + cos theta , hat < jmath> hat_z & amp = kepurė [1em] kepurė < imath> & amp = cos teta , kepurė_r - nuodėmė teta , kepurė_ theta hat & amp = sin theta , hat_r + cos theta , hat_ teta kepurė & amp = kepurė_z pabaiga]

Parašome padėties vektorių $ vec < rho> = r cos theta , hat < imath> + r sin theta , hat < jmath> + z , hat$ ir tada naudokite koordinačių pagrindo vektorių apibrėžimą, norėdami rasti nenormuotus cilindrinius pagrindinius vektorius:

Abu $ vec_r $ ir $ vec_z $ jau normalizuoti, o $ vec ilgis_ theta $ yra $ r $, todėl galime iš to padalyti, kad gautume galutinį normalizuotą bazinį vektorių.

Norėdami pakeisti pagrindinį pokytį, galime išspręsti $ hat < imath> $ ir $ hat < jmath> $.

Jei cilindrinės koordinatės keičiasi laikui bėgant, cilindriniai pagrindiniai vektoriai sukasi tokiu kampiniu greičiu.

Cilindrinio pagrindo kampinis greitis

$ R $ arba $ z $ keitimas nesukelia pagrindo pasukimo, o keičiant $ theta $ sukasi apie vertikalią ašį $ hat_z $.

Bazinių vektorių sukimasis, sukeltas keičiant koordinates, suteikia žemiau pateiktus laiko išvestinius.

Cilindrinių bazinių vektorių laiko išvestiniai

Mes galime tiesiogiai diferencijuoti pagrindines vektorines išraiškas arba galime priminti, kad $ dot < hat> = vec < omega> times hat$ už bet kokį pagrindinį vektorių $ hat$. Tai suteikia:

[ prasideda taškas < kepurė> _r & amp = vec < omega> times hat_r = dot teta , hat_z kartus kepurė_r = dot < theta> , hat_ teta taškas < kepurė> _ < theta> & amp = vec < omega> times hat_ < theta> = dot theta , hat_z kartus kepurė_ theta = - dot theta , hat_r taškas < kepurė> _z & amp = vec < omega> times hat_ < phi> = dot theta , hat_z kartus kepurė_z = 0 pabaiga]

kur mes panaudojome tai, kad $ hat_r, kepurė_ teta, kepurė_z $ sudaro dešiniarankių ortonormalų pagrindą kryžminiams produktams įvertinti.

Taškas $ P $ kintančioje pozicijoje $ (r, theta, z) $ turi padėties vektorių $ vec < rho> $, greitis $ vec = dot < vec < rho >> $, ir pagreitis $ vec = ddot < vec < rho >> $, kuriuos suteikia šios išraiškos cilindriniuose komponentuose.

Padėtis, greitis ir pagreitis cilindrinėse dalyse

Iš koordinačių išraiškų matome, kad padėties vektorius yra $ vec < rho> = r , hat_r + z , kepurė_z $. Tuomet diferencijuojant gaunama:

ir išraiškoje pakeisime $ dot < hat> _r $ ir $ dot < hat> _z $ iš viršaus. Imant kitą išvestinę priemonę gaunama:

ir vėl galime pakeisti pagrindinius vektorinius darinius.

Mes paprastai rašome $ vec$ taško padėties vektoriui, bet jei mes naudojame cilindrines koordinates $ r, theta, z $, tai yra pavojinga. Taip yra todėl, kad $ r $ gali reikšti $ vec dydį$ arba radialinė koordinatė, kurios skiriasi. Kad išvengtume painiavos, pozicijos vektoriui naudojame $ vec < rho> $, o radialinei koordinatei - $ r $.


Dažniausiai naudojamos koordinačių sistemos

Dešinioji pakilimo koordinačių sistema, parodyta 2 paveiksle, yra a heliocentrinis (saulė) centruota sistema, kurios saulė yra jos atsiradimo pradžia z ašis, nukreipta į dangaus efemerio polių CEP, kuris taip pat vadinamas šiaurės dangaus polius (NKP). x ašis rodo į pavasario tašką ^, o y ašis sukuria dešiniarankių sistemą. Primename, kad pavasario taškas yra vieta, kur saulė, matyt, kerta dangaus pusiaują, pirmąją pavasario dieną eidama iš pietinio pusrutulio į šiaurinį pusrutulį. deklinacija d į žvaigždę yra kampas nuo dangaus pusiaujo plokštumos iki linijos nuo saulės iki žvaigždės astronominiame žvaigždės dienovidinyje. teisingas pakilimas a žvaigždei yra kampas, išmatuotas prieš laikrodžio rodyklę (žiūrint iš NKP) dangaus pusiaujo plokštumoje nuo ^ astronominio dienovidinio (vadinamas pusiaujo spalva) į dangaus žvaigždės dienovidinį. Kadangi šioje sistemoje atstumas iki žvaigždės nesvarbus, dangaus objektų padėtį apibūdiname deklinacijos δ ir dešiniojo pakilimo α kampais. Naudojant 1 atstumą iki žvaigždės, vieneto vektorius, apibūdinantis kryptį į žvaigždę šioje sistemoje, yra

Santykis tarp kampų ir Dekarto koordinačių yra

  1. Pirmoji lygties dalis reikalauja nustatyti tinkamą kampo kvadrantą.
  2. Antroji lygties dalis yra teigiama nuo 0 & # 176 iki 180 & # 176 ir neigiama nuo 180 & # 176 iki 360 & # 176.

Žinoma, kadangi NKP juda žvaigždžių atžvilgiu kaip laiko funkcija, a ir d vertės taip pat keičiasi laikui bėgant. Taigi dangaus objektų stebėjimai turi būti nurodyti laiku. Žvaigždžių kataloguose paprastai naudojama teisinga pakilimo sistema, kuri yra ankstesnė, bet nemaitina. Tai žinoma kaip reiškia dešiniojo pakylėjimo sistemą [MRA (t0)].


Trigonometrija

Dekarto koordinačių sistema taip pat vadinama, nes ji apibūdina vietą plokštumoje kaip stačiakampio viršūnę. Norėdami sukurti stačiakampę koordinačių sistemą, mes pradedame dviem statmenomis ašimis, kurios susikerta ties pradžia. Taško (x ) - ir (y ) koordinatės nurodo stačiakampio, kurio pradžioje yra viena viršūnė, ilgį ir plotį. Taškas (P (x, y) ) yra priešingoje stačiakampio viršūnėje, kaip parodyta toliau pateiktame paveikslėlyje.

9 skyriuje vektoriais nurodėme vietą nurodydami atstumą ir kryptį. Pavyzdžiui, galime pasakyti, kad oro uostas yra 5 mylios į pietvakarius nuo miesto centro. Šis vietų nustatymo metodas yra toks naudingas, kad sukursime naują koordinačių sistemą naudodami tuos pačius įrankius: atstumą ir kryptį.

Pradedame nuo pradžios arba vieno spindulio nuo poliaus, vadinamo. Apibūdiname taško (P ) vietą plokštumoje matuojant atstumą ( abs text <,> ) nuo (P ) iki poliaus ir kampas ( theta text <,> ), kuris ( vec) daro su poline ašimi (matuojama prieš laikrodžio rodyklę). Sutvarkytos poros ((r, theta) ) komponentai vadinami taško (P text <.> )

Poliarinės koordinatės.

Taško (P ) taškas plokštumoje yra ((r, theta) text <,> ) kur

( abs) yra nuo (P ) iki poliaus,

( theta ) yra matuojamas prieš laikrodžio rodyklę nuo polinės ašies iki spindulio per (P ) nuo ašigalio.

Dirbdami su polinėmis koordinatėmis, kampui ( theta text <.> ) Visada naudosime radianus. Pavyzdžiui, taškas (P kairėn (2, dfrac < pi> <2> dešinėn) ) ) yra 2 vienetai nuo poliaus ( dfrac < pi> <2> ) radianų kampu, o (Q (3,4) ) yra 3 vienetai nuo ašies kampu iš 4 radianų. (P ) ir (Q ) grafikai rodomi dešinėje.

Stačiakampių koordinačių grafiko popieriaus gabalas susideda iš horizontalių ir vertikalių linijų tinklelio. Tai yra eilutės (x = k ) ir (y = k text <,> ) tolygiai išdėstytoms (k text <.> ) Reikšmėms. Kiekvieną vertikalią tinklelio liniją sudaro taškai, kurie turi tas pačias (x ) - koordinatė, o kiekvieną horizontalią tinklelio liniją sudaro taškai, turintys tą pačią (y ) koordinatę. Tinklelio linijos yra atskaitos taškai, padedantys mums rasti taškus su konkrečiomis stačiakampėmis koordinatėmis.

Grafinio popieriaus gabalas polinėmis koordinatėmis susideda iš koncentrinių apskritimų ir radialinių linijų tinklelio, kaip parodyta žemiau. Kiekvienas apskritimas susideda iš taškų, turinčių tą patį (r ) - koordinatę, jie visi yra vienodu atstumu nuo ašies. Visi taškai su ta pačia ( theta ) - koordinatėmis yra vienoje iš radialinių linijų. Šis tinklelis padeda mums rasti taškus su konkrečiomis polinėmis koordinatėmis.

Poskyrio braižymo taškai

Jūs esate įpratęs mąstyti stačiakampėmis koordinatėmis: norėdami rasti tašką, mes tiek vienetų judiname kairėn ar dešinėn, tiek daug vienetų aukštyn arba žemyn. Dirbdami poliarinėmis koordinatėmis norime „radialiai galvoti:“, kiek toli reikia judėti nuo ašigalio ir kuria kryptimi.

10.1 pavyzdys.

Nubraižykite taškus, kurių polinės koordinatės pateiktos: (A kairė (1, dfrac < pi> <2> dešinė) ) ir (B kairė (2, dfrac <7 pi> <4>) dešinė) tekstas <.> )

Norėdami nubrėžti tašką (A text <,> ), mes perkeliame 1 vienetą nuo poliaus kryptimi ( dfrac < pi> <2> text <,> ), kaip parodyta dešinėje. Norėdami nubrėžti tašką (B text <,> ), 2 vienetus nutolome nuo ašigalio kryptimi ( dfrac <7 pi> <4> text <.> )

Atsargumas 10.2.

Atkreipkite dėmesį, kad nors nepriklausomas ar įvesties kintamasis polinėmis koordinatėmis beveik visada yra ( theta text <,> ), pirmiausia įprasta išvardyti priklausomą arba išvestį kintamąjį: ((r, theta) text <. > )

10.3 kontrolinis punktas.

Duokite dešinėje rodomų taškų (S ) ir (T ) polines koordinates su (0 le theta le 2 pi text <.> )

Kiekviename taške yra be galo daug polinių koordinačių, nes prie ( theta text <.> Reikšmės galime pridėti (2 pi ) kartotinius. Pavyzdžiui, taškas su polinėmis koordinatėmis ( left (1 , dfrac < pi> <2> right] ) taip pat turi polines koordinates ( kairė (1, dfrac <5 pi> <2> dešinė) ) ir ( kairė (1, dfrac <-3 pi> <2> dešinėje) text <.> )

Jei leidžiame neigiamas (r text <,> ) reikšmes, yra dar daugiau būdų parašyti taško koordinates. Kiekvienas kampas žymi tiesę per ašigalį, o kiekviena linija turi ir postyvą, ir neigiamą kryptį.

Pavyzdžiui, linijoje, esančioje ( theta = dfrac < pi> <4> text <,> ), teigiama kryptis yra pirmame kvadrate, taigi taškas ((2, dfrac < pi> <4>) ) dešinėje paveiksle žymimas (P ). Norėdami nubrėžti tašką ((- 2, dfrac < pi> <4>) text <,> ) mes judame priešinga kryptimi nei ašis, pasiekdami tašką (Q text <.> ) Atkreipkite dėmesį, kad tašką (Q ) taip pat galima nurodyti pagal koordinates ((2, dfrac <5 pi> <4>) text <.> )

Poliarinių koordinačių unikalumas.
  1. Bet kuris taškas, turintis polines koordinates ((r, theta) ), taip pat turi koordinates ((r, theta + 2k pi) text <,> ), kur (k ) yra sveikasis skaičius.
  2. Tašką ((r, theta) ) taip pat galima pažymėti ((- - r, theta + pi) text <.> )
  3. Stulpelis turi koordinates ((0, theta) text <,> ) bet kuriai ( theta text <.> ) Reikšmei
10.4 pavyzdys.

Pateikite ankstesnio pratimo taškų poliarines koordinates su neigiamomis (r ) - taškų vertėmis.

Taškas (S (2, pi) ) taip pat yra ((- 2, pi) ) arba ((- 2,0) text <.> ) Taškas (T left ( 3, dfrac <2 pi> <3> dešinėn) ) taip pat galima pažymėti ( kairė (-3, dfrac <2 pi> <3> + pi dešinė) text <, > ) arba ( kairė (-3, dfrac <5 pi> <3> dešinė) text <.> )

10.5 kontrolinis punktas.

Duokite polines koordinates su teigiamomis (r ) vertėmis ir (0 le theta le 2 pi ) kiekvienam taškui, nurodytam poliarinėmis koordinatėmis.

Regiono poskyris lėktuve

Dekarto koordinatėse mes naudojame lygtis ir nelygybes, kad apibūdintume regionus plokštumoje. Pavyzdžiui, pavaizduotas regionas (a) yra (y le x + 2 text <.> ) Nelygybių poros (x ge -2,

1 lt y lt 3 ) apibūdina regioną (b) paveiksle. Šis regionas yra ypač paprastas, nes jo ribos yra koordinačių tinklelio (x = k ) ir (y = k text <,> ) dalys, kur (k ) yra konstanta.

Poliarinėje plokštumoje koordinačių tinklelio linijos yra apskritimai, centruoti ties ašimi, su lygtimis (r = k text <,> ) ir tiesėmis per ašigalį su lygtimis ( theta = k text <.> )

10.6 pavyzdys.

Nubraižykite regioną, nurodytą pagal kiekvieną nelygybės rinkinį.

  1. ( displaystyle 1 le r lt 3 )
  2. ( displaystyle 0 le r le 2,

Regioną sudaro visi taškai tarp 1 (imtinai) ir 3 vienetų nuo ašies. ( Theta text <,> ) nėra jokių apribojimų, todėl regionas yra žiedinis žiedas, parodytas (a) paveiksle.


2.2 Koordinatinės sistemos ir vektoriaus komponentai

Vektoriai paprastai apibūdinami atsižvelgiant į jų komponentus a koordinačių sistema . Net ir kasdieniame gyvenime mes natūraliai remiamės stačiakampių koordinačių sistemos stačiakampių projekcijų samprata. Pavyzdžiui, jei ko nors paprašysite nurodymų į tam tikrą vietą, jums greičiausiai bus liepta eiti 40 km į rytus ir 30 km į šiaurę, nei 50 km šiaurės rytų [latekso] 37 ^ circ [/ latekso] kryptimi.

2.16 pav Dekarto koordinačių sistemos plokštumoje esantis vektorius [lateksas] mathbf < perdėtas < į >> [/ lateksą] yra jo vektorių x- ir y komponentų vektorinė suma. „X-vector“ komponentas [lateksas] < mathbf < overset < to >>> _[/ lateksas] yra stačiakampis vektoriaus [lateksas] mathbf < perdėtas < į >> [/ lateksas] projekcija į x ašį. Y vektoriaus komponentas [lateksas] < mathbf < overset < to >>> _[/ lateksas] yra stačiakampis vektoriaus [lateksas] mathbf < perdėtas < į >> [/ lateksas] projekcija į y ašį. Skaičiai [lateksas] _[/ lateksas] ir [lateksas] _[/ lateksas], padauginantys vienetinius vektorius, yra vektoriaus skaliariniai komponentai.

Teigiamą kryptį įprasta žymėti x-taksis pagal vieneto vektorių [lateksas] mathbf < hat> [/ lateksas] ir teigiama kryptis y-taksis pagal vieneto vektorių [lateksas] mathbf < hat> [/ lateksas]. Ašių vienetiniai vektoriai, [lateksas] mathbf < hat> [/ lateksas] ir [lateksas] mathbf < hat> [/ lateksas], apibrėžkite dvi stačias plokštumos kryptis. Kaip parodyta paveiksle, x& # 8211 ir y& # 8211 vektoriaus komponentus dabar galima parašyti pagal ašių vienetinius vektorius:

Jei žinome koordinates [lateksą] b (_,_) [/ lateksas] vektoriaus pradžios taško (kur b reiškia „pradžia“) ir koordinates [lateksas] e (_,_) [/ lateksas] vektoriaus galinio taško (kur e reiškia „pabaiga“), vektoriaus skaliarinius komponentus galime gauti paprasčiausiai atimdami pradinio taško koordinates iš pabaigos taško koordinačių:

Pavyzdys

Pelės žymeklio poslinkis

Pelės žymeklis, esantis kompiuterio ekrane, jo pradinėje padėtyje yra taške (6,0 cm, 1,6 cm) apatinio kairiojo kampo atžvilgiu. Jei perkelsite žymeklį į piktogramą, esančią taške (2,0 cm, 4,5 cm), koks yra rodyklės poslinkio vektorius?

Strategija

Kilmė xy-koordinačių sistema yra apatinis kairysis kompiuterio monitoriaus kampas. Todėl vieneto vektorius [lateksas] mathbf < hat> [/ lateksas] x- ašis nukreipta horizontaliai į dešinę ir vieneto vektorius [lateksas] mathbf < hat> [/ lateksas] y- ašys nukreiptos vertikaliai į viršų. Poslinkio vektoriaus kilmė yra taške b(6.0, 1.6) ir poslinkio vektoriaus galas yra taške e(2,0, 4,5). Pakeiskite šių taškų koordinates į paveikslą, kad rastumėte skaliarinius komponentus [lateksas]_[/ lateksas] ir [lateksas]_poslinkio vektoriaus [/ lateksas] [lateksas] mathbf < overset < to>> [/ lateksas]. Galiausiai pakeiskite koordinates į paveikslą, kad užrašytumėte poslinkio vektorių vektoriaus komponento pavidalu.

Sprendimas

Mes nustatome [lateksą]_= 6,0 [/ lateksas], [lateksas]_= 2,0 [/ lateksas], [lateksas]_= 1,6 [/ lateksas] ir [lateksas]_= 4,5 [/ lateksas], kai fizinis vienetas yra 1 cm. Skaliarinio vektoriaus skaliariniai x- ir y-komponentai yra [lateksas] prasideda hpildyti _& =_-_= (2,0–6,0) tekstas= -4,0 , tekstas, hfill hfill _& =_-_= (4,5-1,6) tekstas= + 2,9 , tekstas. hpildyti pabaiga[/ lateksas]

Poslinkio vektoriaus vektoriaus komponento forma yra

2.17 pav Poslinkio vektoriaus grafikas. Vektorius nurodo nuo pradžios taško b iki pabaigos taško e.

Reikšmė

Atkreipkite dėmesį, kad fizinį vienetą - čia, 1 cm, galima įdėti arba su kiekvienu komponentu prieš pat vieneto vektorių, arba visame pasaulyje abiem komponentams, kaip parodyta paveiksle. Dažnai pastarasis būdas yra patogesnis, nes yra paprastesnis.

Vektorius x-komponentas [lateksas] < mathbf < overset < to>>>_= -4,0 mathbf < hat> = 4,0 ( text <−> mathbf < hat>) [/ lateksas] poslinkio vektoriuje turi dydį [lateksas] | < mathbf < overset < to>>>_| = | -4,0 || mathbf < hat> | = 4,0 [/ lateksas], nes vieneto vektoriaus dydis yra [lateksas] | mathbf < hat> | = 1 [/ lateksas]. Taip pat atkreipkite dėmesį, kad x-komponentas yra [lateksas] text <−> mathbf < hat> [/ lateksas], kuris yra priešingas + krypčiaixtaigi ašis x-komponentinis vektorius [lateksas] < mathbf < overset < to>>>_[/ lateksas] rodo į kairę, kaip parodyta paveiksle. Skalaras xvektoriaus [lateksas] mathbf < overset < to> komponentas> [/ lateksas] yra [lateksas]_= -4,0 [/ lateksas].

Panašiai ir vektorius y-komponentas [lateksas] < mathbf < overset < to>>>_= + 2,9 mathbf < hat> poslinkio vektoriaus [/ lateksas] turi dydį [lateksas] | < mathbf < overset < to>>>_| = | 2.9 || mathbf < hat> | = , 2,9 [/ lateksas], nes vieneto vektoriaus dydis yra [lateksas] | mathbf < hat> | = 1 [/ lateksas]. Kryptis ykomponentas yra [lateksas] + mathbf < hat> [/ lateksas], kuris yra lygiagretus + krypčiaiy- ašis. Todėl y-komponentinis vektorius [lateksas] < mathbf < overset < to>>>_[/ lateksas] nukreiptas aukštyn, kaip parodyta paveiksle. Skalaras yvektoriaus [lateksas] mathbf < overset < to> komponentas> [/ lateksas] yra [lateksas]_= + 2,9 [/ lateksas]. Poslinkio vektorius [lateksas] mathbf < perdėtas < į>> [/ lateksas] yra jo dviejų rezultatas vektorius komponentai.

Poslinkio vektoriaus vektoriaus komponento forma pavaizduota, kad pelės žymeklis monitoriuje buvo perkeltas 4,0 cm į kairę ir 2,9 cm į viršų nuo pradinės padėties.

Patikrinkite savo supratimą

Mėlyna musė nusileidžia ant grafiko popieriaus lapo taške, esančiame 10,0 cm kairiajame krašte dešinėje ir 8,0 cm virš apatinio krašto, ir lėtai eina iki taško, esančio 5,0 cm atstumu nuo kairio krašto ir 5,0 cm atstumu nuo apatinio krašto. . Apatiniame kairiajame popieriaus kampe pasirinkite stačiakampę koordinačių sistemą su kilme ir raskite musės poslinkio vektorių. Iliustruokite savo sprendimą grafiškai.

[lateksas] mathbf < perdėtas < į>> = (- 5,0 mathbf < hat> -3,0 mathbf < hat>) tekstas[/ lateksas] musė pasislinko 5,0 cm į kairę ir 3,0 cm žemyn nuo nusileidimo vietos.

2.18 pav Vektoriui [lateksas] mathbf < perdėtas < į >> [/ lateksas] jo dydis A ir krypties kampas [lateksas] < theta> _ [/ lateksas] yra susiję su skaliarinių komponentų dydžiais, nes A , [lateksas] _[/ lateksas] ir [lateksas] _[/ lateksas] suformuoja stačiąjį trikampį.

2.19 pav Skaliariniai vektoriaus komponentai gali būti teigiami arba neigiami. Pirmojo kvadrato (I) vektoriuose skaliariniai komponentai yra teigiami, o trečiojo kvadranto vektorių skaliariniai komponentai yra neigiami. II ir III kvadrantų vektoriams vektoriaus krypties kampas yra [lateksas] < theta> _ = theta + 180 ^ circ [/ lateksas].

Pavyzdys

Poslinkio vektoriaus dydis ir kryptis

Perkelkite pelės žymeklį ekrane iš pradinės padėties taške (6,0 cm, 1,6 cm) į ​​piktogramą, esančią taške (2,0 cm, 4,5 cm). Koks rodyklės poslinkio vektoriaus dydis ir kryptis?

Strategija

Paveikslėlyje radome poslinkio vektorių [lateksas] mathbf < overset < to>> pelės žymeklio [/ lateksas] (žr. paveikslą). Mes nustatome jo skaliarinius komponentus [lateksas]_= -4,0 , tekstas[/ lateksas] ir [lateksas]_= + 2,9 , tekstas[/ lateksas] ir pakeiskite į paveikslą ir paveikslą, kad rastumėte dydį D ir kryptis [lateksas] < theta> _[/ lateksas].

Sprendimas

Vektoriaus dydis [lateksas] mathbf < perdėtas < į>> [/ lateksas] yra [lateksas] D = sqrt <_^<2>+_^ <2>> = sqrt << (- 4,0 , tekstas)> ^ <2> + <(2,9 , tekstas)> ^ <2>> = sqrt << (4.0)> ^ <2> + <(2.9)> ^ <2>> , text= 4,9 , tekstas. [/ lateksas] Krypties kampas yra [lateksas] tekstas, theta = frac <_><_> = frac <+2,9 , tekstas> <- 4,0 , tekstas> = - 0,725 enspace Rightarrow enspace theta = < text> ^ <-1> (-0,725) = - 35,9 ^ circ. [/ Lateksas] Vektorius [lateksas] mathbf < perdėtas < į>> [/ lateksas] yra antrame kvadrante, taigi jo krypties kampas yra [lateksas] < theta> _= theta + 180 ^ circ = -35.9 ^ circ + 180 ^ circ = 144.1 ^ circ. [/ lateksas]

Patikrinkite savo supratimą

Jei mėlynos musės, einančios ant grafiko popieriaus lapo, poslinkio vektorius yra [lateksas] mathbf < overet < to>> = (- 5.00 mathbf < hat> -3,00 mathbf < hat>) tekstas[/ lateksas], raskite jo dydį ir kryptį.

Daugelyje programų yra žinomi vektorių dydžių dydžiai ir kryptys, todėl turime rasti daugelio vektorių rezultatą. Pvz., Įsivaizduokite, kaip stiprus vėjas juda San Francisko „Golden Gate“ tiltu. Kiekvienas automobilis suteikia tiltui skirtingą paspaudimą įvairiomis kryptimis, ir mes norėtume sužinoti, koks didelis gali būti gautas stumimas. Mes jau įgijome tam tikros geometrinės vektorių sumų konstrukcijos patirties, todėl žinome, kad užduotis surasti rezultatą, piešiant vektorius ir matuojant jų ilgius bei kampus, gali tapti gana greitai neįveikiama, o tai lemia didžiules klaidas. Tokių rūpesčių neatsiranda, kai naudojame analitinius metodus. Pirmasis analitinio požiūrio žingsnis yra vektoriaus komponentų radimas, kai yra žinoma vektoriaus kryptis ir dydis.

Pavyzdys

Poslinkio vektorių komponentai

Dingusio vaiko gelbėjimo vakarėlis seka paieškos šunį, vardu Trooper. Kariuomenė daug klaidžioja ir verčia daugybę bandymų uostyti įvairiais keliais. Trooperas galų gale randa vaiką ir istorija baigiasi laiminga, tačiau atrodo, kad jo poslinkiai ant įvairių kojų yra išties sukrėsti. Vienu iš kojų jis eina 200,0 m į pietryčius, tada eina į šiaurę apie 300,0 m. Trečioje kojoje jis atidžiai tiria kvapus 50,0 m kryptimi [lateksas] 30 ^ circ [/ lateksas] į vakarus nuo šiaurės. Ketvirta pakopa Trooper eina tiesiai į pietus 80,0 m, pasiima gaivų kvapą ir pasuka [lateksas] 23 ^ circ [/ lateksas] į vakarus nuo pietų 150,0 m. Raskite Trooperio poslinkio vektorių ir jo poslinkio vektorių skaliarinius komponentus kiekvienos kojos vektoriaus komponento pavidalu.

Strategija

Priimkime stačiakampę koordinačių sistemą su teigiama x- ašis geografinių rytų kryptimi, teigiama ykryptis nukreipta į geografinę šiaurę. Aiškiai, vieneto vektorius [lateksas] mathbf < hat> [/ lateksas] x-galis nukreipta į rytus ir vieneto vektorius [lateksas] mathbf < hat> [/ lateksas] y-ašis nukreiptas į šiaurę. Trooper gamina penkias kojas, taigi yra penki poslinkio vektoriai. Pradedame nuo jų dydžių ir krypties kampų nustatymo, tada naudodamiesi pav. Surandame poslinkių skaliarinius komponentus ir poslinkio vektorių paveikslą.

Sprendimas

Pirmoje kojoje poslinkio dydis yra [lateksas]_ <1> = 200,0 , tekstas[/ lateksas] ir kryptis yra pietryčių. Krypties kampui [lateksas] < theta> _ <1> [/ lateksas] galime imti arba [lateksą] 45 ^ circ [/ lateksą], matuojamą pagal laikrodžio rodyklę iš rytų krypties, arba [lateksą] 45 ^ circ + 270 ^ circ [/ lateksas] matuojamas prieš laikrodžio rodyklę iš rytų krypties. Pasirinkę pirmą variantą, [lateksas] < theta> _ <1> = -45 ^ circ [/ lateksas]. Pasirinkę antrąjį variantą, [lateksas] < theta> _ <1> = + 315 ^ circ [/ lateksas]. Mes galime naudoti bet kurį iš šių dviejų kampų. Komponentai yra

Pirmosios kojos poslinkio vektorius yra

Antroje „Trooper“ klajonių dalyje poslinkio dydis yra [lateksas]_ <2> = 300,0 , tekstas[/ lateksas] ir kryptis yra šiaurė. Krypties kampas yra [lateksas] < theta> _ <2> = + 90 ^ circ [/ lateksas]. Gauname šiuos rezultatus:

Trečioje kojoje poslinkio dydis yra [lateksas]_ <3> = 50,0 , tekstas[/ lateksas] ir kryptis yra [lateksas] 30 ^ circ [/ lateksas] į vakarus nuo šiaurės. Krypties kampas, matuojamas prieš laikrodžio rodyklę nuo rytų krypties, yra [lateksas] < theta> _ <3> = 30 ^ circ + 90 ^ circ = + 120 ^ circ [/ lateksas]. Tai suteikia šiuos atsakymus:

Ketvirtoje ekskursijos dalyje poslinkio dydis yra [lateksas]_ <4> = 80,0 , tekstas[/ lateksas] ir kryptis yra į pietus. Krypties kampą galima laikyti kaip [lateksas] < theta> _ <4> = -90 ^ circ [/ lateksas] arba [lateksas] < theta> _ <4> = + 270 ^ circ [/ lateksas ]. Mes gauname

Paskutinės kojos dydis yra [lateksas]_ <5> = 150,0 , tekstas[/ lateksas] ir kampas yra [lateksas] < theta> _ <5> = -23 ^ circ + 270 ^ circ = + 247 ^ circ [/ latex] [lateksas] (23 ^ circ [/ lateksas] į vakarus nuo pietų), kuris suteikia [lateksą] prasideda hpildyti _ <5x> & = h pildyti & _ <5> , tekstas, < theta> _ <5> = (150,0 , tekstas) , tekstas, 247 ^ circ = -58,6 , tekstas hfill hfill _ <5y> & = h pildyti & _ <5> , tekstas, < theta> _ <5> = (150,0 , tekstas) , tekstas, 247 ^ circ = -138.1 , text hfill hfill < mathbf < overset < to>>> _ <5> ir = užpildyti & _ <5x> mathbf < hat>+_ <5y> mathbf < hat> = ((- 58,6 mathbf < hat> -138.1 mathbf < hat>) tekstas. hpildyti pabaiga[/ lateksas]

Patikrinkite savo supratimą

Jei Trooper prieš ilsėdamasis bėga 20 m į vakarus, koks yra jo poslinkio vektorius?

Poliarinės koordinatės

Norėdami apibūdinti taškų ar vektorių vietas plokštumoje, mums reikia dviejų stačių krypčių. Dekarto koordinačių sistemoje šias kryptis pateikia vieneto vektoriai [lateksas] mathbf < hat> [/ lateksas] ir [lateksas] mathbf < hat> [/ lateksas] išilgai x- ašis ir yatitinkamai ašis. Dekarto koordinačių sistema yra labai patogu naudoti apibūdinant objektų poslinkius ir greičius bei juos veikiančias jėgas. Tačiau tampa sudėtinga, kai reikia apibūdinti objektų sukimąsi. Apibūdindami rotaciją, mes paprastai dirbame poliarinių koordinačių sistema.

Poliarinių koordinačių sistemoje taško vieta P plokštumoje duoda du poliarinis koordinatės (Pav.). Pirmoji polinė koordinatė yra radialinė koordinatė r, kuris yra taško atstumas P nuo kilmės. Antroji polinė koordinatė yra kampas [lateksas] phi [/ lateksas], kurį radialinis vektorius daro pasirinkta kryptimi, paprastai teigiamą x-kryptis. Poliarinėmis koordinatėmis kampai matuojami radianais arba radais. Radialinis vektorius yra pritvirtintas prie pradžios ir nukreiptas tolyn nuo pradžios taško P. Šią radialinę kryptį apibūdina radialinis vektorius [lateksas] mathbf < hat> [/ lateksas]. Antrojo vieneto vektorius [lateksas] mathbf < hat> [/ lateksas] yra radialinei krypčiai statmenas vektorius [lateksas] mathbf < hat> [/ lateksas]. Teigiamas [lateksas] + mathbf < hat> [/ latekso] kryptis rodo, kaip kampas [lateksas] phi [/ lateksas] keičiasi prieš laikrodžio rodyklę. Tokiu būdu taškas P kuris turi koordinates (x, y) stačiakampio sistemoje poliarinių koordinačių sistemoje galima lygiaverčiai apibūdinti dviem polinėmis koordinatėmis [lateksas] (r, phi) [/ lateksas]. Paveikslas galioja bet kuriam vektoriui, todėl jį galime naudoti norėdami išreikšti x& # 8211 ir yvektoriaus [lateksas] mathbf < overet < to> koordinatės> [/ lateksas]. Tokiu būdu gauname ryšį tarp taško poliarinių ir stačiakampių koordinačių P:

2.20 pav Naudojant polines koordinates, vieneto vektorius [lateksas] mathbf < hat> [/ lateksas] apibrėžia teigiamą kryptį išilgai spindulio r (radialinė kryptis) ir, statmenai jai, vektorinį vienetą [lateksas] mathbf < hat> [/ lateksas] apibrėžia teigiamą sukimosi kryptį kampu [lateksas] phi [/ lateksas].

Pavyzdys

Poliarinės koordinatės

Lobių ieškotojas suranda vieną sidabrinę monetą 20,0 m atstumu nuo sauso šulinio šiaurės rytų kryptimi [lateksas] 20 ^ circ [/ lateksas] ir randa vieną auksinę monetą 10,0 m atstumu nuo šulinio. kryptis [lateksas] 20 ^ circ [/ lateksas] į šiaurę nuo vakarų. Kokios yra šių radinių polinės ir stačiakampės koordinatės šulinio atžvilgiu?

Strategija

Šulinys žymi koordinačių sistemos kilmę, o rytuose yra +x-kryptis. Mes nustatome radialinius atstumus nuo vietų iki pradžios, kurie yra [lateksas]_= 20,0 , tekstas[/ lateksas] (sidabrinei monetai) ir [lateksas]_= 10,0 , tekstas[/ lateksas] (auksinei monetai). Norėdami rasti kampines koordinates, konvertuojame [lateksas] 20 ^ circ [/ lateksas] į radianus: [lateksas] 20 ^ circ = pi 20 text180 = pi tekstas9 [/ lateksas]. Mes naudojame pav., Kad rastume x& # 8211 ir ymonetų koordinatės.

Sprendimas

Sidabrinės monetos kampinė koordinatė yra [lateksas] < phi> _= pi tekstas9 [/ lateksas], o auksinės monetos kampinė koordinatė yra [lateksas] < phi> _= pi - pi tekstas9 = 8 pi tekstas9 [/ lateksas]. Taigi sidabrinės monetos polinės koordinatės yra [lateksas] (_, < phi> _) = (20,0 , tekstas, pi tekstas9) [/ lateksas], o auksinės monetos yra [lateksas] (_, < phi> _) = (10.0 , tekstas, 8 pi tekstas9) [/ lateksas]. Šias koordinates pakeičiame į (pav.), Kad gautume stačiakampes koordinates. Auksinės monetos koordinatės yra

Sidabrinės monetos koordinatės yra

Vektoriai trimis matmenimis

Norint nurodyti taško vietą erdvėje, mums reikia trijų koordinačių (x, y, z), kur koordinatės x ir y nurodyti vietas plokštumoje ir koordinuoti z suteikia vertikalią padėtį virš arba žemiau plokštumos. Trimatė erdvė turi tris stačiakampes kryptis, todėl mums reikia ne dviejų, o trys vieneto vektoriai apibrėžti trimatę koordinačių sistemą. Dekarto koordinačių sistemoje pirmieji du vieneto vektoriai yra vieneto vektorius x-ašis [lateksas] mathbf < kepurė> [/ lateksas] ir vieneto vektorius y-ašis [lateksas] mathbf < kepurė> [/ lateksas]. Trečiasis vieneto vektorius [lateksas] mathbf < hat> [/ lateksas] yra kryptis z-ašis (pav.). Ašių žymėjimo tvarka, kuri yra trijų vienetų vektorių atsiradimo tvarka, yra svarbi, nes ji apibrėžia koordinačių sistemos orientaciją. Užsakymas xyz, kuris prilygsta tvarkai [lateksas] mathbf < hat> [/ lateksas] ir # 8211 [lateksas] mathbf < hat> [/ lateksas] ir # 8211 [lateksas] mathbf < hat> [/ lateksas], apibrėžia standartinę dešiniarankių koordinačių sistemą (teigiamą orientaciją).

2.21 pav Trys vieneto vektoriai apibrėžia Dekarto sistemą trimatėje erdvėje. Šių vieneto vektorių atsiradimo tvarka nusako koordinačių sistemos orientaciją. Čia parodyta tvarka apibrėžia orientaciją dešiniąja ranka.

Jei žinome jo kilmės koordinates [lateksas] b (_,_,_) [/ lateksas] ir jo galas [lateksas] e (_,_,_) [/ lateksas], jo skaliariniai komponentai gaunami imant jų skirtumus: [lateksas] _[/ lateksas] ir [lateksas] _[/ lateksas] pateikiami paveiksle ir z-komponentą suteikia

Dydis A gaunamas apibendrinant paveikslą į tris dimensijas:

2.22 pav Trimatėje erdvėje esantis vektorius yra jo trijų vektorinių komponentų vektorių suma.

Pavyzdys

Drono pakilimas

IAI Heron pakilimo metu (pav.) Jo padėtis valdymo bokšto atžvilgiu yra 100 m virš žemės, 300 m į rytus ir 200 m į šiaurę. Po minutės jo padėtis yra 250 m virš žemės, 1200 m į rytus ir 2100 m į šiaurę. Koks drono poslinkio vektorius valdymo bokšto atžvilgiu? Koks jo poslinkio vektoriaus dydis?

2.23 pav Skraidantis bepilotis orlaivis „IAI Heron“. (kreditas: SSgt Reynaldo Ramon, USAF)

Strategija

Dekarto koordinačių sistemos kilmę laikome valdymo bokštu. „+“ Kryptisx-ašį pateikia vieneto vektorius [lateksas] mathbf < hat> [/ lateksas] į rytus, + kryptisy-ašį pateikia vieneto vektorius [lateksas] mathbf < hat> [/ lateksas] į šiaurę ir + kryptisz-ašį pateikia vieneto vektorius [lateksas] mathbf < hat> [/ lateksas], kuris nukreiptas aukštyn nuo žemės. Pirmoji drono padėtis yra poslinkio vektoriaus kilmė (arba, lygiaverčiai, pradžia), o jo antroji padėtis yra poslinkio vektoriaus pabaiga.

Sprendimas

Mes nustatome b (300,0 m, 200,0 m, 100,0 m) ir e (480,0 m, 370,0 m, 250,0 m) ir naudodamiesi (pav.) Ir (pav.) Surandame skalinius drono poslinkio vektoriaus komponentus:

Šiuos komponentus pakeičiame į (paveikslėlis), kad rastume poslinkio vektorių:

Patikrinkite savo supratimą

Jei vidutinis drono greičio vektorius poslinkyje, pav. Yra [lateksas] mathbf < overet < to>> = (15.0 mathbf < hat> +31,7 mathbf < hat> +2,5 mathbf < hat>) tekstas tekstas tekstas[/ lateksas], koks yra bepiločio oro greičio vektoriaus dydis?

Santrauka

  • Vektoriai aprašomi pagal jų komponentus koordinačių sistemoje. Dviejuose matmenyse (plokštumoje) vektoriai turi du komponentus. Trijuose matmenyse (erdvėje) vektoriai turi tris komponentus.
  • Vektoriaus vektoriaus komponentas yra jo dalis ašies kryptimi. Vektoriaus komponentas yra ašies vieneto vektoriaus, kurio skaliarusis komponentas yra išilgai šios ašies, sandauga. Vektorius yra jo vektorinių komponentų rezultatas.
  • Skaliariniai vektoriaus komponentai yra koordinačių skirtumai, kai iš vektoriaus pabaigos taško koordinačių atimamos kilmės koordinatės. Stačiakampėje sistemoje vektoriaus dydis yra jo komponentų kvadratų sumos kvadratinė šaknis.
  • Plokštumoje vektoriaus kryptį nurodo kampas, kurį vektorius turi su teigiamuoju x- ašis. Šis krypties kampas matuojamas prieš laikrodžio rodyklę. Skalaras xvektoriaus komponentas gali būti išreikštas kaip jo dydžio sandauga su jo krypties kampo kosinusu ir skaliaru ykomponentas gali būti išreikštas kaip jo dydžio sandauga su jo krypties kampo sinusu.
  • Plokštumoje yra dvi lygiavertės koordinačių sistemos. Dekarto koordinačių sistemą apibrėžia vieneto vektoriai [lateksas] mathbf < hat> [/ lateksas] ir [lateksas] mathbf < hat> [/ lateksas] išilgai x- ašis ir yatitinkamai ašis. Poliarinę koordinačių sistemą apibrėžia radialinio vieneto vektorius [lateksas] mathbf < hat> [/ lateksas], nurodantis kryptį nuo pradžios, ir vienetinis vektorius [lateksas] mathbf < hat> [/ lateksas], statmenas (stačiakampis) radialinei krypčiai.

Konceptualūs klausimai

Pateikite nulio nulio vektoriaus, kurio komponentas yra nulis, pavyzdį.

vieneto vektorius x- ašis

Paaiškinkite, kodėl vektoriaus komponentas negali būti didesnis už savo dydį.


Diferencinė paviršių geometrija E3

M. Farrashkhalvat, J. P. Miles, „Basic Structured Grid Generation“, 2003 m

3.6 Antroji pagrindinė forma

Pagrindinė paviršių geometrija E 3 priklauso nuo dviejų kvadratinių diferencialinių formų, iš kurių pirmoji sukuria aukščiau svarstytas metrines savybes. Tiriant paviršiaus S formą, žiūrint iš gaubiančios erdvės, atsiranda dar viena kvadratinė diferencinė forma bαβ du α du β paviršiaus koordinačių diferencialuose u 1, u 2. Mes laikome savavališką C kreivę C, einančią per tašką P, kuriame kreivė turi liestinės vektorių t = dr/ ds (ta kryptimi, kuria lanko ilgio parametras s didėja) ir pagrindinis normalus n. Tada

kur k yra C kreivumas ties P ir k yra kreivumo vektorius.

Jei N yra vienetas, normalus paviršiui ties P, galime suskaidyti k į

kur k n yra kryptimi N, K.N (vadinamas normalus kreivumas C at P) yra komponentas k · Nir kg yra tangentinis paviršiui ties P. Kadangi N · t = 0, diferencijavimas s kaip duoda parametras

kur patogu pagaminti bαβ aiškiai simetriškas, su

kur λ α reiškia vienetinio paviršiaus kontraversišką C liestinės vektorių.

Atkreipkite dėmesį, kad ženklas K.N nepriklauso nuo C orientacijos (krypties, kuria s yra matuojamas), tačiau tai priklauso nuo krypties, kuria normalus paviršius N yra paimtas.

Nuo N yra normalus paviršiaus liestinių vektoriams, diferencijuojantis N · aα = 0 atžvilgiu u β duoda

kurį galime pastebėti, faktiškai jau yra simetriškas α ir β. Taigi alternatyvi išraiška bαβ yra

The antroji pagrindinė forma bαβ du α du β gali būti parašyta, dedant u 1 = u, u 2 = v, kaip

Jei apibrėžtume kryptį N įprasta dešiniarankine prasme liečiančių vektorių atžvilgiu a1, a2, mes galime rašyti

pagal ekvn (3,25). Taigi eqns (3,95) galima parašyti kaip skaliarinius trigubus sandaugas

arba kaip determinantai, pavyzdžiui, su dekarto koordinatėmis x, y, z,

ir panašiai M ir N.

9 pratimas.

Eqn (3.32) apibrėžtam revoliucijos paviršiui parodykite, kad

Antroji pagrindinė forma yra tiesiogiai susijusi su atstumu, antrąja tvarka mažais kiekiais, tarp paviršiaus taškų, esančių P taško kaimynystėje, ir liestinės plokštumos ties P. Padėties vektoriaus prieaugis nuo P su koordinatėmis (u, v) į kaimyninį tašką Q (u + δu, v + δv) yra, išplėtus Taylor seriją,

į antrąją eilę δu, δv. Atstumas tarp Q ir liestinės plokštumos per P nurodomas projektuojant δr vieneto įprasta kryptimi N į liestinės plokštumą,

nuo N yra statmena paviršiaus liestinių vektoriams a1 ir a2. Gautos išraiškos ženklas bus skirtingas taškams S, esantiems skirtingose ​​liestinės plokštumos pusėse. Taigi, jei antroji pagrindinė forma yra teigiama apibrėžta arba neigiama apibrėžta, taip yra, jei det (bαβ) & lt 0 ties P, visi taškai, esantys šalia P, bus toje pačioje liestinės plokštumos pusėje. Tokie taškai P gali būti vadinami elipsinė. Bet jei det (bαβ) & gt0, P kaimynystėje bus taškai, esantys skirtingose ​​liestinės plokštumos pusėse, ir P gali būti vadinamas hiperbolinis. Trečioji galimybė yra ta, kad antroji pagrindinė forma yra teigiama arba neigiama pusiau apibrėžta, kuri atsiranda, kai det (bαβ)= 0. Taip yra, pavyzdžiui, apskrito cilindro atveju, kurio visus taškus ant paviršiaus galima vadinti parabolinis.

Pavyzdys: paviršius, kuriame yra visų trijų tipų taškai, yra toras, paviršius (3.4 pav.), suformuotas sukant apskritimą

viduje konors Oxz lėktuvas, kur b & lt a, apie z ašį (3.5 pav.). Tai yra ekvn (3.32) formos revoliucijos paviršius su f (u) = b + a cos u ir g (u) = a nuodėmė u. Pakeitę į ekvns (3.99), gauname

3.5 pav. Spindulio apskritimas a pasukti aplink Ozą, kad susidarytų toras.

Taigi det (bαβ) = LN - M 2 = a cos u (b + a cos u). Nuo (b + a cos u) & lt 0 visiems u reiškia, kad det (bαβ) yra tas pats, kas cos u ženklas. Taigi yra

elipsės taškai, kur - π/ 2 & gtu & gt n / 2, hiperboliniai taškai, kur π/ 2 & gtu & gt 3π / 2, ir parabolinių taškų kreivė, kur u = ± π / 2.

Jei paviršiaus kreivė C yra a įprastas skyrius, gaunamas susikirtus S su plokštuma, esančia P, kurioje yra Ntada kg = 0 ir k = kn, pateiktas ekvns (3.91) ir (3.16) kaip kvadratinių formų santykis

Jei C nėra įprastas skyrius, su pagrindiniu normaliuoju n padarant kampą φ su normaliu paviršiumi N, tada imant skaliarinį ekvn (3.90) sandaugą su N duoda Meusnier & # x27s teorema

kuri, išreikšta C kreivio spinduliu ρ ir kreivumo spinduliu ρn normalaus pjūvio, kurio paviršiaus liestinė yra ties P, yra lygiavertė

Jei C yra geodezinis, iš eqn (3.78) žinome, kad κ turi kryptį N. Taigi geodeziniam, kaip ir įprastam ruožui, κg= 0 geodezinis per tam tikros krypties tašką turi tą patį kreivumą, kaip įprastas atkarpos per tą tašką ta pačia kryptimi. Sferinio paviršiaus atveju normalūs pjūviai paviršiaus taške yra tokie patys kaip geodeziniai (didieji apskritimai), tačiau paprastai taip nėra.

Apskritai galima parodyti, kad dydis κg iš κg yra paskutiniame skyriuje apibrėžtas geodezinis kreivumas. Tai nurodo, kiek paviršiaus kreivės kreivumas taške skiriasi nuo tos pačios krypties geodezinės kreivės, einančios per tą tašką. Pagal ekvn (3,90) mes turime


Stačiakampė koordinačių sistema ir taškų braižymas

Stačiakampė koordinačių sistema taip pat žinoma kaip Dekartaskoordinačių sistema po Rene'o Descartes'o.

Stačiakampio formos koordinačių sistema remiasi tinkleliu, o kiekvieną plokštumos tašką galima identifikuoti unikaliu x ir y koordinates, kaip ir bet kurį Žemės tašką galima nustatyti nurodant jo platumą ir ilgumą.

Tinklelio vietos matuojamos fiksuoto taško, vadinamo, atžvilgiu kilmęir matuojami pagal atstumą išilgai ašių.

The x ir y ašys yra panašios į skaičių tiesę, o teigiamos atstumai į dešinę ir neigiamos į kairę, jei tai x ašį, o teigiami atstumai, išmatuoti aukštyn ir neigiami žemyn, y ašis.

Bet koks poslinkis nuo pradžios gali būti sukonstruotas perkeliant nurodytą atstumą x kryptimi ir tada dar vienu atstumu ykryptis.

Pagalvokite apie tai, tarsi duotumėte kam nors nurodymus sakydami „eik tris kvartalus į rytus, o paskui 2 blokus į šiaurę“.

Koordinatės, taškų grafikai

Nurodome taško vietą, pirmiausia nurodydami jo vietą x koordinatė (kairysis arba dešinysis poslinkis nuo pradžios), o tada - y koordinatė (poslinkis aukštyn arba žemyn nuo pradžios). Taigi kiekvieną plokštumos tašką galima atpažinti iš skaičių poros (x,y), vadinamas jos koordinatės.

Kartais mes tiesiog norime sužinoti, apie kurią bendrą grafiko dalį kalbame. Ašys natūraliai padalija plokštumą į ketvirčius. Mes tai vadiname kvadrantaiir suskaičiuokite juos nuo vieno iki keturių. Atkreipkite dėmesį, kad numeracija prasideda viršutiniame dešiniajame kvadrante ir tęsiasi aplink prieš laikrodžio rodyklę. Taip pat atkreipkite dėmesį, kad kiekvieną kvadrantą galima identifikuoti pagal unikalų teigiamų ir neigiamų ženklų derinį to kvadranto taško koordinatėms.

The stačiakampė koordinačių sistema, dar vadinamas Dekarto koordinačių sistema arba x – y koordinačių sistema yra parodyta aukščiau.

Atkreipkite dėmesį, kad stačiakampio formos koordinačių sistemą sudaro 4 kvadrantai, a horizontali ašis, a vertikali ašis, ir kilmę. Horizontali ašis paprastai vadinama x–Ašis, o vertikali ašis paprastai vadinama y–Ašis. The kilmę yra ta vieta, kur abi ašys kerta.

Nubraižykite kiekvieną iš šių taškų. A (–3, –1), B (0, 4) ir C (2, 0).

A (–3, –1): nuo pradžios eikite kairėn 3 vienetai, tada žemyn 1 vienetas. Tada suplanuokite tašką.