Astronomija

Lagrange taškų ploto nustatymas

Lagrange taškų ploto nustatymas


We are searching data for your request:

Forums and discussions:
Manuals and reference books:
Data from registers:
Wait the end of the search in all databases.
Upon completion, a link will appear to access the found materials.

Į Lagrange taškus patyriau nemažą sumą ir matau daug vaizdų, kuriuose L4 ir L5 vietos rodomos kaip plačios valymo zonos. Jupiterio Trojos asteroidai yra geras to pavyzdys. Taip pat L3 kartais rodomas įkalnėje į kalno sferą [bet tai jau kitas klausimas]. Darau prielaidą, kad kiekvienas taškas yra be galo mažas taškas erdvėje tiksliai matematinėje padėtyje (nekreipiant dėmesio į bet kokį kitą gravitacinį poveikį, kuris ten gali būti).

Mano klausimas: ar yra būdas nustatyti „stabilų“ regioną kiekvienoje Lagranžo vietoje? Ypač L4 ir L5 regionuose.

Iš esmės norėčiau sužinoti, kiek laivui gali prireikti papildomos jėgos, kad jis liktų šiose vietose, atsižvelgiant į tai, kiek toli jie yra nuo Lagrange taško centro.


Mano klausimas: ar yra būdas nustatyti „stabilų“ regioną kiekvienoje Lagranžo vietoje? Ypač L4 ir L5 regionuose.

tl; dr: Taip, bet dažniausiai tai yra išgalvota „bandymų ir klaidų“ versija.

Mums kartais neteisingai sakoma, kad ši bjauri nulinio greičio potencialo diagrama rodo sritis, kurios yra „susietos“ arba „nesurištos“ su Lagranžo taškais, tačiau to nėra ir tai akivaizdu, nes nors paviršius krinta netoli L1, L2 ir L3 tai yra maksimumas netoli L4 ir L5, tačiau mes žinome, kad kai kuriuose masės santykiuose šie regionai gali rinkti ir kaupti Trojos asteroidus.

Šaltinis

Problema ta, kad tai yra 2D pseudo potencialo diagramos vienu konkrečiu greičiu. Pseudo potencialą suteikia

$$ C = omega ^ 2 (x ^ 2 + y ^ 2) + 2 kairė ( frac { mu_1} {r_1} + frac { mu_2} {r_2} dešinė) - (v_x ^ 2 + v_y ^ 2 + v_z ^ 2) $$ ir šie nulinio greičio paviršiai, kurie yra kontūrai, piešiant 2D pjūvyje, apskritai neparodo orbitos. Jei įdėsite dalelę ant bet kokio kontūro, išskyrus $ C = 0 $ jis greičiau paspartės, o ne laikysis vienos iš šių eilučių.

Taigi vietoj to, ką žmonės daro, yra atlikti skaitines simuliacijas su daugybe pradinės padėties ir greičio vektorių ir pagal išgalvotą „bandymų ir klaidų“ versiją išsiaiškinti, kurios dalelės atsidurs toje pačioje vietoje, kur ir pradėjo tuo pačiu greičiu. vektorių jie pradėjo. Kiekvieną kartą, kai jie randa uždarą, periodišką orbitą, tai padeda nustatyti „stabilų regioną“.

Vienas iš 4D arba 6D fazinės erdvės regionų paieškos metodo pavyzdžių ($ x, y, v_x, v_y $ arba $ x, y, z, v_x, v_y, v_z $), kurių periodinės orbitos yra uždaros, yra fotografavimo metodas, kurį galima greičiau padaryti naudojant perėjimo matricą.

1 pav. F. Marzari ir kt. Trojanų asteroidų kilmė ir raida galite pamatyti, kaip viliojanti naudoti nulinio greičio kontūrą, norint nurodyti, kur yra stabilių orbitų regionas, iš tikrųjų tai sakant. Užuot vartojami žodžiai „yra glaudžiai susiję“.

1 pav. Penkių Lagrange'o pusiausvyros taškų vieta apskritime riboto trijų kūno uždavinyje. Pirminė ir antrinė masės (mūsų pavyzdžiuose Saulė ir planeta) žymimos atitinkamai dideliais ir mažais užpildytais apskritimais. Pasirinktos nulinio greičio kreivės (žr. Tekstą) yra glaudžiai susiję su orbitų tipų, kurie gali atsirasti sistemoje. Raidės P, H ir T žymi atitinkamai orbitą, pasagą ir buožgalvį. Atkreipkite dėmesį, kad abi masės ir kiekviena L4 ir L5 taškai sudaro lygiakraštį trikampį.

Jei norite peržengti tik apskritą riboto trijų kėbulų modelį ir tikrąją Saulės sistemą, skaitinės simuliacijos tampa daug sudėtingesnės, nes dėl visų paprasto CR3BP modelio realybės nukrypimų yra ilgalaikė šių orbitų evoliucija. Žiūrėkite tik pavyzdį. Jupiterio Trojos asteroidų rezonansinė struktūra - I. Ilgalaikis stabilumas ir difuzija


Lagrange taškų ploto nustatymas - astronomija

Dabar masės judėjimo lygtys kartu besisukančiame rėme nurodytos (1056) - (1058) lygtyse. Atkreipkite dėmesį, kad judėjimą plokštumoje apsunkina Coriolis pagreitis. Tačiau judėjimas, lygiagretus -ašiui, paprasčiausiai atitinka judėjimą potenciale. Taigi Lagrange taškų (kurie yra visi) stabilumo mažiems poslinkiams, lygiagrečiams su ašimi, sąlyga yra tiesiog (žr. 3.2 skyrių)

Ši sąlyga tenkinama visur lėktuve. Vadinasi, visi Lagrange'o taškai yra stabilūs mažiems poslinkiams, lygiagrečiams su-ašimi. Taigi lieka ištirti jų stabilumą mažiems poslinkiams, esantiems plokštumoje.

Tarkime, kad Lagrange taškas yra plokštumoje koordinatėmis. Panagrinėkime mažą amplitudę - judėjimą šalia šio taško rašydami

kur ir yra be galo maži. Išplėsdami apie Lagrange'o tašką kaip Tayloro seriją ir išlaikydami terminus iki antros eilės mažais kiekiais, gauname

kur, ir tt. Tačiau pagal apibrėžimą Lagrange taške, todėl plėtra supaprastėja

Galiausiai, pakeitus (1097) - (1099) ir (1101) lygtis į - judesio, (1056) ir (1057) lygtis, gaunama

Ieškokime pirmiau pateiktos formos ir lygčių poros sprendimo. Mes gauname

Ši lygtis turi ne trivialų sprendimą tik tuo atveju, jei matricos determinantas yra lygus nuliui. Vadinasi, mes gauname

Dabar patogu apibrėžti

kur visi terminai yra vertinami. Taigi iš to išplaukia

Apsvarstykite bendrinius tiesinius Lagrange taškus,, ir. Visi jie guli ant ašies, todėl jiems būdingi, ir. Iš minėtų lygčių darytina išvada, kad ir. Taigi,,, ir. Taigi (1105) lygtis duoda

kur. Kad Lagrange'o taškas būtų stabilus mažiems poslinkiams, visos keturios (1105) lygties šaknys turi būti vien tik įsivaizduojamos. Tai savo ruožtu reiškia, kad dvi pirmiau minėtos lygties šaknys,

turi būti ir tikras, ir neigiamas. Taigi stabilumo kriterijus yra

56 paveiksle parodyta apskaičiuota trijose tiesinėse Lagrange taškuose, atsižvelgiant į visas leistinas šio parametro vertes (t. Y.). Galima pastebėti, kad visų trijų taškų vienybė visada yra didesnė už vienybę. Taigi darome išvadą, kad tiesiniai Lagrange'o taškai,,, ir yra savaime nestabilūs pusiausvyros taškai kartu besisukančiame rėme.

56 pav. Kietosios, trumpojo ir ilgojo brūkšninių kreivių funkcijos rodomos taškuose, ir Lagrange.

Dabar apsvarstykime trikampius Lagrange taškus ir. Šiems taškams būdinga. Iš to seka,,,, ir. Taigi,,, ir, kai viršutiniai / apatiniai ženklai atitinka ir, atitinkamai. Taigi (1105) lygtis duoda

abiem taškais, kur. Kaip ir anksčiau, stabilumo kriterijus yra tas, kad abi minėtos lygties šaknys turi būti tikros ir neigiamos. Taip yra su sąlyga, kad 27 , mu_2 , (1- mu_2) $ ->, o tai suteikia stabilumo kriterijų

Nenormalizuotuose vienetuose šis kriterijus tampa

Taigi darome išvadą, kad ir Lagrange'o taškai yra stabilūs pusiausvyros taškai kartu besisukančiame rėme, su sąlyga, kad masė yra mažesnė nei maždaug masės. Tokiu atveju masė gali skrieti aplink šiuos taškus neribotą laiką. Inerciniame rėmelyje masė pasidalins masės orbita apie masę, tačiau liks maždaug prieš masę, jei ji skrieja aplink tašką, ar už jos, jei skrieja apie tašką - žr. 55 paveikslą. Šio tipo elgesys buvo pastebėta Saulės sistemoje. Pavyzdžiui, yra asteroidų, vadinamų Trojos asteroidais, pogrupis, kurie yra įstrigę šalia Saulės-Jupiterio sistemos taškų ir taškų (kurie lengvai atitinka pirmiau minėtą stabilumo kriterijų) ir dėl to dalijasi Jupiterio orbita aplink Saulė, likdama atitinkamai prieš Jupiterį ir už jo. Be to, Saulės ir Žemės sistemos taškus ir vietas užima dulkių debesys.
Kitas: Mėnulio judėjimas aukštyn: trijų kūnų problema Ankstesnis: Nulinio greičio paviršiai Richardas Fitzpatrickas 2011-03-31


Raktažodžiai

  • APA
  • Autorius
  • BIBTEX
  • Harvardas
  • Standartinis
  • UIP
  • Vankuveris

In: Astrophysical Journal, t. 660, Nr. 2 I, 2007 05 10, p. 1624–1635 m.

Tyrimo rezultatai: Indėlis į žurnalą ›Straipsnis› recenzavimas

T1 - Ekvipotencialiniai paviršiai ir Lagrangian taškai nesinchroninėse, ekscentrinėse dvejetainėse ir planetinėse sistemose

N2 - Mes tiriame ekvipotencialinių paviršių ir Lagrango taškų egzistavimą ir savybes nesinchroninėse, ekscentrinėse dvinarėse žvaigždžių ir planetų sistemose, darant prielaidą, kad pusiau statinė pusiausvyra. Mes priimame dvejetainį potencialą, kuris atspindi nesinchroninį sukimąsi ir ekscentrines orbitas, ir apskaičiuojame Lagrango taškų pozicijas kaip masės santykio, asinchronizmo laipsnio, orbitos ekscentriškumo ir žvaigždžių ar planetų padėties santykinėje orbitoje funkcijas. Mes pastebime, kad ekvipotencialinių paviršių geometrija gali palengvinti nekonservatyvų masės perdavimą nesinchroninėse, ekscentrinėse dvinarėse žvaigždžių ir planetų sistemose, ypač jei komponentinės žvaigždės ar planetos sukasi supersinchroniškai ties savo santykinės orbitos periastronu. Mes taip pat apskaičiuojame Roche skilties tūrio ekvivalentą spindulį, priklausantį nuo keturių aukščiau paminėtų parametrų. Priešingai nei įprasta, pastebime, kad pakeičiant apskritos orbitos spindulį Eggletono formulėje momentiniu atstumu tarp ekscentrinių dvejetainių ar planetinių sistemų komponentų, ne visada galima gerai priartinti prie tūrio ekvivalento spindulio. Roche skiltis. Todėl mes pateikiame apibendrintas tūrio ekvivalento Roche skilties spindulio analitines pritaikymo formules, tinkamas nesinchroninėms, ekscentrinėms dvinarėms žvaigždžių ir planetų sistemoms. Šios formulės yra tikslios nei 1% tikslumu visoje atitinkamoje dvimatėje parametrų erdvėje, apimančioje 16 ir 6 dydžių dinaminį diapazoną dviejuose matmenyse.

AB - Mes tiriame ekvipotencialinių paviršių ir Lagrango taškų egzistavimą ir savybes nesinchroninėse, ekscentriškose dvinarėse žvaigždžių ir planetų sistemose, laikantis kvazistatinės pusiausvyros prielaidos. Mes priimame dvejetainį potencialą, kuris atspindi nesinchroninį sukimąsi ir ekscentrines orbitas, ir apskaičiuojame Lagrango taškų pozicijas kaip masės santykio, asinchronizmo laipsnio, orbitos ekscentriškumo ir žvaigždžių ar planetų padėties santykinėje orbitoje funkcijas. Mes pastebime, kad ekvipotencialinių paviršių geometrija gali palengvinti nekonservatyvų masės perdavimą nesinchroninėse, ekscentrinėse dvinarėse žvaigždžių ir planetų sistemose, ypač jei komponentinės žvaigždės ar planetos sukasi supersinchroniškai ties savo santykinės orbitos periastronu. Mes taip pat apskaičiuojame Roche skilties tūrio ekvivalentą spindulį, priklausantį nuo keturių aukščiau paminėtų parametrų. Priešingai nei įprasta, pastebime, kad pakeičiant apskritos orbitos spindulį Eggletono formulėje momentiniu atstumu tarp ekscentrinių dvejetainių ar planetinių sistemų komponentų, ne visada galima gerai priartinti prie tūrio ekvivalento spindulio. Roche skiltis. Todėl mes pateikiame apibendrintas tūrio ekvivalento Roche skilties spindulio analitines pritaikymo formules, tinkamas nesinchroninėms, ekscentrinėms dvinarėms žvaigždžių ir planetų sistemoms. Šios formulės yra tikslios nei 1% tikslumu visoje atitinkamoje dvimatėje parametrų erdvėje, apimančioje 16 ir 6 dydžių dinaminį diapazoną dviejuose matmenyse.


Žemė-Mėnulis

Pažvelkime į dviejų Žemės ir Mėnulio kūno sistemą. Mėnulis aplink Žemę sukasi maždaug kartą per mėnesį. Jos orbita yra elipsės formos, tačiau vidutinis spindulys yra apie 239 000 mylių (385 000 km).

Žemė yra maždaug 81 kartus masyvesnė už Mėnulį. Gravitacijos jėga, kurią ji suteikia kitiems objektams, Mėnulio atžvilgiu yra panašiai stipresnė. Jei įdėsime bandomąją masę (trečią kūną), tarp šių dviejų objektų ji patirs jėgas iš jų abiejų. (Šiuo atveju bandymo masė reiškia, kad kažkas yra toks nereikšmingas, palyginti su kitais dviem kūnais, kad jo poveikis jiems yra nereikšmingas). Aplink Žemę skriejantis palydovas ar erdvėlaivis Mėnulio orbitą keičia mažiau nei musės, nusileidžiančios ant masyvaus kruizinio laivo denio, laivo apdailai.

Aukščiau, ne pagal mastelį, yra palydovas geocentrinėje orbitoje (skriejančioje aplink Žemę) kažkur tarp Žemės ir Mėnulio. Ją traukia Žemės link žemės traukos jėga. Mėnulio masė jį traukia link Mėnulio. Kadangi Žemė yra daug didesnė, jos trauka yra didesnė, tačiau dėl atvirkštinio kvadrato, jei palydovas juda toliau nuo Žemės, jis greitai krinta. Kur trauka iš Žemės yra lygi traukai iš Mėnulio? Kur šie dalykai yra lygūs, mes turime tai, kas vadinama a Gravitacijos neutralus taškas.

Aukščiau pateiktas jėgų, kurios veiktų palydovą pagal jo padėtį, diagrama, x ašyje normalizuota yra atstumas tarp Žemės ir Mėnulio. Y skalė yra logaritminė. Kur susikerta dvi kreivės, yra gravitacijos neutralus taškas. Kaip matote, kadangi Žemė dominuoja, tai yra maždaug 90% kelio į Mėnulį.

Tai gana arti Mėnulio, maždaug 24 000 mylių (nuo Mėnulio centro).

Šis punktas turi ypatingą reikšmę, nes teoriškai objektas arčiau iki Mėnulio, nei šis atstumas bus nutrauktas link Mėnulio, ir objektas toliau nuo Mėnulio nei šis taškas bus ištrauktas atgal į Žemę. Tai kalvos viršūnė. Jei keliautumėte tarp Mėnulio ir Žemės ir praeitumėte šį tašką net be varymo, jus užfiksuotų Mėnulio traukos jėgos ir jus lėtai trauktų. Ar taip?

Šis taškas klaidingai vadinamas Lagrange tašku (tiksliau L1, arba Langrange 1 punktas) blogų, blogų fizikos vadovėlių ir tinklaraščių. Tai yra neteisinga. Kai kuriose knygose netgi sakoma, kad jei padėtumėte centą neutraliame taške, jis liktų ten ir nebūtų traukiamas į abi puses, tai taip pat yra šiukšlė! (dėl kelių priežasčių).

Gravitacijos neutralus taškas yra NE Lagranžo taškas.

Padėkime sustabdyti internetą, propaguojantį šią neteisingumą. Pažiūrėkime, kas iš tikrųjų yra „Lagrange Points“ & hellip

„Lagrange“ taškai

Pirmiau aprašytos situacijos problema yra ta, kad nerealu daroma prielaida, kad objektai nejuda. Tačiau mes žinome, kad Mėnulis skrieja aplink Žemę. Prisimenate anksčiau pateiktą animaciją? Mes nustatėme, kad vienintelis būdas palydovui skrieti tuo pačiu laikotarpiu kaip kitas, yra tas pats atstumas nuo centro. Pensas, paliktas šiame „gravitacijos neutraliame taške“, yra arčiau Žemės nei Mėnulis, todėl jis skrieja viduje (ir greičiau) nei Mėnulis ir atitraukiamas.

Dabar, yra taškas tarp Žemės ir Mėnulio, kur centas (arba palydovas) gali skrieti tuo pačiu greičiu Mėnulyje (ir tokiu būdu likti užraktu), ir tai ką mes vadiname a Lagranžo taškas.

Tarp Žemės ir Mėnulio yra taškas, kuriame, nors jis yra mažesniu spinduliu (ir taip nori greičiau skrieti orbita), ten uždėtą daiktą Mėnulio traukos jėgos traukia kaip tik teisinga jėga, kad atsvertų skirtumą tarp kampiniai pagreičiai, sumažinant palydovo sukeliamą jėgą ir priverčiant jį skrieti tuo pačiu laikotarpiu kaip ir Mėnulyje.

Šis taškas tarp dviejų didelių kūnų vadinamas L1arba „Langrange Point 1“ (kartais vibracijos taškas). Kaip paskaičiuoti šį atstumą, pamatysime vėliau, bet L1 yra reikšmingai arčiau Žemės nei gravitacijos neutralus taškas (L1 taškas yra maždaug 84% kelio į Mėnulį cf apskaičiuotas neutraliam taškui). Pravažiavus L1 taškas žymi vietą, kurioje palydovas sustoja aplink Žemę ir pradeda skrieti aplink Mėnulį.

Tačiau L1 nėra vienintelis taškas, kur palydovas gali skrieti tuo pačiu laikotarpiu kaip ir Mėnulis. Yra dar ir „hellip“

Ant Kita pusė yra orbita, kurios laikotarpis paprastai būtų ilgesnis nei Mėnulio, tačiau kartu Mėnulio ir Žemės sunkio suma pritraukia palydovą ir priverčia jį skrieti tuo pačiu laiko periodu kaip ir Mėnulyje. Šis taškas vadinamas L2.

Mes dar nebaigėme, yra dar daugiau ir dar daugiau

Taip pat yra taškas Kita pusė Žemės, beveik tiesiai priešais Mėnulį, kur Žemės jėga ir labai silpna Mėnulio jėga sujungia palydovą į orbitą tuo pačiu laikotarpiu kaip Mėnulis. Šis taškas vadinamas L3. (Šios orbitos spindulys visada yra šiek tiek didesnis nei Mėnulio, nes jį veikianti jėga yra bendras Žemės ir Mėnulio traukimas).

L vieta1 yra šios lygties, subalansuojančios gravitaciją ir išcentrinę jėgą, sprendimas:

Čia r yra atstumas nuo L1 nukreipti į Mėnulį, R yra atstumas tarp Mėnulio ir Žemės ir Me ir Mm yra atitinkamai Žemės ir Mėnulio masės.

Pertvarkius tai r, gaunama kvintinė lygtis, kurią reikia išspręsti, bet jei pritaikysime žinias, kad Me & gt & gt M.m, tada tai labai supaprastina šį apytikslį:

Panašiai ir už L2, sprendimą galima apskaičiuoti subalansavus gravitacinę ir centrinę jėgą kitoje Mėnulio pusėje:

Taikant tą patį supaprastinimą, kaip nurodyta aukščiau, gaunamas tas pats atsakymas. Šiuo apytiksliu skaičiumi L2 taškas yra toks pat atstumas nuo Mėnulio galo, kaip ir L1 taškas yra priešakyje.

Pagaliau L vieta3 yra šios lygties sprendimas (nors čia, r yra atstumas, kurį L3 yra iš Žemės, o ne iš Mėnulio).

Vėlgi, taikant supaprastinimą, galima nustatyti šį derinimą:

L1, L2ir L3

L1, L2ir L3 visi guli tiesiai per Žemės ir Mėnulio centrą. Šių trijų taškų koncepciją atrado Leonardas Euleris.

Tačiau po poros metų italų matematikas Giuseppe Ludovico De la Grange'as Tournier suprato, kad jų iš tikrųjų yra penki taškų, todėl jie pavadinti jo vardu kaip „Lagrange Points“.

Taigi, kur yra kiti du taškai?

L4 ir L5

L4 ir L5 yra simetriškai išdėstytos abiejose centrinės linijos pusėse ir 60 ° atstumu nuo jos ties lygiakraščių trikampių viršūnėmis (o kitos viršūnės yra Mėnulio centro centras ir Žemės-Mėnulio sistemos baricentras).

Barijocentras yra bendras Žemės ir Mėnulio poros masės centras, ir būtent aplink šį tašką abu sukasi kaip bolas. Tačiau kadangi Žemė yra žymiai masyvesnė už Mėnulį, barijotas vis dar yra Žemės viduje (jis yra apie 1700 km žemiau paviršiaus). Jei Mėnulis ir Žemė būtų arčiau tos pačios masės, barjerinis centras, apie kurį jie suktųsi, būtų už jų abiejų ribų, o aplink - kaip milžiniškas durnelis.

Kaip atsitinka, Žemės ir Mėnulio sistemoje tai labiau primena olimpinio kūjo metiko klibėjimą, kai jie sukasi.

L4 ir L5 taškai yra tiesiai už Mėnulio orbitos esančioje orbitoje, o vektorinė matematika išsilygina taip, kad Mėnulio trauka išilgai šios linijos yra lygi komponentui iš Žemės. Šį vektorinį trikampį galima pamatyti šioje Vikipedijos schemoje.

L4 tradiciškai apibrėžiamas kaip taškas, vedantis orbitą, o L5 atsilikęs.


Lagrange taškų ploto nustatymas - astronomija

„Lagrange“ taškai taip pat yra „L“ taškai - tai penkios orbitinės konfigūracijos vietos, kuriose mažas objektas, paveiktas tik gravitacijos, teoriškai gali būti nejudantis dviejų didesnių objektų atžvilgiu (pavyzdžiui, palydovo Žemės ir Mėnulio atžvilgiu). „Lagrange“ taškai žymi vietas, kur dviejų didelių masių bendras gravitacinis tempimas suteikia tiksliai centripetinę jėgą, reikalingą joms suktis. Jie yra analogiški geostacionariosioms orbitoms tuo, kad leidžia objektui būti „fiksuotoje“ erdvės vietoje, o ne orbitoje, kurioje jo santykinė padėtis nuolat keičiasi.

Lagrango taškai yra stacionarūs apskrito apriboto trijų kūno problemų sprendimai. Pavyzdžiui, atsižvelgiant į du masyvius kūnus apskritomis orbitomis aplink jų bendrą masės centrą, erdvėje yra penkios padėties vietos, kuriose būtų galima pastatyti trečią, palyginti nereikšmingos masės kūną, kuris išlaikytų savo padėtį dviejų masyvių kūnų atžvilgiu. Kaip matyti besisukančiame atskaitos rėme tuo pačiu periodu, kaip ir du orbituojantys kūnai, dviejų masyvių kūnų gravitacijos laukai kartu su palydovo sukamaisiais judesiais yra pusiausvyroje Lagrangian taškuose, todėl trečiasis kūnas gali būti stacionarus. pirmieji du kūnai. P> Tris koliniarinius Lagrange taškus pirmą kartą atrado Leonhardas Euleris apie 1750 m.

1772 m. Italų ir prancūzų matematikas Josephas Louisas Lagrange'as dirbo su garsiąja trijų kūno problema, kai rezultatuose atrado įdomų keistumą. Iš pradžių jis buvo nusprendęs atrasti būdą, kaip lengvai apskaičiuoti gravitacinę sąveiką tarp savavališko kūnų skaičiaus sistemoje, nes Niutono mechanika daro išvadą, kad tokia sistema lemia tai, kad kūnai chaotiškai skrieja tol, kol įvyksta susidūrimas arba kūnas yra išmestas. iš sistemos, kad būtų galima pasiekti pusiausvyrą.

Šios išvados logika yra ta, kad sistema, turinti vieną kūną, yra nereikšminga, nes ji yra tiesiog statiška, palyginti su savimi. Sistema, turinti du kūnus, yra gana paprasta dviejų kūnų problema, kūnai skrieja aplink jų bendrą masės centrą. Tačiau įvedus daugiau nei du kūnus, matematiniai skaičiavimai tampa labai sudėtingi. Susidaro situacija, kai turėtumėte apskaičiuoti kiekvieną gravitacinę sąveiką tarp kiekvienos objektų poros kiekviename taške, esančiame jos trajektorijoje.

Tačiau Lagrange'as norėjo tai padaryti paprasčiau. Tai jis padarė remdamasis paprasta hipoteze: objekto trajektorija nustatoma radus kelią, kuris kuo labiau sumažina veiksmą bėgant laikui. Tai nustatoma atėmus potencialią energiją iš kinetinės energijos. Tokiu mąstymo būdu Lagrange'as performulavo klasikinę Niutono mechaniką, kad būtų sukurta Lagrango mechanika. Naudodamas savo naują skaičiavimų sistemą, Lagrange'o darbas paskatino jį kelti hipotezę, kaip trečias nereikšmingos masės kūnas skrieja aplink du didesnius kūnus, kurie jau yra beveik apskritoje orbitoje.

Atskaitos sistemoje, kuri sukasi su didesniais kūnais, jis rado penkis konkrečius fiksuotus taškus, kur trečiasis kūnas patiria nulinę grynąją jėgą, eidamas po pagrindinių kūnų (planetų) apskritimo orbitos. Šie taškai buvo pavadinti „Lagrango taškais“ Lagrange garbei. Praėjo daugiau nei šimtas metų, kol jo matematikos teorija buvo pastebėta 1906 m. Saulės Jupiterio sistemos Lagrange taškuose atradus Trojos asteroidus.

Bendresniu elipsiškų orbitų atveju nebėra stacionarių taškų ta pačia prasme: jis tampa labiau Lagrango „rajonu“. Kiekviename laiko taške sukonstruoti Lagrangian taškai, kaip ir apskrito atveju, sudaro stacionarias elipsės formos orbitas, panašias į masyvių kūnų orbitas. „Lagrange Points“ vikipedija


Partnerystė integruojant skaičiavimą į fizikos bakalaurus

Sukūrė Nicholas Nelson - Paskelbta 2018 m. Liepos 17 d

Prisijunkite arba prisiregistruokite kaip patikrintas pedagogas, kad galėtumėte nemokamai naudotis tik instruktoriams skirta medžiaga.

Prisijunkite arba prisiregistruokite kaip patikrintas pedagogas, kad galėtumėte nemokamai naudotis tik instruktoriams skirta medžiaga.

Šie pratimai nėra susieti su konkrečia programavimo kalba. Įgyvendinimo pavyzdžiai pateikiami skirtuke Kodas, tačiau Pratimai gali būti įgyvendinami bet kurioje norimoje naudoti platformoje (pvz., „Excel“, „Python“, MATLAB ir kt.).

Prisijunkite arba prisiregistruokite kaip patikrintas pedagogas, kad galėtumėte nemokamai naudotis tik instruktoriams skirta medžiaga.

Sprendimai

Prisijunkite arba prisiregistruokite kaip patikrintas pedagogas, kad galėtumėte nemokamai naudotis tik instruktoriams skirta medžiaga.

Literatūra

Prisijunkite arba prisiregistruokite kaip patikrintas pedagogas, kad galėtumėte nemokamai naudotis tik instruktoriams skirta medžiaga.

Prisijunkite arba prisiregistruokite kaip patikrintas pedagogas, kad galėtumėte komentuoti.

Prisijunkite arba prisiregistruokite kaip patikrintas pedagogas, kad pridėtumėte klaidų.

Parsisiuntimo parinktys

Bendrinti variantą

Kreditai ir licencijavimas

Nicholas Nelsonas, „Žemės ir saulės Lagrange taškų radimas“, paskelbtas PICUP kolekcijoje, 2018 m. Liepos mėn.


Lagrango stochastinis skaičiavimas

Kaip taikliai parodo pavadinimas, 1776 m. Atsiminimuose [10], naudojant tikimybės skaičiavimą, teigiama įdomi tiesa, kad, imant kelių matavimų vidurkį, klaida yra neišvengiama, tačiau galima tikėtis jas „kompensuoti“. . Ar tokiu būdu pagerinamas atskirai atliktų matavimų tikslumas, ir jei taip, kaip?

Šią problemą Thomas Simpsonas labai aiškiai nurodė „Laiške dešiniajam garbingam George'ui Earlui“ [24], paskelbtą 1755 m. Sandoriai Karališkosios draugijos. Lagrange'as niekada necituoja Simpsono, tačiau sunku patikėti, kad jis nežinojo apie atsiminimus. Jis žinojo ir vertino matematinį Simpsono darbą, kurį kartais aptardavo su d’Alembertu. 3 išnaša Nėra jokios priežasties, kodėl jis nebūtų skaitęs šios diskusijos, ypač todėl, kad ji buvo dar kartą paskelbta 1757 m. Miscellanea Taurinensia, kurią dažnai minėjo tos dienos mokslininkai. Pirmasis arba vienas pirmųjų Simpsonas pasiūlė naudoti tikimybės skaičiavimą stebėjimų teorijoje, ypač fizinėje astronomijoje, kur kiekviename matavime yra klaidų ir tik iš dalies galima pakartoti. Kaip Lagrange'as rašė savo atsiminimų įžangoje, tikimybinėje stebėjimų teorijoje manoma, kad „les erreurs qui peuvent se glisser dans chaque observation sont données et qu’on connoisse aussi le nombre de cas qui peuvent donner ces erreurs, c’est-à-dire la facilité de chaque erreur“(Pateikiamos klaidos, kurios gali įtikinti save kiekviename stebėjime, taigi žinome atvejų, kurie gali suteikti šias klaidas, tai yra kiekvienos klaidos tikimybę, skaičių). Lagrange'as gana dažnai vartojo daiktavardį palengvinti (įrenginys), kuris paprastai nurodė atvejų skaičių arba pastoviosios tikimybės tikimybę diskrečiuoju atveju, kuris šiandien vadinamas tęstiniu atveju tankiu.

Taigi reikia paimti kaip žinomą „les limites entre lesquelles toutes les erreurs possibles doivent être renfermées avec la loi de leur facilité“(Ribos, kuriose turi būti visos galimos klaidos pagal jų galimybės įstatymą). Toliau jis teigia:Je chercherai dans l’une et dans l’autre de ces hypothèses, quelle est la probabilité que l’erreur du résultat moyen soit nulle ou égale à une quantité donnée“(Abiejose šiose hipotezėse ieškosiu, kokia tikimybė, kad gauto vidurkio paklaida bus lygi nuliui arba lygi nurodytam dydžiui).

Pavyzdžiui, I problema, Nr. 1 daro prielaidą, kad kiekvieno stebėjimo metu klaidos gali būti tik 0, +1 arba –1 ir kad jų yra a atvejų 0 ir b tiek +1, tiek –1 atvejų yra tikimybė gauti tikslų rezultatą imant skaičiaus atskirų rezultatų vidurkį n stebėjimų?

Ši problema, pasak Lagrange'o, sumažėja iki šios problemos. Vienas meta n kartų mirti, kad turi a + 2b veidai, iš kurių a yra pažymėti 0, b yra pažymėti 1 ir b yra pažymėti –1. „„Trouver la probabilité qu’il y a d’amener zéro““(Raskite tikimybę pasiekti nulį), tai yra, kad veidų suma lygi nuliui. Ši problema yra klasikinė nuo XVIII amžiaus pradžios, kai ją ypač nagrinėjo Montmortas, Nicolasas I Bernoulli ir de Moivre'as. Tai yra būtent ta problema, kartais vadinama taškų problema, kuri apibendrina mirties atvejį f veidai, iš kurių kiekvienas pažymėtas sveiku skaičiumi e 1, e 2, …, e f, išmestas n kartų, kuriuos de Moivre'as nagrinėjo pirmoje savo funkcijų generavimo teorijos dalyje (antroji dalis susideda iš pasikartojančių eilučių, kurių čia neaptarsime). Su tokiu būdu pagamintu štampu siejamas daugianalis (x ^ <>> + x ^ <>> + ldots + x ^ <<>>> ). Sumos gavimo būdų skaičius s į n metimai yra lygūs galios koeficientui x s polinomo plėtime:

1756 m. De Moivre [6] metodas (kuris buvo kelis kartus paskelbtas 1730, 1738 ir 1756 m.) Tapo klasikinis XVIII a. Antroje pusėje. Lagrange'as tai natūraliai žinojo ir panaudojo savo atsiminimuose, ypač I problemoje, kur jis pasinaudojo apskaičiuodamas pastovų galios terminą

Tai nėra labai sunku, pavyzdžiui, Lagrange'as pasiūlė rašyti a + b(x + x −1) formoje

su α ir β toks kad α 2 + β 2 = a ir αβ = b.

Vienas pakelia produktą (p) į valdžią n: ieškoma konstanta lygi binominės raidos koeficientų sumai (α + βx) n .

Pavyzdžiui, darant prielaidą a = 2bir ( alpha = beta = sqrt b ), ieškoma konstanta lygi:

Lagrange'as stebi šiek tiek toliau, Nr. 6, kad binominio koeficiento kvadrato suma (1 + 1) n turi paprastą formą, ( sum_^ <(C_^ ) ^ <2> = C_ <2n> ^ ,> ) kombinatorinė formulė, kuri gaunama, pavyzdžiui, iš to, kad ( sum_^ <(C_^ ) ^ <2> = suma_^ <>^ C_^ >> ) ir kad antrasis narys yra būdas suskaičiuoti 2 deriniusn klasės objektai n. Laplasas taip pat iš karto įrodė šią formulę laiške Lagrange'ui 1780 m. Rugpjūčio 11 d. [[15], t. XIV, p. 95–96].

Lagrange'as akivaizdžiai džiaugėsi pasirinkęs šią temą ir nukrypęs nuo vienos formulės, kad gautų vieną ar du algebrinius ar kombinatorinius grynuolius. Prisiminkime ypač elegantišką.

5 pastaboje, I pastaba, Lagrange'as siekia surasti įstatymus, kurie reguliuoja patalpas ir būdą, kaip jas apskaičiuoti n skiriasi, paprastai a ir b yra savavališki.

Lagrange'as taip pat traktavo atvejį, kai klaidos prisiima tris reikšmes 0, –1 ir r, kur r yra teigiamas sveikasis skaičius ir, nors mes to nenagrinėsime dėl trumpumo, neturime abejoti jo išradingumu. Vietoj to mes pažvelgsime į atvejį, kai klaidų galimybės nėra žinomos ir turi būti nustatytos remiantis stebėjimais. Atsižvelgdami į jo svarbą, atliksime šį tyrimą kitame skyriuje, trumpai apžvelkime paskutinę Lagrange'o atsiminimų dalį, susijusią su n klaidos, kurios gali įgauti savavališkas reikšmes. Šis tyrimas akivaizdžiai pagrįstas anksčiau minėtais Simpsono rezultatais, tačiau pridedant elementų, kurie yra gana esminiai ir padarytų nepaprastą įspūdį jaunajam-Laplasui, kuris savo ruožtu juos panaudotų labai svarbiuose atsiminimuose [22], Laplakio atsakas į Lagrange'ą.

Pirmoji problema, su kuria susiduria Lagrange'as, yra klasikinė taškų problema. Vienas ima mirti f įprasti veidai, kurių kiekvienas turi tokią pačią galimybę pasirodyti. Tai metama n kartų, ir nustato skirtinguose metimuose gautų taškų sumos dėsnį. Problema prasidėjo bent jau „Galileo“ ir yra problema, su kuria visi XVII ir XVIII amžiaus mokslininkai kovojo didesniu ar mažesniu poveikiu. Tai iš tikrųjų yra viena iš sudėtingiausių klasikinio tikimybės skaičiavimo problemų. Būtent šios problemos proga Nicolaus Bernoulli ir Montmortas suformulavo sieto formulę (arba įtraukimo – išskyrimo principą), vieną iš pamatinių kombinatorikos teorijų.

Kaip sakėme, 1700-ųjų pradžioje geometrai visiškai išsprendė bendrą taškų problemą, o vėliau Simpsonas vėl ją perėmė, pritaikydamas ją ankstyvajai tikimybinei stebėjimų teorijai. Paskutinėje savo atsiminimų dalyje Lagrange'as pradeda iš naujo surasti de Moivre'o ir Simpsono rezultatus naudodamas tą patį metodą, kaip ir funkcijų generavimas, tačiau išskirtinė algebrinė jėga leido jam eiti toliau ir greičiau. Čia nieko nepasakysime apie tai, ką Lagrange'as daro ypač elegantiškai dėl algebrinės lemmos (Nr. 23), išskyrus tai, kad tai paskatino pakaitines Montmort-Nicolas Bernoulli-de Moivre-Simpson-Lagrange-Laplace ir kt.

Mes jau pastebėjome, kad ta proga Lagrange'as pristatė stebėjimų teoriją, ty stochastiniame skaičiavime „Laplaso transformacijos“ - sąvoka, kurią jau naudojo, ypač Euleris, diferencialinių lygčių teorijoje. Tačiau čia randama svarbi taikymo sritis ir naujos savybės, kaip pamatysime.

Remdamasis šia mintimi, Lagrange'as ėmėsi spręsti X problemą (Nr. 40):

Tarkime, kad que chaque stebėjimas soit sujette à toutes les erreurs possibles apima entre ces deux limites p et –q, et que la facilité de chaque erreur x, c'est-à-dire le nombre des cas où elle peut avoir lieu divisé par le nombre total des cas, soit représentée par une fonction quelconque de x désignée par y on demande la probabilité que l'erreur moyenne de n stebėjimai soit apima entre les limites r et - s.

(Tarkime, kad kiekvienam stebėjimui taikomos visos įmanomos klaidos, susidedančios iš dviejų ribų p ir -qir kad kiekvienos klaidos galimybė x, tai yra atvejų, kai jis galėjo būti padalytas iš bendro atvejų skaičiaus, skaičius yra savavališkas x paskirtas y. Kokia tikimybė, kad n stebėjimų vidutinė paklaida susideda iš dviejų reikšmių r ir - s?).

Leisti y būti įrenginiu x, jo tikimybės tankis. Lagrange'as susiejo su transformacija ∫ya x dx, kurio jis niekada neįvardija, bet kurį Laplasas apskritai pavadino savo „generuojančia funkcija“ [[21], I knyga].

„Maintenance pour avoir la probabilité que l’erreur moyenne de n stebėjimai soit z, il faudra considérer le polynome qui est représenter par l’intégrale de ya x dx, en supposant cette intégrale prizas de manière qu’elle s’étende depuis x = p jusqu’à x = −q, l'on élèvera ce polynôme à la puissance n, et l'on cherchera le coefficient de puissance z de a, par les règles données dans les corollaires du lemme précédent (n ° 33) ce koeficientas, qui sera une fonction de z exprimera la probabilité que l'erreur moyenne soit z, comme il est facile de voir, d'après ce qui a été démontré plus haut.

(Dabar, kad būtų tikimybė, kad vidutinė n pastebėjimai yra z, būtina atsižvelgti į daugianarį, kurį vaizduoja integralas ya x dxir manyti, kad tas integralas paimtas taip, kad jis tęsiasi nuo x = p į x = −q mes keliame šį daugianarį į galią n, ir ieškokite koeficiento z apie a, pagal taisykles, pateiktas ankstesnėje lemoje (Nr. 33), tą koeficientą, kuris priklausys nuo z, išreikš tikimybę, kad vidutinė paklaida yra z, kaip lengvai matyti po to, kas buvo parodyta aukščiau).

Ši citata, paimta iš žodžio į žodį iš Nr. 40 nurodo pagrindinę funkcijų generavimo savybę, „Laplasas transformuojasi“, nepaprastai Lagrange'o. Tai paverčia konvulsijas produktais. Nei Lagrange'as, nei Laplace'as nepateikia jokių įrodymų, kurie savo ruožtu panaudotų transformacijų, vadinamų „Fourier“, atveju. Tai „lengva“ pamatyti, ir to pakanka. Akivaizdu, kad jis susietas su de Moivre metodu, kuris suteikia jam tikrąją dimensiją. Taip parašyta

koeficientas Y(z) galios a z yra įrenginys z eurų sumos n objekto stebėjimai y. Visais atvejais tai yra apie funkcijos parašymą a, f(a) = (∫ya x dx) n , Laplaso transformacijos pavidalu ∫Taip z dz.

Šis akinantis Lagrange'o skaičiavimas padarė didžiulį įspūdį jaunajam-Laplace'ui, kuris, nors ir pavadinęs Lagrange'o metodą „gražiuoju“, iš karto ryžosi tai iš naujo įrodyti savo konvoliucijos metodu. 4 išnaša

Lagrange'as nagrinėjo kitas bylas. Čia būtų per ilgai tai gilintis, ypač todėl, kad gautos pakaitinės formulės tampa gana sunkiai įveikiamos, kai, pavyzdžiui, n viršija 10, o atitikmens paieška, kai n yra labai didelis, šioje formuluotėje neįmanoma.

Lagrange'o palikta problema paliko Laplasą beveik keturiasdešimt metų. Jo sprendimas buvo paskelbtas 1810 m., O jo taikymai, ypač mažiausio kvadrato metodas - Legendre'o ir Gausso metodas, buvo „analitinės tikimybės teorijos“ kulminacija. Vis dėlto Laplaso idėja yra labai paprasta, ją pakanka pateikti a = e tai , tai yra pakeisti objekto Lagrange'o (Laplaso) transformaciją y

su Laplaso (Furjė) transformacija

Inversija atliekama paprasčiausiai pagal analogiją su Furjė serijos inversija.Taip elgdamasis, Laplasas paslėptai vėl įvedė ištrauką iš baigtinės į be galo mažą, ištremtą Lagrange'o, ir jo metodas nuo to kentėtų ilgą laiką, kol Fourier'o integralų teorija tapo pagrindiniu šiuolaikinės funkcijų teorijos skyriumi (be perėjimo iš iki begalybės, tačiau apibendrintai įvedus beveik visur sąvoką, kuri neabejotinai būtų nepatikusi Lagrange'ui, bet kuri užbaigė Laplasą). Bet tai jau kita istorija.

Dabar pereikime prie antrosios Lagrange'o atsiminimų dalies, vienintelio mūsų subjekto indėlio į matematinę statistiką, tai yra statistiką, kurią reguliuoja tikimybės skaičiavimas.


Turinys

Johaneso Keplerio įstatymai patobulino Koperniko modelį. Jei planetų orbitų ekscentriškumai laikomi nuliu, tada Kepleris iš esmės sutiko su Koperniku:

  1. Planetos orbita yra apskritimas su epiciklais.
  2. Saulė yra maždaug orbitos centre.
  3. Planetos greitis pagrindinėje orbitoje yra pastovus.

Tų planetų, kurios žinomos Kopernikui ir Kepleriui, orbitų ekscentriškumai yra nedideli, todėl pirmiau pateiktos taisyklės pateikia teisingą planetų judėjimo aproksimaciją, tačiau Keplerio dėsniai labiau atitinka stebėjimus nei Koperniko pasiūlytas modelis. Keplerio pataisymai yra:

  1. Planetos orbita yra ne ratas su epiciklais, bet elipsė.
  2. Saulė yra ne netoli centro, bet a židinio taškas elipsės formos orbitos.
  3. Nei linijinis greitis, nei planetos orbitoje greitis nėra pastovus, bet ploto greitis (istoriškai glaudžiai susijęs su kampinio impulso samprata) yra pastovus.

Dėl Žemės orbitos ekscentriškumo laikas nuo kovo lygiadienio iki rugsėjo lygiadienio, maždaug 186 dienos, yra nevienodas nuo laiko nuo rugsėjo lygiadienio iki kovo lygiadienio, maždaug 179 dienos. Skersmuo orbitą suskirstytų į lygias dalis, tačiau plokštuma, einanti per Saulę, lygiagreti Žemės pusiaujui, orbitą perpjauna į dvi dalis, kurių plotai yra 186–179, taigi Žemės orbitos ekscentriškumas yra maždaug

kuris yra artimas teisingai vertei (0,016710218). Kad būtų galima tiksliai apskaičiuoti, reikia, kad dvi pasirinktos datos būtų išilginės elipsės orbitos ašyje, o kiekvienos pusės vidurio taškai - pagrindinėje ašyje. Kadangi dvi čia pasirinktos datos yra lygiadieniai, tai bus teisinga, kai perihelis, data, kurią Žemė yra arčiausiai Saulės, patenka į saulėgrįžą. Dabartinis perihelis, netoli sausio 4 d., Yra gana arti gruodžio 21 ar 22 dienos saulėgrįžos.

Praėjo beveik du šimtmečiai, kol dabartinė Keplerio kūrybos formuluotė įgavo nusistovėjusią formą. Voltero Niutono filosofijos elementai (Niutono filosofijos elementai) buvo pirmasis leidinys, kuriame buvo vartojama „įstatymų“ terminologija. [1] [2] Biografinė astronomų enciklopedija straipsnyje apie Keplerį (p. 620) teigiama, kad šių atradimų mokslinių dėsnių terminologija buvo aktuali bent jau nuo Joseph de Lalande laikų. [3] Tai buvo Roberto Smallo ekspozicija in Keplerio astronominių atradimų aprašymas (1814), kuris sudarė trijų įstatymų rinkinį, pridedant trečiąjį. [4] Small prieš istoriją taip pat teigė, kad tai yra empiriniai įstatymai, pagrįsti induktyviais argumentais. [2] [5]

Be to, dabartinis „Keplerio antrojo dėsnio“ vartojimas yra klaidingas pavadinimas. Kepleris turėjo dvi versijas, susijusias kokybine prasme: „atstumo įstatymas“ ir „vietovės įstatymas“. „Ploto įstatymas“ tapo tuo, kas tapo antruoju įstatymu iš trijų rinkinių, tačiau pats Kepleris tokiu būdu jo neprivilegijavo. [6]

Pirmuosius du dėsnius apie planetos judėjimą Kepleris paskelbė 1609 m. [7], radęs juos analizuodamas astronominius Tycho Brahe stebėjimus. [8] [9] [10] Trečiasis Keplerio įstatymas buvo paskelbtas 1619 m. [11] [9] Kepleris tikėjo Koperniko saulės sistemos modeliu, kuris reikalavo žiedinių orbitų, tačiau negalėjo suderinti labai tikslių Brahe pastebėjimų. su žiediniu pritvirtinimu prie Marso orbitos - sutapdamas Marsas turi didžiausią ekscentriškumą iš visų planetų, išskyrus Merkurijų. [12] Pirmasis jo įstatymas atspindėjo šį atradimą.

1621 m. Kepleris pažymėjo, kad jo trečiasis įstatymas galioja keturiems ryškiausiems Jupiterio mėnuliams. [Nb 1] Godefroy'as Wendelinas taip pat padarė šį pastebėjimą 1643 m. [Nb 2] Antrąjį įstatymą „ploto įstatymo“ pavidalu Nicolaus Mercator užginčijo 1664 m. Knygoje, tačiau 1670 m. Filosofiniai sandoriai buvo jos naudai. Šimtmečiui bėgant jis tapo visuotinai priimtas. [13] Priėmimas Vokietijoje pastebimai pasikeitė 1688 m., Tais metais, kai Niutonas Principia buvo išleistas ir buvo laikomas iš esmės Koperniko, o 1690 m., iki to laiko buvo paskelbtas Gottfriedo Leibnizo darbas apie „Kepler“. [14]

Niutonui buvo įskaityta supratimas, kad antrasis dėsnis nėra ypatingas atvirkštinio kvadrato gravitacijos dėsniui, o tai yra tik radialinio to dėsnio padarinys, o kiti dėsniai priklauso nuo atvirkštinės kvadrato formos traukos. Carl Runge'as ir Wilhelmas Lenzas daug vėliau nustatė simetrijos principą planetos judėjimo fazės erdvėje (veikiančioje stačiakampio grupės O (4) grupėje), kuris Niutono gravitacijos atveju atspindi pirmąjį ir trečiąjį dėsnius, kaip kampinio impulso išsaugojimas antrojo dėsnio sukimosi simetrija. [15]

Matematinis planetos, kuriai taikomi dėsniai, kinematikos modelis leidžia atlikti daugybę kitų skaičiavimų.

Pirmasis įstatymas Redaguoti

Kiekvienos planetos orbita yra elipsė, kurioje Saulė yra viename iš dviejų židinių.

Matematiškai elipsę galima pavaizduoti pagal formulę:

kur p < displaystyle p> yra pusiau latus tiesiosios žarnos, ε yra elipsės ekscentriškumas, r yra atstumas nuo Saulės iki planetos ir θ yra kampas į dabartinę planetos padėtį nuo artimiausio požiūrio, žiūrint iš Saulės. Taigi (r, θ) yra polinės koordinatės.

Elipsei 0 & lt ε & lt 1 ribojančiu atveju ε = 0, orbita yra apskritimas, kurio centre yra Saulė (t. Y. Ten, kur nėra nulinės ekscentrikos).

At θ = 0 °, perihelis, atstumas yra mažiausias

At θ = 90 ° ir esant θ = 270 ° atstumas lygus p < displaystyle p>.

At θ = 180 °, afelis, atstumas yra didžiausias (pagal apibrėžimą, afelis - visada - perihelis plius 180 °)

Pusiau pagrindinė ašis a yra aritmetinis vidurkis tarp rmin ir rmaks:

Pusiau mažesnė ašis b yra geometrinis vidurkis tarp rmin ir rmaks:

Pusiau latus tiesiosios žarnos p yra harmoninis vidurkis tarp rmin ir rmaks:

Ekscentriškumas ε yra variacijos koeficientas tarp rmin ir rmaks:

Ypatingas apskritimo atvejis yra ε = 0, todėl gaunama r = p = rmin = rmaks = a = b ir A = πr 2 .

Antrasis įstatymas Redaguoti

Linija, jungianti planetą ir Saulę, vienodais laiko tarpais iššluoja lygias sritis. [16]

Planetos orbitos spindulys ir kampinis greitis elipsės orbitoje skirsis. Tai parodyta animacijoje: planeta keliauja greičiau, kai yra arčiau Saulės, tada lėčiau, kai toliau nuo Saulės. Antrasis Keplerio įstatymas teigia, kad mėlynojo sektoriaus plotas yra pastovus.

ir vidutinis planetos judėjimas aplink Saulę

Trečiasis įstatymas Redaguoti

Objekto orbitos periodo kvadrato santykis su pusiau pagrindinės jo orbitos ašies kubu yra vienodas visiems objektams, skriejantiems apie tą patį pirminį.

Tai užfiksuoja ryšį tarp planetų atstumo nuo Saulės ir jų orbitos periodų.

Kepleris 1619 m. [11] išleido šį trečiąjį įstatymą, stengdamasis tiksliai nustatyti, ką jis laikė „sferų muzika“, pagal tikslius įstatymus, ir išreikšti tai muzikiniu užrašymu. [17] Todėl jis buvo žinomas kaip harmoninė teisė. [18]

Naudojant Niutono gravitacijos dėsnį (paskelbtas 1687 m.), Šį ryšį galima rasti apskritos orbitos atveju, nustatant centripetalinę jėgą, lygią gravitacijos jėgai:

Tada, išreikšdami kampinį greitį orbitos periodu ir pertvarkydami, randame trečiąjį Keplerio dėsnį:

Šioje lentelėje pateikiami duomenys, kuriuos Kepleris naudojo empiriškai nustatydamas savo įstatymą:

Keplerio naudojami duomenys (1618)
Planeta Vidutinis atstumas
į saulę (AS)
Laikotarpis
(dienos)
R 3 T 2 < teksto stilius < frac >>>> (10–6 AU 3 / diena 2)
Merkurijus 0.389 87.77 7.64
Venera 0.724 224.70 7.52
Žemė 1 365.25 7.50
Marsas 1.524 686.95 7.50
Jupiteris 5.20 4332.62 7.49
Saturnas 9.510 10759.2 7.43

Radęs šį modelį, Kepleris parašė: [19]

Pirmiausia tikėjau, kad sapnuoju. Bet yra visiškai tikras ir tikslus, kad santykis, egzistuojantis tarp bet kurios dviejų planetų laikotarpių, yra lygus vidutinio atstumo 3/2-os galios santykiui.

Palyginimui pateikiame šiuolaikinius įvertinimus:

Šiuolaikiniai duomenys („Wolfram Alpha Knowledgebase 2018“)
Planeta Pusiau pagrindinė ašis (AS) Laikotarpis (dienomis) R 3 T 2 < teksto stilius < frac >>>> (10–6 AU 3 / diena 2)
Merkurijus 0.38710 87.9693 7.496
Venera 0.72333 224.7008 7.496
Žemė 1 365.2564 7.496
Marsas 1.52366 686.9796 7.495
Jupiteris 5.20336 4332.8201 7.504
Saturnas 9.53707 10775.599 7.498
Uranas 19.1913 30687.153 7.506
Neptūnas 30.0690 60190.03 7.504

Isaacas Newtonas apskaičiavo savo Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica planetos, judančios pagal pirmąjį ir antrąjį Keplerio dėsnius, pagreitis.

  1. kryptis pagreičio yra link Saulės.
  2. dydis pagreičio yra atvirkščiai proporcingas planetos atstumo nuo Saulės kvadratui ( atvirkštinio kvadrato dėsnis).

Tai reiškia, kad Saulė gali būti fizinė planetų pagreičio priežastis. Tačiau Niutonas teigia Principia kad jis jėgas laiko matematiniu, o ne fiziniu požiūriu, tuo laikydamasis instrumentalisto požiūrio. [20] Be to, jis nepriskiria priežasties sunkumui. [21]

Niutonas planetą veikiančią jėgą apibrėžė kaip jos masės ir pagreičio sandaugą (žr. Niutono judėjimo dėsnius). Taigi:

  1. Kiekviena planeta traukia link Saulės.
  2. Planetą veikianti jėga yra tiesiogiai proporcinga planetos masei ir atvirkščiai proporcinga jos atstumo nuo Saulės kvadratui.

Saulė vaidina nesimetrišką vaidmenį, o tai nepateisinama. Taigi jis pagal Niutono visuotinės traukos dėsnį padarė prielaidą:

  1. Visi Saulės sistemos kūnai traukia vienas kitą.
  2. Jėga tarp dviejų kūnų yra tiesiogiai proporcinga jų masių sandaugai ir atvirkščiai proporcinga atstumo tarp jų kvadratui.

Kadangi planetų masė, palyginti su Saulės mase, yra maža, orbitos atitinka maždaug Keplerio dėsnius. Newtono modelis patobulina Keplerio modelį ir tiksliau atitinka faktinius stebėjimus. (Žr. Dviejų kūnų problemą.)

Žemiau pateikiamas išsamus planetos, judančios pagal Keplerio pirmąjį ir antrąjį dėsnius, pagreičio apskaičiavimas.

Pagreičio vektorius Redaguoti

Du kartus diferencijuokite padėties vektorių, kad gautumėte greičio vektorių ir pagreičio vektorių:

kur radialinis pagreitis yra

ir skersinis pagreitis yra

Atvirkštinio kvadrato dėsnis Redaguoti

Antrasis Keplerio įstatymas sako

Taigi planetos, besilaikančios antrojo Keplerio dėsnio, pagreitis yra nukreiptas į Saulę.

Pirmasis Keplerio dėsnis teigia, kad orbita apibūdinama lygtimi:

Diferencijavimas laiko atžvilgiu

Dar kartą diferencijuojama

Pakeitus elipsės lygtį, gaunama

Atvirkštinis kvadrato dėsnis yra diferencialinė lygtis. Šios diferencialinės lygties sprendimai apima Keplerio judesius, kaip parodyta, tačiau jie taip pat apima judesius, kai orbita yra hiperbolė ar parabolė arba tiesi linija. (Žr. Keplerio orbitą.)

Niutono traukos dėsnis Redaguoti

Pagal antrąjį Niutono dėsnį, gravitacinė jėga, veikianti planetą, yra:

kur m planeta < displaystyle m _ < tekstas>> yra planetos masė, o α < displaystyle alpha> vertė yra vienoda visoms Saulės sistemos planetoms. Pagal trečiąjį Niutono dėsnį Saulę į planetą traukia tokio pat dydžio jėga. Kadangi jėga yra proporcinga planetos masei, atsižvelgiant į simetrišką dėmesį, ji taip pat turėtų būti proporcinga Saulės m, m Saulė < displaystyle m _ < tekstas>>. Taigi

Saulės sistemos kūno skaičiaus pagreitis i yra, pagal Niutono dėsnius:

Ypatingu atveju, kai Saulės sistemoje yra tik du kūnai - Žemė ir Saulė, pagreitis tampa

kuris yra Keplerio judėjimo pagreitis. Taigi ši Žemė juda aplink Saulę pagal Keplerio dėsnius.

Jei du Saulės sistemos kūnai yra Mėnulis ir Žemė, Mėnulio pagreitis tampa

Taigi, apytiksliai, Mėnulis juda aplink Žemę pagal Keplerio dėsnius.

Trijų kūnų atveju pagreičiai yra

Šie pagreičiai nėra tie, kurie skrieja Kepleriui, ir trijų kūnų problema yra komplikuota. Bet Keplerio apytikslė vertė yra sutrikimų skaičiavimo pagrindas. (Žr. Mėnulio teoriją.)

Kepleris panaudojo du pirmuosius dėsnius, kad apskaičiuotų planetos padėtį kaip laiko funkciją. Jo metodas apima transcendentinės lygties, vadinamos Keplerio lygtimi, sprendimą.

Heliocentrinių polinių koordinačių skaičiavimo procedūra (r,θ) planetos kaip laiko funkcija t nuo perihelio, yra šie penki žingsniai:

  1. Apskaičiuokite reiškia judesįn = (2 π radianai) /P, kur P yra laikotarpis.
  2. Apskaičiuokite reiškia anomalijąM = nt, kur t yra laikas nuo perilheliono.
  3. Apskaičiuokite ekscentrinė anomalijaE sprendžiant Keplerio lygtį: M = E - ε sin ⁡ E < displaystyle M = E- varepsilon sin E>, kur ε < displaystyle varepsilon> yra ekscentriškumas.
  4. Apskaičiuokite tikroji anomalijaθ sprendžiant lygtį: (1 - ε) tan 2 ⁡ θ 2 = (1 + ε) tan 2 ⁡ E 2 < displaystyle (1- varepsilon) tan ^ <2> < frac < theta> <2 >> = (1+ varepsilon) tan ^ <2> < frac <2>>>
  5. Apskaičiuokite heliocentrinis atstumasr: r = a (1 - ε cos ⁡ E) < displaystyle r = a (1- varepsilon cos E)>, kur < displaystyle a> yra pusiau didelė ašis.

Svarbus specialus apskritos orbitos atvejis, ε = 0, duoda θ = E = M. Nes buvo laikomas vienodas sukamaisiais judesiais normalus, nukrypimas nuo šio judėjimo buvo laikomas anomalija.

Šios procedūros įrodymas parodytas žemiau.

Vidutinė anomalija, M Redaguoti

Keplerio problema daro elipsės formos orbitą ir keturis taškus:

s Saulė (viename elipsės židinyje) z perihelis c elipsės centras p planeta

Problema yra apskaičiuoti polines koordinates (r,θ) planetos iš laiko nuo perihelio, t.

Tai sprendžiama etapais. Kepleris apskritimą su pagrindine ašimi laikė skersmeniu ir

Sektoriaus sritis sieja | z s p | = b a ⋅ | z s x | . < displaystyle | zsp | = < frac > cdot | zsx |.>

Plotas nušluotas nuo perihelio,

yra antrasis Keplerio įstatymas, proporcingas laikui nuo perihelio. Taigi vidutinė anomalija, M, yra proporcingas laikui nuo perihelio, t.

Ekscentrinė anomalija, E Redaguoti

Kai vidutinė anomalija M yra apskaičiuojamas, tikslas yra apskaičiuoti tikrąją anomaliją θ. Funkcija θ = f(M), tačiau nėra elementaru. [23] Keplerio sprendimas yra naudoti

kaip tarpinį kintamąjį, ir pirmiausia apskaičiuokite E kaip funkcija M išsprendę žemiau esančią Keplerio lygtį, tada apskaičiuokite tikrąją anomaliją θ nuo ekscentrinės anomalijos E. Čia yra išsami informacija.

Skirstymas pagal a 2/2 duoda Keplerio lygtis

Ši lygtis suteikia M kaip funkcija E. Nustatymas E duotam M yra atvirkštinė problema. Paprastai naudojami iteraciniai skaitiniai algoritmai.

Apskaičiavęs ekscentrinę anomaliją E, kitas žingsnis yra apskaičiuoti tikrąją anomaliją θ.

Tačiau atkreipkite dėmesį: Dekarto padėties koordinatės, atsižvelgiant į elipsės centrą, yra (a cos E, b nuodėmė E)

Nuoroda į Saulę (su koordinatėmis (c,0) = (ae,0) ), r = (a cos Eae, b nuodėmė E)

Tikra anomalija būtų arktanas (ry/rxdydis, r būtų √ r · r .

Tikroji anomalija, θ Redaguoti

Iš paveikslo atkreipkite dėmesį, kad

Rezultatas yra naudingas santykis tarp ekscentrinės anomalijos E ir tikroji anomalija θ.

Skaičiavimo požiūriu patogesnė forma pateikiama pakeičiant trigonometrinę tapatybę:

Padauginus iš 1 + ε duoda rezultatą

Tai yra trečiasis laiko ir padėties orbitoje ryšio žingsnis.

Atstumas, r Redaguoti

Ketvirtas žingsnis yra heliocentrinio atstumo apskaičiavimas r nuo tikrosios anomalijos θ pagal pirmąjį Keplerio įstatymą:

Naudojant aukščiau esantį ryšį tarp θ ir E galutinė atstumo lygtis r yra:


Lagrange taškų ploto nustatymas - astronomija

Ankstesniame skyriuje mes optimizavome (t.y. rado absoliutų kraštutinumą) funkciją regione, kuriame buvo jo riba. Rasti potencialių optimalių taškų regiono interjere apskritai nėra labai blogai, mums tereikėjo surasti kritinius taškus ir prijungti juos prie funkcijos. Tačiau, kaip matėme pavyzdžiuose, potencialių optimalių taškų nustatymas ant sienos dažnai buvo gana ilgas ir netvarkingas procesas.

Šiame skyriuje mes pažvelgsime į kitą funkcijos optimizavimo būdą atsižvelgiant į tam tikrus apribojimus. Apribojimas (-ai) gali būti lygtis (-ys), apibūdinanti regiono ribą, nors šiame skyriuje mes nesikoncentruosime į tokio tipo problemas, nes šiam metodui reikia tik bendro suvaržymo ir jam tikrai nerūpi, kur suvaržymas atėjo iš.

Taigi, susitvarkykime reikalus. Norime optimizuoti (t.y. rasti mažiausią ir didžiausią funkcijos vertę, (f left ( dešinė) ), atsižvelgiant į apribojimą (g kairė ( dešinė) = k ).Vėlgi, apribojimas gali būti lygtis, apibūdinanti regiono ribą, arba ji gali būti ne. Procesas iš tikrųjų yra gana paprastas, nors kartais darbas vis tiek gali būti šiek tiek pribloškiantis.

Lagrange'o daugiklių metodas

  1. Išspręskite šią lygčių sistemą. [ prasideda nabla f kairė ( dešinė) & = lambda , , nabla g kairė ( dešinė) g kairė ( dešinė) & = k pabaiga]
  2. Prijunkite visus sprendimus, ( left ( nuo pirmojo žingsnio į (f kairę ( right) ) ir nurodykite mažiausią ir didžiausią vertes, jei jos egzistuoja ir ( nabla g ne vec <0> ).

Konstantos, ( lambda ), vadinamos Lagranžo daugiklis.

Atkreipkite dėmesį, kad metodo lygčių sistema iš tikrųjų turi keturias lygtis, mes tiesiog parašėme sistemą paprastesne forma. Norėdami tai pamatyti, paimkime pirmąją lygtį ir įdėkime gradiento vektoriaus apibrėžimą, kad pamatytume, ką gauname.

[ left langle <,,> right rangle = lambda left langle <,,> right rangle = left langle < lambda , lambda , lambda > right rangle ]

Kad šie du vektoriai būtų lygūs, atskiri komponentai taip pat turi būti vienodi. Taigi, čia iš tikrųjų turime tris lygtis.

Šios trys lygtys kartu su apribojimu (g left ( right) = c ), pateikite keturias lygtis su keturiais nežinomais elementais (x ), (y ), (z ) ir ( lambda ).

Taip pat atkreipkite dėmesį, kad jei mes turime tik dviejų kintamųjų funkcijas, mes neturėsime trečiojo gradiento komponento, taigi turėsime tik tris lygtis trijuose nežinomuose elementuose (x ), (y ) ir ( lambda ).

Galiausiai reikia būti atsargiems su tuo, kad kai kuriais atvejais minimalių ir maksimalių vertybių nebus, nors metodas, atrodo, reiškia, kad jie yra. Kiekvienoje problemoje prieš pradėdami problemą turėsime įsitikinti, kad egzistuoja minimumai ir maksimumai.

Norėdami pamatyti aukščiau pateiktų formulių fizinį pagrindimą. Apsvarstykime mažiausią ir didžiausią (f left ( dešinė) = 8 - 2y ) atsižvelgiant į apribojimą ( + = 1 ). Šio skyriaus praktinėse problemose (tiksliau problema Nr. 2) parodysime tą minimalią (f left ( dešinė) ) yra -2, atsirandanti ties ( kairė (<0,1> dešinė) ) ir didžiausia (f kairė ( dešinė) ) yra 8.125, esantis ( kairėje (<- frac << 3 sqrt 7 >> <8>, - frac <1> <8>> dešinėje) ) ir ( kairė (< frac << 3 sqrt 7 >> <8>, - frac <1> <8>> dešinė) ).

Čia yra apribojimo eskizas ir (f left ( right) = k ) įvairioms (k ) reikšmėms.

Pirmiausia atminkite, kad sistemos sprendimai turi būti kur nors apribojimo grafike ( + = 1 ) šiuo atveju. Nes mes ieškome mažiausios / didžiausios (f left ( dešinė) ) tai savo ruožtu reiškia, kad mažiausios / didžiausios (f kairės ( dešinė) ), t.y. taškas ( kairė ( dešinė) ), turi atsirasti ten, kur diagrama (f kairė ( right] = k ) kerta apribojimo grafiką, kai (k ) yra mažiausia arba didžiausia (f left ( teisingai) ).

Dabar matome, kad (f kairėje ( dešinė) = - 2 ), t.y. minimalios (f kairės ( dešinė) ), tiesiog paliečia apribojimo grafiką ties ( kairė (<0,1> dešinė) ). Tiesą sakant, du grafikai tuo metu yra liestiniai.

Jei du grafikai yra liestiniai tuo momentu, jų įprasti vektoriai turi būti lygiagretūs, t.y. du normalūs vektoriai turi būti vienas kito skaliariniai kartotiniai. Matematiškai tai reiškia,

[ nabla f kairė ( dešinė) = lambda , , nabla g kairė ( dešinė) ]

kai kuriems skaliarams ( lambda ) ir tai yra būtent pirmoji sistemos lygtis, kurią turime išspręsti taikydami metodą.

Taip pat atkreipkite dėmesį, kad jei (k ) yra mažesnė už minimalią (f left ( dešinė) ) grafikas (f kairė ( right) = k ) nesikerta su apribojimo grafiku ir todėl funkcijai neįmanoma paimti tos (k ) vertės taške, kuris tenkins apribojimą.

Panašiai, jei (k ) yra didesnė už minimalią (f left ( dešinė) ) grafikas (f kairė ( right) = k ) susikirs suvaržymo grafiką, tačiau abu grafikai nesikerta sankirtos taške (-uose). Tai reiškia, kad metodas neras tų susikirtimo taškų, kai mes išspręsime lygčių sistemą.

Toliau pateiktoje diagramoje rodomas kitoks (k ) reikšmių rinkinys. Šiuo atveju į (k ) reikšmes įtraukiama didžiausia (f left ( dešinėje) ), taip pat kelios vertės abiejose didžiausios vertės pusėse.

Vėlgi galime pastebėti, kad (f left ( right) = 8.125 ) tiesiog palies apribojimo grafiką dviejuose taškuose. Tai yra geras dalykas, nes mes žinome, kad sprendimas sako, kad jis turėtų įvykti dviem taškais. Taip pat atkreipkite dėmesį, kad tuose taškuose vėl grafikas (f left ( right) = 8.125 ), o suvaržymas yra liestinis, todėl normalūs vektoriai šiuose taškuose turi būti lygiagretūs, kaip ir esant minimalioms vertėms.

Panašiai, kai (k ) reikšmė yra didesnė nei 8,25, (f left ( right) = k ) nesikerta su apribojimo grafiku ir todėl nebus įmanoma (f left ( dešinėje) ) įgyti tas didesnes reikšmes taškuose, kurie yra suvaržyti.

Be to, jei (k ) reikšmės yra mažesnės nei 8,25, (f left ( right) = k ) kerta suvaržymo grafiką, bet nesikirs sankirtos taškuose, todėl metodas nesukurs šių susikirtimo taškų, nes mes išspręsime lygčių sistemą.

Taigi, naudodamiesi šiomis diagramomis, matėme, kad minimalios / didžiausios (f kairės ( dešinė) ) bus ten, kur diagrama (f kairė ( right) = k ) ir apribojimo grafikas yra liestiniai, todėl jų įprasti vektoriai yra lygiagretūs. Taip pat todėl, kad taškas turi atsirasti pačiame suvaržyme. Kitaip tariant, lygčių sistema, kurią turime išspręsti, kad nustatytume mažiausią / didžiausią (f left ( right) ) yra būtent tie, kurie pateikti aukščiau, kai pristatėme metodą.

Atkreipkite dėmesį, kad aukščiau pateiktas fizinis pagrindimas buvo atliktas dviejų matmenų sistemai, tačiau tą patį pagrindimą galima padaryti ir aukštesnėse dimensijose. Skirtumas tas, kad aukštesnėse dimensijose mes nedirbsime su kreivėmis. Pavyzdžiui, trimis matmenimis dirbtume su paviršiais. Tačiau tos pačios idėjos vis tiek išliks. Taškuose, kurie suteikia mažiausią ir didžiausią paviršiaus vertę (-es), būtų lygiagrečiai, taigi ir įprasti vektoriai būtų lygiagretūs.

Pateikime keletą pavyzdžių.

Prieš pradėdami procesą, atkreipkite dėmesį, kad mes taip pat matėme būdą išspręsti šios rūšies problemą skaičiuoklėje I, išskyrus tas, kad mums reikėjo sąlygos, kuri vieną iš dėžutės pusių siejo su kitomis pusėmis, kad galėtume nusileisti į tūrio ir paviršiaus funkciją, kurioje dalyvavo tik du kintamieji. Ši sąlyga mums nebereikalinga šioms problemoms spręsti.

Dabar pereikime prie problemos sprendimo. Pirmiausia turime nustatyti funkciją, kurią ketiname optimizuoti, taip pat apribojimą. Nustatykime langelio ilgį (x ), langelio plotį (y ) ir langelio aukštį (z ). Taip pat atkreipkime dėmesį, kad kadangi mes turime reikalų su langelio matmenimis, galima daryti prielaidą, kad visi (x ), (y ) ir (z ) yra teigiami dydžiai.

Norime rasti didžiausią kiekį, todėl funkciją, kurią norime optimizuoti, suteikia

Be to, mes žinome, kad dėžutės paviršiaus plotas turi būti pastovus 64. Taigi tai yra apribojimas. Dėžutės paviršiaus plotas yra tiesiog kiekvienos pusės ploto suma, taigi apribojimą pateikia:

[2xy + 2xz + 2yz = 64 hspace <0.5in> Rightarrow hspace <0.5in> xy + xz + yz = 32 ]

Atkreipkite dėmesį, kad apribojimą padalijome iš 2, kad truputį supaprastintume lygtį. Be to, gauname funkciją (g left ( teisingai) ) nuo šito.

Pati funkcija (f left ( right) = xyz ) aiškiai neturės nei minimumų, nei maksimumų, nebent kintamiesiems nustatysime tam tikrus apribojimus. Vienintelis realus apribojimas, kurį turime, yra tai, kad visi kintamieji turi būti teigiami. Tai, žinoma, iškart reiškia, kad funkcija iš tikrųjų turi minimumą, nulį, nors tai yra kvaila vertė, nes tai taip pat reiškia, kad mes beveik neturime langelio. Tačiau tai reiškia, kad mes žinome mažiausiai (f kairę ( teisingai) ) egzistuoja.

Taigi, pažiūrėkime, ar (f kairėje ( dešinėje) ) bus maksimalus. Aišku, tikiuosi, (f kairė ( right) ) nebus maksimalus, jei leidžiama didinti visus kintamuosius be apribojimų. Tačiau to negalima padaryti dėl suvaržymo,

Čia turime trijų teigiamų skaičių sumą (atminkite, kad mes (x ), (y ) ir (z ) esame teigiami, nes dirbame su langeliu), o suma turi būti lygi 32. Taigi, jei vienas iš kintamųjų tampa labai didelis, sakykime (x ), tai todėl, kad kiekvienas produktas turi būti mažesnis nei 32, tiek (y ), tiek (z ) turi būti labai maži, kad įsitikintumėte, jog pirmasis du terminai yra mažesni nei 32. Taigi, nėra galimybės, kad visi kintamieji padidėtų be susiejimo, todėl turėtų būti prasminga, kad funkcija (f left ( right) = xyz ), bus maksimalus.

Tai nėra tikslus įrodymas, kad (f left ( dešinė) ) bus maksimalus, tačiau tai turėtų padėti tai vizualizuoti (f kairė ( right) ) turėtų turėti maksimalią vertę, jei jai taikomas apribojimas.

Čia yra keturios lygtys, kurias turime išspręsti.

Yra daugybė būdų, kaip išspręsti šią sistemą. Mes tai išspręsime taip. Padauginkime lygtį ( eqref) pagal (x ), lygtis ( eqref) pagal (y ) ir lygtį ( eqref) pateikė (z ). Tai suteikia,

Dabar atkreipkite dėmesį, kad galime nustatyti lygtis ( eqref) ir ( eqref) lygus. Tai padarius,

[ prasideda lambda x kairė ( dešinė) & = lambda y kairė ( dešinė] lambda kairė ( dešinė) - lambda kairė ( dešinė) & = 0 lambda kairė ( right] & = 0 hspace <0.5in> Rightarrow hspace <0.5in> lambda = 0 , , , , , , < mbox> , , , , , xz = yz pabaiga]

Tai suteikė dvi galimybes. Pirmasis, ( lambda = 0 ), negalimas, nes jei taip buvo, lygtis ( eqref) sumažėtų iki

Kadangi mes kalbame apie langelio matmenis, nė vienas iš jų nėra įmanomas, todėl galime nukainoti ( lambda = 0 ). Tai palieka antrą galimybę.

Kadangi žinome, kad (z ne 0 ) (vėlgi, nes mes kalbame apie langelio matmenis), mes galime atšaukti (z ) iš abiejų pusių. Tai suteikia,

Tada nustatykime lygtis ( eqref) ir ( eqref) lygus. Tai padarius,

[ prasideda lambda y kairė ( dešinė] & = lambda z kairė ( dešinė] lambda kairė ( dešinė) & = 0 lambda kairė ( right] & = 0 hspace <0.5in> Rightarrow hspace <0.5in> lambda = 0 , , , < mbox> , , , , yx = zx pabaiga]

Kaip jau aptarta, mes žinome, kad ( lambda = 0 ) neveiks, todėl tai palieka,

Mes taip pat galime pasakyti, kad (x ne 0 ), nes mes turime reikalų su langelio matmenimis, todėl turime turėti,

Prijunkite lygtis ( eqref) ir ( eqref) į lygtį ( eqref) mes gauname,

Tačiau mes žinome, kad (y ) turi būti teigiami, nes mes kalbame apie langelio matmenis. Todėl vienintelis sprendimas, kuris turi fizinę prasmę, yra

Taigi, atrodo, kad mes turime kubą.

Čia turėtume būti šiek tiek atsargūs. Kadangi turime tik vieną sprendimą, galime susigundyti manydami, kad būtent šie matmenys suteiks didžiausią tūrį. Bet kada, kai gausime vieną sprendimą, mums tikrai reikia patikrinti, ar jis yra maksimalus (arba minimalus, jei to ir siekiame).

Tai iš tikrųjų yra gana paprasta padaryti. Pirmiausia atkreipkime dėmesį į tai, kad aukščiau nurodyto sprendimo tūris yra

Dabar mes žinome, kad daugiausia (f liko ( teisingai) ) egzistuos („įrodė“ tai anksčiau sprendime) ir taip patvirtinsime, kad tai tikrai yra maksimalus dalykas, kurį turime padaryti, jei rasite kitą matmenų rinkinį, kuris tenkina mūsų suvaržymą, ir patikrinkite garsumą. Jei šio naujo matmenų rinkinio tūris yra mažesnis nei aukščiau, mes žinome, kad mūsų sprendimas suteikia maksimalų rezultatą.

Kita vertus, jei naujas matmenų rinkinys suteikia didesnį tūrį, turime problemų. Mes turime tik vieną sprendimą ir žinome, kad egzistuoja maksimumas ir metodas turėtų generuoti tą maksimumą. Taigi šiuo atveju tikėtina problema yra ta, kad mes kažkur padarėme klaidą ir turėsime grįžti ir ją rasti.

Taigi, rasime naują dėžutės matmenų rinkinį. Vienintelis dalykas, dėl kurio turime jaudintis, yra tai, kad jie patenkins suvaržymą. Be to, nėra jokių kitų matmenų dydžio suvaržymų. Taigi, mes galime laisvai pasirinkti dvi reikšmes ir tada naudoti apribojimą trečiajai vertei nustatyti.

Pasirinkime (x = y = 1 ). Nėra jokios šios vertės priežasties, išskyrus tai, kad su jomis „lengva“ dirbti. Prijungus juos prie suvaržymo,

[1 + z + z = 32 hspace <0,25in> to hspace <0.25in> 2z = 31 hspace <0.25in> to hspace <0.25in> z = frac <<31>> < 2> ]

Taigi, tai yra aspektų rinkinys, kuris tenkina apribojimus, o šio matmenų rinkinio tūris yra

Taigi, naujieji matmenys suteikia mažesnį tūrį, taigi mūsų aukščiau pateiktas sprendimas yra tas, kad matmenys, kurie suteiks didžiausią langelio tūrį, yra (x = y = z = , 3,266 )

Atkreipkite dėmesį, kad aukščiau pateiktame pavyzdyje mes niekada neradome ( lambda ) reikšmių. Tai gana įprasta tokio pobūdžio problemoms spręsti. ( Lambda ) reikšmė iš tikrųjų nėra svarbi nustatant, ar taškas yra didžiausias ar mažiausias, todėl dažnai nesivarginsime ieškodami jo vertės. Kartais mums reikės jo vertės, kad padėtų išspręsti sistemą, tačiau net ir tais atvejais mes jos nenaudosime anksčiau.

Šis bus šiek tiek lengvesnis nei ankstesnis, nes jame yra tik du kintamieji. Be to, atkreipkite dėmesį, kad iš suvaržymo aišku, kad galimų sprendimų sritis yra spindulio diske ( sqrt <136> ), kuris yra uždaras ir ribotas regionas, (- sqrt <136> le x, y le sqrt <136> ), taigi, naudodamiesi „Extreme Value“ teorema, žinome, kad turi būti minimali ir maksimali reikšmė.

Čia yra sistema, kurią turime išspręsti.

[ prasideda5 & ​​= 2 lambda x - 3 & = 2 lambda y + & = 136 pabaiga]

Atkreipkite dėmesį, kad, kaip ir paskutiniame pavyzdyje, mes negalime turėti ( lambda = 0 ), nes tai netenkintų pirmųjų dviejų lygčių. Taigi, kadangi žinome, kad ( lambda ne 0 ), mes galime išspręsti dvi pirmąsias (x ) ir (y ) lygtis. Tai suteikia,

Prijungus juos prie suvaržymo,

Tai galime išspręsti ( lambda ).

Dabar žinodami ( lambda ), galime rasti taškus, kurie bus potencialūs maksimumai ir (arba) minimumai.

ir jei gausime ( lambda = frac <1> <4> ),

Norėdami nustatyti, ar turime didžiausius ar mažiausius, mes tiesiog turime juos prijungti prie funkcijos. Taip pat prisiminkite iš šio sprendimo pradžios vykusios diskusijos, kad žinome, jog tai bus minimalūs ir maksimalūs maksimumai, nes „Extreme Value“ teorema mums sako, kad šiai problemai egzistuoja minimumai ir maksimumai.

Čia pateikiamos mažiausios ir didžiausios funkcijos vertės.

Pirmuosiuose dviejuose pavyzdžiuose mes išskyrėme ( lambda = 0 ) dėl fizinių priežasčių arba dėl to, kad tai neišspręstų vienos ar kelių lygčių. Ne visada tikėkitės, kad taip nutiks. Kartais galėsime automatiškai išskirti ( lambda ) vertę, o kartais - ne.

Pažvelkime į kitą pavyzdį.

Pirmiausia atkreipkite dėmesį, kad mūsų suvaržymas yra trijų teigiamų arba nulinių skaičių suma ir jis turi būti 1. Todėl akivaizdu, kad mūsų sprendimas pateks į intervalą (0 le x, y, z le 1 ) ir t. sprendimas turi būti uždarame ir apribotame regione, todėl pagal Aukščiausios vertės teoremą mes žinome, kad turi būti minimali ir maksimali reikšmė.

Čia yra lygčių sistema, kurią turime išspręsti.

Pradėkime šį sprendimo procesą pastebėdami, kad kadangi visos pirmosios trys lygtys turi ( lambda ), jos visos yra lygios. Taigi, pradėkime nustatydami lygtis ( eqref) ir ( eqref) lygus.

Taigi, čia turime dvi galimybes. Pradėkime nuo prielaidos, kad (z = 0 ). Šiuo atveju galime pamatyti iš bet kurios lygties ( eqref) arba ( eqref) kad tada turime turėti ( lambda = 0 ). Iš lygties ( eqref) matome, kad tai reiškia, kad (xy = 0 ). Tai savo ruožtu reiškia, kad (x = 0 ) arba (y = 0 ).

Taigi turime dvi galimas bylas. Kiekvienu atveju du iš kintamųjų turi būti lygūs nuliui. Tai sužinoję galime prisijungti prie apribojimo, lygties ( eqref), norėdami rasti likusią vertę.

[ prasidedaz = 0, , , x = 0 &: & Dešiniarankis hspace <0,25in> y = 1 z = 0, , , y = 0 &: & Dešiniarankis hspace <0,25in> x = 1 pabaiga]

Taigi, mes turime du galimus sprendimus ( kairė (<0,1,0> dešinė) ) ir ( kairė (<1,0,0> dešinė) ).

Dabar grįžkime ir pažvelkime į kitą galimybę (y = x ). Taip pat čia turime apžvelgti du galimus atvejus.

Pirmasis atvejis yra (x = y = 0 ). Šiuo atveju iš suvaržymo galime pamatyti, kad turime turėti (z = 1 ), taigi dabar turime trečią sprendimą ( left (<0,0,1> right) ).

Antrasis atvejis yra (x = y ne 0 ). Nustatykime lygtis ( eqref) ir ( eqref) lygus.

Dabar mes jau manėme, kad (x ne 0 ), todėl vienintelė galimybė yra ta (z = y ). Tačiau tai taip pat reiškia, kad,

Naudojant tai suvaržyme,

Taigi, kitas sprendimas yra ( left (<3>,frac<1><3>,frac<1> <3>> right) ).

Gavome keturis sprendimus nustatydami dvi pirmąsias lygtis.

Norėdami visiškai užbaigti šią problemą, turėtume nustatyti lygtis ( eqref) ir ( eqref) lygus, taip pat nustatant lygtis ( eqref) ir ( eqref) lygu pamatyti, ką gauname. Tai padarius,

Abi šios yra labai panašios į pirmąją situaciją, į kurią mes žiūrėjome, ir mes paliksime jums parodyti, kad kiekvienu iš šių atvejų mes grįžtame prie keturių jau rastų sprendimų.

Taigi, turime keturis sprendimus, kuriuos turime patikrinti funkcijoje, norėdami sužinoti, ar turime minimumus, ar maksimumus.

Taigi šiuo atveju maksimalus įvyksta tik vieną kartą, o mažiausias - tris kartus.

Taip pat atkreipkite dėmesį, kad mes niekada iš tikrųjų nenaudojome prielaidos, kad (x, y, z ge 0 ) yra tikrasis problemos sprendimas. Mes jį panaudojome, kad įsitikintume, jog turime uždarą ir ribotą regioną, kad garantuotume, jog turėsime absoliučią ekstremumą. Norėdami sužinoti, kodėl tai svarbu, pažvelkime į tai, kas gali nutikti be šios prielaidos. Be šios prielaidos, nebūtų per sunku rasti taškus, kurie pateikia didesnes ir mažesnes funkcijų reikšmes. Pavyzdžiui.

Pateikdami šiuos pavyzdžius galite aiškiai pamatyti, kad nėra labai sunku rasti taškų, kurie suteiks didesnes ir mažesnes funkcijų reikšmes. Visiems šiems pavyzdžiams reikalingos neigiamos (x ), (y ) ir (arba) (z ) vertės, kad įsitikintume, jog laikomės apribojimo. Panaikinę šias, žinosime, kad mes gavome mažiausias ir didžiausias vertes pagal Aukščiausios vertės teoremą.

Prieš tęsdami turime išspręsti greitą problemą, kurią iliustruoja paskutinis pavyzdys apie „Lagrange Multipliers“ metodą. Mes radome absoliučią funkcijos minimumą ir maksimumą. Tačiau to, ko neradome, yra visos absoliutaus minimumo vietos. Pavyzdžiui, darant prielaidą (x, y, z ge 0 ), apsvarstykite šiuos taškų rinkinius.

Kiekvienas šio taškų rinkinio taškas patenkins problemos suvaržymą, ir kiekvienu atveju funkcija bus vertinama iki nulio ir taip duos absoliučią minimumą.

Taigi, kas vyksta? Prisiminkime iš ankstesnio skyriaus, kad turėjome patikrinti tiek kritinius taškus, tiek ribas, kad įsitikintume, jog turime absoliučią kraštutinumą. Tas pats pasakytina ir apie „Calculus I“. Turėjome patikrinti tiek kritinius taškus, tiek pabaigos taškus, kad įsitikintume, jog turime absoliučią kraštutinumą.

Pasirodo, kad čia tikrai turime daryti tą patį, jei norime žinoti, kad radome visas absoliutaus kraštutinumo vietas. Lagrange'o daugiklių metodas suras absoliučią kraštutinumą, jis gali tik nerasti visų jų vietų, nes metodas neatsižvelgia į kintamųjų diapazonų galinius taškus (atkreipkite dėmesį, kad kai kuriems iš šių taškų mums gali pasisekti, bet mes galime " t garantuoti).

Taigi, praėję Lagrange'o daugiklio metodą, turėtume paklausti, kas vyksta mūsų kintamųjų diapazonų galiniuose taškuose. Pavyzdžiui, tai reiškia, kad reikia žiūrėti, kas vyksta, jei (x = 0 ), (y = 0 ), (z = 0 ), (x = 1 ), (y = 1 ), ir (z = 1 ). Pirmaisiais trim atvejais gauname aukščiau išvardintus taškus, kurie taip pat suteikia absoliučią minimumą. Vėlesniais trimis atvejais galime pastebėti, kad jei vienas iš kintamųjų yra 1, kiti du turi būti lygūs nuliui (kad atitiktų apribojimą) ir kurie iš tikrųjų buvo rasti pavyzdyje. Kartais taip nutiks, o kartais taip nebus.

Šio pavyzdžio atveju kiekvieno kintamojo diapazono galiniai taškai suteikė absoliučią kraštutinumą, tačiau nėra jokios priežasties tikėtis, kad tai atsitiks kiekvieną kartą. Pavyzdžiui, 2 pavyzdyje aukščiau, kintamųjų diapazonų galiniai taškai nesuteikia absoliučios kraštutinumų (leisime jums tai patvirtinti).

Moralas yra tai, kad jei norime žinoti, kad turime visas absoliučios kraštutinumo vietas tam tikrai problemai, turėtume patikrinti ir galimų kintamų diapazonų galinius taškus. Jei viskas, kas mus domina, yra absoliutaus kraštutinumo vertė, tai nėra jokios priežasties to daryti.

Gerai, laikas pereiti prie šiek tiek kitos temos. Iki šiol mes nagrinėjome tik apribojimus, kurie buvo lygtys. Mes taip pat galime turėti suvaržymų, kurie yra nelygybė. Šio tipo problemų procesas yra beveik identiškas tiems, kuriuos darėme šiame skyriuje iki šiol. Pagrindinis skirtumas tarp dviejų tipų problemų yra tas, kad mes taip pat turėsime surasti visus kritinius taškus, kurie tenkina suvaržymo nelygybę, ir patikrinti juos funkcijoje, kai patikrinsime vertes, kurias radome naudodami „Lagrange Multipliers“.

Pateikime pavyzdį, kad pamatytume, kaip veikia šios problemos.

Atkreipkite dėmesį, kad apribojimas yra disko nelygybė. Kadangi tai yra uždaras ir ribotas regionas, „Extreme Value“ teorema mums sako, kad turi būti minimali ir maksimali reikšmė.

Pirmiausia reikia surasti visus kritinius taškus, esančius diske (t.y. patenkinti suvaržymą). Tai yra pakankamai lengva padaryti šiai problemai spręsti. Čia yra du pirmosios eilės daliniai dariniai.

[ prasideda & = 8x & & Rightyrow hspace <0.25in> 0 & = 20 m]

Taigi vienintelis kritinis taškas yra ( kairė (<0,0> dešinė) ) ir jis tenkina nelygybę.

Šiuo metu mes tęsiame „Lagrange Multipliers“ ir suvaržymą traktuojame kaip lygybę, o ne nelygybę. Nelygybę reikia spręsti tik tada, kai randame kritinius taškus.

Taigi, čia yra lygčių sistema, kurią turime išspręsti.

[ prasideda8x & = 2 lambda x 20y & = 2 lambda y + & = 4 pabaiga]

Iš pirmosios lygties, kurią gauname,

Jei turime (x = 0 ), tai apribojimas suteikia mums (y = pm , 2 ).

Jei turime ( lambda = 4 ), mums suteikia antroji lygtis,

[20y = 8y hspace <0.25in> Rightarrow hspace <0.25in> , , , y = 0 ]

Tada apribojimas mums sako, kad (x = pm , 2 ).

Jei atliktume panašią antrosios lygties analizę, pasiektume tuos pačius taškus.

Taigi, „Lagrange“ daugikliai suteikia mums keturis taškus, kuriuos reikia patikrinti: ( kairė (<0,2> dešinė) ), ( kairė (<0, - 2> dešinė) ), ( kairė (< 2,0> dešinė) ) ir ( kairė (<- 2,0> dešinė) ).

Norėdami rasti maksimalų ir mažiausią skaičių, turime tiesiog prijungti šiuos keturis taškus kartu su kritiniu funkcijos tašku.

Šiuo atveju mažiausia buvo disko vidinė dalis, o didžiausia - disko riba.

Paskutinė tema, kurią turime aptarti šiame skyriuje, yra tai, ką daryti, jei turime daugiau nei vieną apribojimą. Mes nagrinėsime tik du apribojimus, tačiau natūraliai galime išplėsti čia pateiktą darbą daugiau nei dviem apribojimais.

Norime optimizuoti (f left ( dešinė) ) atsižvelgiant į apribojimus (g kairė ( dešinė) = c ) ir (h kairė ( dešinė) = k ). Šiuo atveju turime išspręsti sistemą,

[ prasideda nabla f kairė ( dešinė) & = lambda nabla g kairė ( dešinė) + mu nabla h kairė ( dešinė) g kairė ( dešinė) & = c h kairė ( dešinė) & = k pabaiga]

Taigi, šiuo atveju gauname du „Lagrange“ daugiklius. Be to, atkreipkite dėmesį, kad pirmoji lygtis iš tikrųjų yra trys lygtys, kaip matėme ankstesniuose pavyzdžiuose. Pažiūrėkime į šios rūšies optimizavimo problemos pavyzdį.

Patikrinti, ar čia turėsime mažiausią ir didžiausią vertę, yra šiek tiek sudėtingiau. Aišku, kad dėl antrojo suvaržymo turime turėti (- 1 le x, y le 1 ). Turint tai omenyje, taip pat turi būti nustatytos (z ) ribos, kad įsitikintumėte, jog įvykdytas pirmasis apribojimas. Jei tikrai norite nustatyti tą diapazoną, galite rasti mažiausią ir didžiausią (2x - y ) vertes, kurioms priklauso ( + = 1 ) ir tada galite tai naudoti norėdami nustatyti mažiausias ir didžiausias (z ) reikšmes. Mes to čia nepadarysime. Esmė yra tik tai, kad reikia pripažinti, kad dar kartą galimi sprendimai turi būti uždarame ir ribotame regione, todėl minimalios ir didžiausios vertės turi egzistuoti pagal didžiausios vertės teoremą.

Čia yra lygčių sistema, kurią turime išspręsti.

Pirmiausia pastebėkime, kad iš lygties ( eqref) gauname ( lambda = 2 ). Tai pridedant prie lygties ( eqref) ir lygtis ( eqref) ir sprendžiant atitinkamai (x ) ir (y ),

[ prasideda0 & = 4 + 2 mu x & hspace <0.1in> & Rightarrow hspace <0.5in> x = - frac <2> < mu> 4 & = - 2 + 2 mu y & hspace <0.1in> & Rightarrow hspace <0.5in> y = frac <3> < mu> end]

Dabar prijunkite juos prie lygties ( eqref).

Taigi, čia turime nagrinėti du atvejus. Pirmiausia pažiūrėkime, ką gauname, kai ( mu = sqrt <13> ). Šiuo atveju mes tai žinome,

Prijungus juos į lygtį ( eqref) suteikia,

Pažiūrėkime, ką gausime, jei imsime ( mu = - sqrt <13> ). Štai mes turime

Prijungus juos į lygtį ( eqref) suteikia,

ir yra antras sprendimas.

Dabar mums tereikia patikrinti du funkcijos sprendimus, kad pamatytume, kuris yra didžiausias, o kuris - mažiausias.


Vibracija

Redaktoriai peržiūrės jūsų pateiktą informaciją ir nustatys, ar pataisyti straipsnį.

Vibracijaastronomijoje matomas ar tikras palydovo, pavyzdžiui, Mėnulio, svyravimas, kurio paviršius gali būti matomas skirtingais kampais, skirtingais laikais iš vieno pirminio kūno taško.

Platumos Mėnulio biblioteka įvyksta dėl to, kad jo ašis yra šiek tiek pakreipta, palyginti su orbitos aplink Žemę plokštuma, todėl Mėnulio šiaurės ir pietų ašigaliai, matyt, pakaitomis linksta šiek tiek link Žemės link Mėnuliui judant savo orbita. Mėnulio išilginė biblioteka (posūkis pirmyn ir atgal, judesys „galvos kratymu“) atsiranda dėl jo judėjimo šiek tiek skirtingu greičiu skirtingais orbitos taškais (pagal antrąjį Keplerio dėsnį).

Šios ir kitos mažos bibliotekos leidžia pamatyti maždaug 59 procentus Mėnulio paviršiaus iš Žemės, nors jis visą laiką rodo beveik tą patį Žemės veidą.


Žiūrėti video įrašą: Atstumas tarp skaičių tiesės taškų (Vasaris 2023).