Astronomija

Nenutrūkstamumas erdvėlaikyje

Nenutrūkstamumas erdvėlaikyje


We are searching data for your request:

Forums and discussions:
Manuals and reference books:
Data from registers:
Wait the end of the search in all databases.
Upon completion, a link will appear to access the found materials.

Iki šiol apie tai supratau, kad erdvės-laiko audinys yra tarsi nulūžęs. Prašau pasakyti, ar aš teisus.

  • Jei tai tiesa, ar tai reiškia, kad laiko suvokimas sustos?

  • Aš tikrai negaliu suprasti, koks yra skaldytas kosminis audinys. Jei tai yra skylė, kaip materija turėtų būti jos viduje?

  • Ar juodoji skylė yra tęstinumas?


Fizikos ypatumas iš esmės yra didelis kelrodis, sakantis, kad „jūsų naudojama teorija tikriausiai nustojo būti tinkama tikrovės apytikslė, kol jūs čia pateksite“. Pavyzdys yra begalinis trumpabangio spinduliavimo, kurį pagal Rayleigh-Jeans dėsnį generuoja juodasis kūnas. Akivaizdu, kad tai neteisingas tikrovės apibūdinimas, ir klausimas galiausiai išspręstas plėtojant kvantinę teoriją: atsižvelgimas į pataisas suteikia Plancko dėsnį ir begalybė praeina.

Juodosios skylės viduje bendrasis reliatyvumas numato singuliarumus, ir atrodo, kad gana įprasta apie juos kalbėti taip, lyg jie būtų fiziniai objektai. Tačiau turėtume būti atsargūs: nors bendras reliatyvumas yra geriausias mūsų sunkumo apibūdinimas, mes jau žinome, kad jis neapibūdina tikrosios visatos. Čia yra tai, kad bendrasis reliatyvumas yra nesuderinamas su standartiniu kvantinio lauko teorijos modeliu, kuris yra geriausia mūsų teorija, kaip veikia fizika, išskyrus gravitaciją.

Kol pasieksite regioną šalia to, kur bendras reliatyvumas numato singuliarumą, dirbate su labai mažu regionu, kuriame yra intensyvus gravitacijos laukas. Kvantinės korekcijos čia, be abejo, bus aktualios, deja, mes dar neturime nuoseklios „kvantinės gravitacijos“ teorijos, apibūdinančios, kas turėtų vykti tokiame regione, ir iki šiol atliktus eksperimentus (tokius, kokie atliekami „Large Hadron Collider“) nelabai suprato, kaip elgtis kuriant vieną.

Hipotetinėje visatoje, kur bendras reliatyvumas yra teisingas, egzistuotų singuliarumas (kurį, laimei, įvykių horizontas slepia nuo likusios visatos), tačiau mes negyvename tokioje visatoje.


Raukšlė erdvėlaikyje: matematika parodo, kaip smūgio bangos galėtų suglamžyti erdvę

UC Daviso matematikai sugalvojo naują būdą, kaip sugadinti erdvės ir laiko audinį - bent jau teoriškai.

„Mes parodome, kad erdvė-laikas negali būti lygus vietoje toje vietoje, kur susiduria dvi smūgio bangos“, - sakė UC Daviso matematikos profesorius Blake'as Temple'as. "Tai yra naujos rūšies bendrumas, susijęs su reliatyvumu."

Rezultatai pateikiami dviejuose „Temple“ straipsniuose su atitinkamai magistrantais Moritzu Reintjesu ir Zeke Vogleriu, abu paskelbti žurnale Karališkosios draugijos darbai A..

Einšteino bendrojo reliatyvumo teorija gravitaciją paaiškina kaip erdvės-laiko kreivumą. Tačiau teorija prasideda nuo prielaidos, kad bet kuris vietinis erdvės ir laiko lopinėlis atrodo plokščias, sakė Temple.

Ypatumas yra erdvės-laiko lopinėlis, kurio negalima priversti atrodyti plokščia jokioje koordinačių sistemoje, sakė Temple. Vienas išskirtinumo pavyzdžių yra juodosios skylės viduje, kur erdvės kreivumas tampa kraštutinis.

Temple ir jo bendradarbiai tiria matematiką, kaip smūgio bangos tobulame skystyje gali paveikti erdvės ir laiko kreivumą bendrame reliatyvume. Ankstesniuose darbuose Temple ir bendradarbis Joelis Smolleris, Mičigano universiteto matematikos profesorius Lamberto Cesari, sukūrė modelį didžiausiam visų smūgių bangai, sukurtam iš Didžiojo sprogimo, kai visata sprogo.

Smūgio banga sukelia staigų skysčio slėgio ir tankio pokytį arba pertraukimą, ir tai sukelia kreivės šuolį. Tačiau nuo 1960-ųjų buvo žinoma, kad vienos šoko bangos sukeltas kreivumo šuolis nėra pakankamas norint atmesti vietos plokščią erdvėlaikio prigimtį.

Voglerio daktaro darbe matematika buvo imituojama dviem susidūrimo bangoms imituoti, o Reintjesas tęsė lygčių, apibūdinančių, kas atsitinka, kai smūgio bangos kerta, analizę. Jis pastebėjo, kad tai sukūrė naują singuliarumo tipą, kurį pavadino „dėsningumo singuliarumu“.

Stebina tai, kad kažkas švelnaus, kaip sąveikaujančios bangos, gali sukurti kažką tokio ekstremalaus, kaip erdvės-laiko singuliarumas, sakė Temple.

Temple ir jo kolegos tiria, ar stačios erdvės-laiko audinio nuolydžiai, turėdami dėsningumą, gali sukelti realiame pasaulyje išmatuojamus efektus. Pavyzdžiui, jie domisi, ar jie gali sukelti gravitacijos bangas, sakė Temple. Bendras reliatyvumas numato, kad jų sukelia, pavyzdžiui, susidūrę masyvūs objektai, pavyzdžiui, juodosios skylės, tačiau jų gamtoje dar nebuvo pastebėta. Tyrėjai teigia, kad dėsningumo singuliarumai taip pat gali susidaryti žvaigždėse, kai jose praeina smūgio bangos.

Reintjesas, dabar Regensburgo universiteto (Vokietija) podoktorantas, pristatė darbą tarptautiniame hiperbolinių problemų kongrese Padujoje, birželį.


Nenutrūkstamumas erdvėlaikyje - astronomija

Chessa, J. ir Belytschko, T. (2004), Savavališki erdvės ir laiko baigtinių elementų pertraukimai pagal lygių rinkinius ir X ‐ FEM. Vid. J. Numer. Met. Engng., 61: 2595-2614. doi: 10.1002 / nme.1155

Santrauka

Pateikiamas praturtinto baigtinių elementų metodas su savavališkais laiko ir laiko pertraukimais. Nenutrūkstamumai yra nagrinėjami išplėstinio baigtinių elementų metodu (X-FEM), kuris naudoja vietinį vienybės praturtinimo skaidinį, kad įvestų tolydumus išilgai judančio hiper paviršiaus, kurį apibūdina lygių rinkiniai. Erdvės – laiko silpnoji forma gamtos apsaugos dėsniams yra sukurta ten, kur Rankine – Hugoniot šuolio sąlygos yra natūralios silpnos formos sąlygos. Metodas iliustruojamas pirmosios eilės hiperbolinių lygčių sprendime ir taikomas tiesinėms pirmosios eilės bangų ir netiesinėms „Burgers“ lygtims. Užfiksavus nepertraukiamumą laike ir erdvėje, rezultatai yra geresni, palyginti su nepertraukiamumo fiksavimu vien kosmose, ir metodas yra nepaprastai tikslus. Taip pat aptariamas poveikis standartinėms pusiau diskretizavimo X-FEM formuluotėms.


Erdvėlaikio raukšlė

Albert Einstein & # 8217s revoliucinė bendroji reliatyvumo teorija apibūdina gravitaciją kaip erdvėlaikio audinio kreivumą. Kalifornijos universiteto (Deivisas) matematikai sugalvojo naują būdą, kaip suglamžyti tą audinį, apmąstant smūgio bangas.

& # 8220Me parodome, kad erdvėlaikis negali būti lygus vietoje toje vietoje, kur susiduria du smūgio bangos, & # 8221 sako Blake'as Temple'as, UC Daviso matematikos profesorius. & # 8220Tai naujos rūšies bendrumas, palyginti su reliatyvumu. & # 8221

Temple ir jo bendradarbiai tiria matematiką, kaip smūgio bangos tobulame skystyje veikia erdvėlaikio kreivumą. Nauji jų modeliai įrodo, kad šoko bangų susidūrimo vietose atsiranda unikalumas. „Vogler & # 8217s“ matematiniai modeliai imitavo du susidūrimo smūgius. Reintjesas atliko analizę lygčių, apibūdinančių, kas atsitinka, kai smūgio bangos kerta. Jis pavadino singuliarumą sukūrė & # 8220 taisyklingumo singuliarumą. & # 8221

Kas stebina, & # 8221 šventykla „Universe Today“ sakė, kad toks kasdieniškas dalykas kaip bangų sąveika gali sukelti kažką tokio ekstremalaus kaip erdvėlaikio singuliarumas ir # 8212, nors ir labai lengvas naujos rūšies singuliarumas. Taip pat stebina tai, kad jos yra pagrindinėse Einšteino & # 8217s bendrosios reliatyvumo teorijos lygtyse, tobulo skysčio lygtyse. & # 8221

Rezultatai pateikiami dviejuose „Temple“ straipsniuose su magistrantais Moritzu Reintjesu ir Zeke Vogleriu žurnale „Proceedings of the Royal Society A“.

Einšteinas sukėlė revoliuciją šiuolaikinėje fizikoje, naudodamasis 1916 m. Paskelbta bendrąja reliatyvumo teorija. Trumpai tariant, erdvė apibūdinama kaip keturių matmenų audinys, kurį gali iškreipti energija ir energijos srautas. Gravitacija rodo save kaip šio audinio kreivumą. Teorija prasideda nuo prielaidos, kad erdvėlaikis (4 dimensijų paviršius, o ne 2 dimensijos kaip rutulys) taip pat yra & # 8220vietiškai plokščias, ir # 8221 paaiškina Šventykla. & # 8220Reintjes & # 8217 teorema įrodo, kad smūgio bangos sąveikos vietoje [erdvėlaikis] yra per & # 8220suglamžytas & # 8221, kad būtų lygus vietoje. & # 8221

Mes dažniausiai galvojame apie juodąją skylę kaip apie singuliarumą. Bet tai tik dalis paaiškinimo. Juodosios skylės viduje erdvėlaikio kreivumas tampa toks kietas ir kraštutinis, kad jokia energija, net ne šviesa, negali išbėgti. Temple sako, kad singuliarumas gali būti subtilesnis, kai tik erdvėlaikio lopinėlis negali atrodyti lokalus bet kurioje koordinačių sistemoje.

& # 8220Vietai plokščia & # 8221 reiškia erdvę, kuri tam tikru požiūriu atrodo plokščia. Mūsų vaizdas į Žemę iš paviršiaus yra geras pavyzdys. Žemė jūrininkui viduryje vandenyno atrodo plokščia. Žemės kreivumas išryškėja tik tada, kai tolstame toli nuo paviršiaus. Einšteino & # 8217s bendro reliatyvumo teorija prasideda nuo prielaidos, kad erdvėlaikis taip pat yra lokalus plokščias. Smūgio bangos sukelia staigų skysčio slėgio ir tankio pokytį arba pertraukimą. Tai sukuria erdvėlaikio kreivumo šuolį, tačiau to nepakanka, kad būtų sukurtas „# 8220girgždantis“ ir „# 8221“, matytas komandos modeliuose, sako Temple.

Šauniausia „Temple“ radinio dalis yra ta, kad viskas, jo ankstesni darbai apie smūgio bangas Didžiojo sprogimo metu ir „Vogler & # 8217s“ bei „Reintjes & # 8217“ derinys, dera.

Yra tiek daug ramybės, & # 8221 sako Temple. & # 8220Tai tikrai šauniausia dalis man.
Man patinka, kad jis toks subtilus. Ir man patinka, kad matematinis smūgio bangos teorijos laukas, sukurtas spręsti problemas, neturinčias nieko bendro su bendruoju reliatyvumu, paskatino mus atrasti naujos rūšies erdvėlaikio singuliarumą. Manau, kad tai labai retas dalykas, ir aš tai vadinu kartą kartos atradimu. & # 8221

Nors modelis gerai atrodo popieriuje, Temple ir jo komanda stebisi, kaip stačios erdvės nuolydžiai erdvėje esant & # 8220 taisyklingumo singuliarumui & # 8221 realiame pasaulyje gali sukelti didesnį, nei tikėtasi, poveikį. Bendrasis reliatyvumas numato, kad susidūrus masyviems objektams, pavyzdžiui, juodosioms skylėms, gravitacijos bangos gali atsirasti. Mums įdomu, ar sprogusi žvaigždžių smūgio banga, smogianti imploduojančiam šokui priekiniame žlugimo krašte, gali stimuliuoti stipresnes nei tikėtasi gravitacijos bangas, sako # 8221 Temple. & # 8220Tai negali atsitikti sferinėje simetrijoje, kurią numato mūsų teorema, tačiau iš esmės taip gali atsitikti, jei simetrija būtų šiek tiek sulaužyta. & # 8221

Vaizdo parašas: atlikėjo perduota erdvėlaikio atodanga Didžiojo sprogimo pradžioje. Johnas Williamsas / „TerraZoom“


Įvadas

Praturtintų baigtinių elementų metodai gali atkurti nenutrūkstamus bruožus ir aukštų gradientų sritis be reikšmingo akių tobulinimo. Tai pasiekiama išplečiant baigtinių elementų aproksimacijos erdvę, kad būtų galima atkurti specifines sodrinimo funkcijas, kurios reprezentuoja šias savybes [1]. Sodrinimą paprastai palengvina standartinių Lagrange'o interpolantų savybė pasidalyti [2]. Šie metodai pasirodė esą gana sėkmingi modeliuojant statinius ir kvazistatinius reiškinius, tokius kaip linijinė tamprių lūžių mechanika [3], [4], [5], [6], [7] ir inkliuzai, nehomogeniškumai ir mikrostruktūra [8]. , [9], [10]. Išsami šių metodų apžvalga pateikta Karihaloo ir Xiao [11]. Nors įrodyta, kad nuo laiko nepriklausomi praturtinti metodai duoda puikių rezultatų, priklausomai nuo laiko praturtintų baigtinių elementų metodai nepasiekė to paties sėkmės laipsnio. Dauguma tyrinėtojų naudojo standartines pusdiskretizavimo metodikas, spręsdami nuo laiko priklausančias problemas. Kaip pavyzdį galima paminėti Chessa ir kt. [12], Ji ir kt. [13] ir Dolbow ir Merle [14] kietėjimui, Chen ir Belytschko [15] ir Belytschko ir kt. [16] laiko dinaminiam įtrūkimų augimui, Chessa ir Belytschko [17], [18] dviejų fazių skysčių srautui ir Legay ir kt. [19] skysčių struktūros sąveikos problemoms spręsti.

Visuose anksčiau minėtuose nuo laiko priklausančiuose įgyvendinimuose naudojamos pusiau atskiros schemos, kuriose sodrinimo laiko išvestiniai derinami su ribotu laiko skirtumu (paprastai centrinio skirtumo metodas). Česoje ir Belytschko [20] yra sukurta nauja erdvės ir laiko praturtinimo schema, siekiant aiškiai nustatyti pirmosios eilės išsaugojimo įstatymų nepertraukiamumus. Praturtinant erdvėje ir laike, judantį nepertraukiamumą galima išspręsti tiksliau, palyginti su schemomis, kuriose sodrinimas nepriklauso nuo laiko. Chessoje ir Belytschko [20] lyginami pirmosios eilės bangos ir Burgerio lygčių sprendimai, naudojant pusiau diskretizuotas ir erdvės ir laiko praturtintas baigtinių elementų schemas, parodyta, kad nors pusiau atskiros praturtintos schemos užfiksuoja tolydumą, jos artimoje aplinkoje linkusios svyruoti tęstinumo ir turi tęstinumo dydžio paklaidą. Priešingai, erdvės ir laiko praturtinta formuluotė yra žymiai pranašesnė už nepertraukiamumo fiksavimą, faktiškai pagal pirmosios eilės tiesinės bangos lygtį erdvės ir laiko formuluotė atkuria tikslų sprendimą.

Šiame darbe mes nagrinėjame, kaip praturtintas Chessa ir Belytschko erdvės ir laiko formulavimas [20], kuriame pertraukimai yra aiškiai stebimi praturtinimo ir lygių rinkiniais, gali būti derinami su standartinėmis baigtinių elementų formuluotėmis hiperbolinėms lygtims. Tikslas yra kuo labiau sumažinti praturtinto erdvės-laiko formulavimo skaičiavimo išlaidas ir padidinti esamų baigtinių elementų kodų įgyvendinimo paprastumą. Erdvės – laiko formuluotę mes susiejame su standartiniais pusiau diskretizuotais baigtiniais elementais, nutolusiais nuo pertraukiamumo. Susiejimas atliekamas silpnai užtikrinant srauto tęstinumą panašiai kaip nenutrūkstami Galerkin metodai (DGM) [21]. Pateiktam požiūriui reikalingas aiškus gamtosaugos įstatymų nepertraukiamumo stebėjimas. Panašūs šoko stebėjimo būdai buvo svarstomi riboto skirtumo bendruomenėje. Keletas pavyzdžių apima Fedkiw ir kt. [22] ir Aslamas [23], kurie naudojo lygio rinkinius, kad aiškiai stebėtų sukrėtimus įvairiuose hiperbolinių konservacijų įstatymuose. Be to, Mao [24] buvo naudojami aiškaus šoko stebėjimo elementai gydant pertraukimus. Kaip ir daugumos aiškių smūgio stebėjimo metodų atveju, šoko aptikimo klausimas nėra menkas net ir 1D. Diskusijas apie aiškų šoko aptikimą galima rasti [25], [26], [27] šiose diskusijose daugiausia vizualizacijos požiūriu. Čia nėra nagrinėjamos detalaus smūgio aptikimo detalės ir klausimai.

Straipsnio metmenys yra tokie: 2 skyriuje mes apibrėžiame pirmosios eilės išsaugojimo problemą, tada 3 skyriuje pateikiame praturtintą erdvės - laiko baigtinį elementą ir pusiau atskiras silpnąsias problemos formas. 4 skyriuje aptariame praturtinto erdvės laiko formulavimo susiejimą su standartiniais pusiau atskirais baigtiniais elementais. 5 skyriuje plėtojame praturtintų erdvės ir laiko baigtinių elementų aproksimacijas, o 6 skyriuje pateikiamos diskrečiųjų baigtinių elementų lygtys. 7 skyriuje metodas taikomas keliems pavyzdžiams. Išvados pateikiamos 8 skyriuje.


Savavališki erdvės ir laiko baigtinių elementų pertraukimai pagal lygio rinkinius ir X-FEM

Teksaso universiteto Mechanikos inžinerijos katedra, El Pasas, JAV

Šiaurės vakarų universiteto Mechanikos inžinerijos katedra, JAV

Mechanikos inžinerijos katedra, Šiaurės vakarų universitetas, JAV. Ieškokite daugiau šio autoriaus straipsnių

Teksaso universiteto Mechanikos inžinerijos katedra, El Pasas, JAV

Šiaurės vakarų universiteto Mechanikos inžinerijos katedra, JAV

Mechanikos inžinerijos katedra, Šiaurės vakarų universitetas, JAV. Ieškokite daugiau šio autoriaus straipsnių

Santrauka

Pateikiamas praturtinto baigtinių elementų metodas su savavališkais laiko ir laiko pertraukimais. Nenutrūkstamumai yra nagrinėjami išplėstinio baigtinių elementų metodu (X-FEM), kuris naudoja vietinį vienybės praturtinimo skaidinį, kad įvestų tęstinumus išilgai judančio hiper paviršiaus, kurį apibūdina lygių rinkiniai. Erdvės – laiko silpnoji forma gamtos apsaugos dėsniams yra sukurta ten, kur Rankine – Hugoniot šuolio sąlygos yra natūralios silpnos formos sąlygos. Metodas iliustruojamas pirmosios eilės hiperbolinių lygčių sprendime ir pritaikytas tiesinėms pirmosios eilės bangos ir netiesinėms „Burgers“ lygtims. Užfiksavus nepertraukiamumą laike ir erdvėje, rezultatai yra geresni, palyginti su nepertraukiamumo fiksavimu vien kosmose, ir metodas yra nepaprastai tikslus. Taip pat aptariamas poveikis standartinėms pusiau diskretizavimo X-FEM formuluotėms. Autorinės teisės © 2004 John Wiley & Sons, Ltd.


Turinys

Savo garsiajame 1905 m. Dokumente apie ypatingą reliatyvumą Albertas Einšteinas padarė išvadą, kad kai du laikrodžiai buvo sujungti ir sinchronizuoti, o po to vienas buvo atitrauktas ir sugrąžintas, bus nustatyta, kad keliavęs laikrodis atsiliko nuo laikrodžio, kuris buvo likęs vietoje. [A 1] Einšteinas manė, kad tai yra natūrali ypatingo reliatyvumo pasekmė, o ne paradoksas, kaip kai kurie siūlė, ir 1911 m. Jis pakartojo ir išsamiai išdėstė šį rezultatą taip (su fiziko Roberto Resnicko komentarais po Einšteino): [A 2] [15]

Jei į dėžę įdėtume gyvą organizmą. būtų galima pasirūpinti, kad organizmas po bet kokio savavališko ir ilgo skrydžio galėtų būti grąžintas į savo pradinę vietą vos pakitusia būsena, tuo tarpu atitinkami organizmai, kurie liko pradinėje padėtyje, jau seniai užleido vietą naujoms kartoms. Judančiam organizmui ilgas kelionės laikas buvo tik akimirksnis, jei judėjimas vyko maždaug šviesos greičiu. Jei stacionarus organizmas yra vyras, o keliaujantis yra jo dvynis, keliautojas grįžta namo, norėdamas rasti savo brolį dvynį, kuris yra daug senesnis nei jis pats. Paradoksas sutelktas į teiginį, kad reliatyvumo požiūriu bet kuris dvynis galėtų laikyti kitą keliautoju, tokiu atveju kiekvienas turėtų rasti kitą jaunesnį - logiškas prieštaravimas. Šiame teiginyje daroma prielaida, kad dvynių situacijos yra simetriškos ir keičiamos, o prielaida nėra teisinga. Be to, atlikti prieinami eksperimentai patvirtina Einšteino prognozes.

1911 m. Paulas Langevinas pateikė „ryškų pavyzdį“, aprašydamas keliautojo istoriją, vykstantį pagal Lorenco koeficientą. γ = 100 (99,995% šviesos greitis). Keliautojas vienerius metus išlieka sviedinyje, o paskui pakeičia kryptį. Grįžęs keliautojas sužinos, kad jis yra dvejų metų, o Žemėje praėjo 200 metų. Kelionės metu tiek keliautojas, tiek Žemė nuolat siunčia signalus vienas kitam pastoviu greičiu, todėl Langevino istorija patenka į dvynių paradokso Doplerio poslinkio versijas. Reliatyvistinis poveikis signalo dažniui naudojamas siekiant atsižvelgti į skirtingus senėjimo rodiklius. Asimetrija, įvykusi dėl to, kad tik keliautojas patyrė pagreitį, naudojama paaiškinti, kodėl apskritai yra koks nors skirtumas, nes „bet koks greičio pokytis ar bet koks pagreitis turi absoliučią prasmę“. [A 3]

Max von Laue (1911, 1913) išplėtojo Langevino paaiškinimą. Naudodamasis Hermanno Minkowskio erdvėlaikio formalizmu, Laue parodė, kad inerciškai judančių kūnų pasaulinės linijos maksimaliai padidina tinkamą laiką, praleistą tarp dviejų įvykių. Jis taip pat rašė, kad asimetrinį senėjimą visiškai atspindi tai, kad astronautas dvynis keliauja dviem atskirais rėmais, o Žemės dvynys lieka viename kadre, o pagreičio laiką galima savavališkai padaryti mažą, palyginti su inercinio judėjimo laiku. . [A 4] [A 5] [A 6] Galų gale Lordas Halsbury ir kiti pašalino bet kokį pagreitį įvedę „trijų brolių“ metodą. Keliaujantis dvynis perkelia savo laikrodžio rodmenį į trečią, važiuodamas priešinga kryptimi. Kitas būdas išvengti pagreičio efektų yra reliatyvistinio Doplerio efekto naudojimas (žemiau žr. Kaip tai atrodo: reliatyvistinis Doplerio poslinkis).

Nei Einšteinas, nei Langevinas tokių rezultatų nelaikė problemiškais: Einšteinas juos tik vadino „savitais“, o Langevinas juos pateikė kaip absoliutaus pagreičio pasekmę. [A 7] Abu vyrai teigė, kad iš laiko skirtumo, kurį iliustruoja dvynių istorija, negalima prieštarauti sau. Kitaip tariant, nei Einšteinas, nei Langevinas nematė, kad dvynių istorija yra iššūkis reliatyvistinės fizikos nuoseklumui.

Apsvarstykite kosminį laivą, keliaujantį iš Žemės į artimiausią žvaigždžių sistemą: atstumą d = Už 4 šviesmečių, greičiu v = 0.8c (t. y. 80% šviesos greičio).

Manoma, kad laivas pasieks visą greitį per nereikšmingą laiką išplaukdamas (net jei iš tikrųjų pagreitėti maždaug 1 mėn. g kad įsibėgėtų). Panašu, kad išvykstančios kelionės pabaigoje manoma, kad krypties pakeitimas, reikalingas kelionei atgal, prasideda per nereikšmingą laiką. Tai taip pat galima modeliuoti darant prielaidą, kad eksperimento pradžioje laivas jau juda ir kad grįžimo įvykį modeliuoja Dirac deltos pasiskirstymo pagreitis. [16]

Šalys stebės padėtį taip: [17] [18]

Žemės perspektyva Redaguoti

Žemės misija kontroliuoja kelionę tokiu būdu: kelionė pirmyn ir atgal t = 2d/v = 10 metų Žemės laiku (t.y. visi Žemėje bus 10 metų vyresni, kai laivas grįš). Laivo laikrodžiuose matuojamas laikas ir keliautojų senėjimas jų kelionės metu sumažės koeficientu ε = 1 - v 2 / c 2 < displaystyle varepsilon = scriptstyle < sqrt <1-v ^ <2> / c ^ <2> >>>, Lorenco faktoriaus abipusis skaičius (laiko išsiplėtimas). Tokiu atveju ε = 0,6, o grįžę keliautojai bus tik 0,6 × 10 = 6 metų amžiaus.

Keliautojų perspektyva Redaguoti

Laivo įgulos nariai taip pat apskaičiuoja savo kelionės duomenis iš savo perspektyvos. Jie žino, kad tolima žvaigždžių sistema ir Žemė juda laivo atžvilgiu dideliu greičiu v kelionės metu. Jų poilsio rėmelyje atstumas tarp Žemės ir žvaigždžių sistemos yra εd = 0,6 × 4 = 2,4 šviesmečio (ilgio susitraukimas) kelionėms į abi puses ir atgal. Kiekviena kelionės pusė užtrunka εd / v = 2,4 / 0,8 = 3 metai, o kelionė pirmyn ir atgal trunka dvigubai ilgiau (6 metai). Jų skaičiavimai rodo, kad jie grįš namo būdami 6 metų amžiaus. Keliautojų galutinis senėjimo apskaičiavimas visiškai sutampa su Žemėje gyvenančiųjų skaičiavimais, nors kelionę jie išgyvena visai kitaip nei tie, kurie lieka namuose.

Išvada Redaguoti

Žemės ir kosminio laivo laikrodžių rodmenys
Įvykis Žemė
(metai)
Erdvėlaivis
(metai)
Išvykimas 0 0
Išvykstančios kelionės pabaiga =
Vykstančios kelionės pradžia
5 3
Atvykimas 10 6

Nesvarbu, kokį metodą jie naudoja numatydami laikrodžio rodmenis, visi dėl jų sutiks. Jei laivo išplaukimo dieną gims dvyniai, o vienas išvyks į kelionę, o kitas pasiliks Žemėje, jie vėl susitiks, kai keliautojui bus 6 metai, o dvyniui namuose - 10 metų.

Paradoksalus dvynių padėties aspektas kyla dėl to, kad bet kuriuo momentu keliaujančio dvynio laikrodis lėtai eina į žemę nukreipto dvynio inerciniame rėme, tačiau remiantis reliatyvumo principu galima lygiai taip pat teigti, kad žemės dvynuko laikrodis veikia lėtai keliaujančio dvynio inercinis rėmas. [19] [20] [21] Viena siūloma rezoliucija yra pagrįsta tuo, kad žemės dvynis visos kelionės metu ilsisi tame pačiame inerciniame rėmelyje, o keliaujantis dvynis - ne: paprasčiausiame minties eksperimento variante, keliaujantis dvynis kelionės viduryje persijungia iš ramybės būsenos inerciniame rėme, kuris juda viena kryptimi (nuo Žemės), į ramybės būseną inerciniame rėme, kuris juda priešinga kryptimi (Žemės link). Šiuo požiūriu labai svarbu nustatyti, kuris stebėtojas perjungia rėmelius, o kuris ne. Nors abu dvyniai teisėtai gali teigti, kad jie ilsisi savo pačių rėmuose, įjungus kosminio laivo variklius pagreitį patiria tik keliaujantis dvynis. Šis pagreitis, matuojamas akselerometru, jo poilsio rėmą laikinai paverčia neinerciniu. Tai atskleidžia esminę dvynių perspektyvų asimetriją: nors senėjimo skirtumą galime numatyti iš abiejų perspektyvų, teisingiems rezultatams gauti turime naudoti skirtingus metodus.

Pagreičio vaidmuo Redaguoti

Nors kai kurie sprendimai lemiamą vaidmenį skiria keliaujančio dvynio pagreičiui apsisukimo metu, [19] [20] [21] [22] kiti pažymi, kad efektas taip pat atsiranda, jei įsivaizduojate du atskirus keliautojus, vienas į išorę. einantis ir vienas į vidų ateinantis, kuris praeina vienas kitą ir sinchronizuoja savo laikrodžius toje vietoje, kuri atitinka vieno keliautojo „apsisukimą“. Šioje versijoje fizinis kelioninio laikrodžio pagreitis neturi jokio tiesioginio vaidmens [23] [24] [16] „klausimas yra tai, kiek laiko yra pasaulio linijos, o ne kaip sulenkta“. [25] Čia nurodytas ilgis yra Lorentzo invariantinis trajektorijos ilgis arba „tinkamas laiko intervalas“, kuris atitinka praeitą laiką, išmatuotą laikrodžiu, einančiu pagal tą trajektoriją (žr. Skyrių Praėjusio laiko skirtumas dėl dvynių skirtumų. 'erdvėlaikio keliai žemiau). Minkowskio erdvėlaikyje keliaujantis dvynis turi pajusti skirtingą pagreičių istoriją nei žemės dvynis, net jei tai tik reiškia to paties dydžio pagreičius, atskirtus skirtingais laiko tarpais [25], tačiau „net ir šį pagreičio vaidmenį galima pašalinti dvynių paradokso formuluotės kreivame erdvėlaikyje, kur dvyniai gali laisvai kristi erdvės – laiko geodezijoje tarp susitikimų “. [6]

Vienalaikiškumo reliatyvumas Redaguoti

Akimirkai suprantant, kaip klostosi laiko skirtumas tarp dvynių, reikia suprasti, kad ypatingame reliatyvume nėra sąvokos absoliuti dabartis. Skirtingiems inerciniams kadrams yra skirtingi įvykių rinkiniai, kurie tuo pačiu metu yra vienu metu. Šis vienalaikiškumo reliatyvumas reiškia, kad norint perjungti iš vieno inercinio rėmo į kitą reikia koreguoti, kokia dalis erdvėlaikyje laikoma „dabartimi“. Dešinėje esančioje erdvėlaikio diagramoje, sudarytoje Žemės dvynio atskaitos rėmui, to dvynio pasaulio linija sutampa su vertikalia ašimi (jo padėtis erdvėje yra pastovi, juda tik laike). Pirmoje kelionės atkarpoje antrasis dvynis juda į dešinę (juoda nuožulni linija), o antroje - atgal į kairę. Mėlynos linijos rodo vienalaikiškumo plokštumos keliaujančiam dvyniui per pirmąjį kelionės etapą raudonos linijos, antrojo etapo metu. Prieš pat apsisukimą keliaujantis dvynis apskaičiuoja dvynės amžių Žemėje, matuodamas intervalą išilgai vertikalios ašies nuo pradžios iki viršutinės mėlynos linijos. Tik apsisukęs, jei perskaičiuos, jis išmatuos intervalą nuo pradžios iki apatinės raudonos linijos. Tam tikra prasme, apsisukimo metu vienalaikiškumo plokštuma šokinėja nuo mėlynos iki raudonos ir labai greitai peršoka didelę Žemės dvynės pasaulinės linijos atkarpą. Kai žmogus pereina iš išeinančio inercinio rėmo į įeinantį inercinį rėmą, Žemės dvynio amžiuje atsiranda šuolio pertraukimas [19] [20] [24] [26] [27] (6,4 metų aukščiau pateiktame pavyzdyje). .

Kaip minėta pirmiau, „paradinės dvipusės išeities ir atgal“ nuotykis gali apimti laikrodžio rodmenų perkėlimą iš „išeinančio“ astronauto į „įeinantį“ astronautą, taip visiškai pašalinant pagreičio poveikį. Be to, remiantis vadinamuoju „laikrodžio postulatu“, fizinis laikrodžių pagreitis neprisideda prie specialaus reliatyvumo kinematinių efektų. Atvirkščiai, laiko skirtumas tarp dviejų susivienijusių laikrodžių susidaro vienodai inerciniu judesiu, kaip aptarta originaliame Einšteino 1905 m. Reliatyvumo dokumente [23], taip pat visuose vėlesniuose kinematiniuose Lorentzo transformacijų dariniuose.

Kadangi erdvėlaikio diagramose yra Einšteino laikrodžio sinchronizacija (su jos laikrodžių gardelių metodika), bus reikalingas Žemės laikrodžio laiko skaitymo šuolis, kurį atliks „staiga grįžęs astronautas“, paveldintis „naują vienalaikiškumo prasmę“, laikantis naują laikrodžio sinchronizavimą, kurį diktuoja perkėlimas į kitą inercinį rėmą, kaip paaiškino erdvės laiko fizikoje John A. Wheeler. [26]

Jei užuot įtraukę Einšteino laikrodžio sinchronizavimą (laikrodžių gardelę), astronautas (išeinantis ir gaunamas) ir Žemėje įsikūrusi šalis reguliariai informuoja vieni kitus apie savo laikrodžių būseną, siunčiant radijo signalus (kurie sklinda šviesos greičiu). , tada visos šalys pastebės laipsnišką asimetrijos kaupimąsi laikant, pradedant nuo „apsisukimo“ taško. Prieš „apsisukimą“ kiekviena šalis mano, kad kitos šalies laikrodis laiką fiksuoja skirtingai nei jo paties, tačiau pastebimas skirtumas yra simetriškas tarp abiejų šalių. Po „apsisukimo“ pastebėti skirtumai nėra simetriški, o asimetrija auga palaipsniui, kol abi šalys susivienys. Pagaliau susivienijus, ši asimetrija matoma tikrame skirtume, rodomame ant dviejų sujungtų laikrodžių. [28]

Visus procesus - cheminius, biologinius, matavimo aparatų veikimą, žmogaus suvokimą, susijusį su akimi ir smegenimis, jėgos bendravimą - riboja šviesos greitis. Laikrodis veikia kiekviename lygyje, priklausomai nuo šviesos greičio ir būdingo vėlavimo net atominiame lygyje. Todėl biologinis senėjimas niekuo nesiskiria nuo laikrodžio laikymo. [29] Tai reiškia, kad biologinis senėjimas sulėtėtų taip pat, kaip ir laikrodis.

Atsižvelgiant į vienalaikiškumo priklausomybę nuo įvykių skirtingose ​​kosmoso vietose, kai kurie gydymo metodai teikia pirmenybę fenomenologiškesniam požiūriui, apibūdinantį tai, ką dvyniai stebėtų, jei kiekvienas išsiųs eilę reguliarių radijo impulsų, vienodai išdėstytų laike pagal spinduolio laikrodis. [24] Tai tolygu klausimui, ką kiekvienas mato savo ekranuose, jei kiekvienas dvynys vienas kitam siuntė savo vaizdo įrašą? Arba, jei kiekvienas dvynys visada nešiodavosi laikrodį, nurodantį jo amžių, kokį laiką kiekvienas matytų savo tolimo dvynio ir laikrodžio atvaizde?

Netrukus po išvykimo dvyniai, keliaujantys, nedelsdami pamato dvynį namuose. Atvykus į laivo ekrano vaizdą matyti dvynis likęs toks, koks jis buvo praėjus metams po paleidimo, nes praėjus vieneriems metams po paleidimo iš Žemės skleidžiamas radijas po 4 metų patenka į kitą žvaigždę ir ten susitinka su laivu. Per šį kelionės etapą keliaujantis dvynis mato savo laikrodį 3 metus, o laikrodis ekrane - 1 metus, taigi atrodo, kad jis žengia 1⁄3 įprasto greičio, tik 20 vaizdo sekundžių per laivo minutę. This combines the effects of time dilation due to motion (by factor ε=0.6, five years on Earth are 3 years on ship) and the effect of increasing light-time-delay (which grows from 0 to 4 years).

Then the ship turns back toward home. The clock of the staying twin shows "1 year after launch" in the screen of the ship, and during the 3 years of the trip back it increases up to "10 years after launch", so the clock in the screen seems to be advancing 3 times faster than usual.

When the source is moving towards the observer, the observed frequency is higher ("blue-shifted") and given by

Tai yra fobs = 3frest dėl v/c = 0.8.

As for the screen on Earth, it shows that trip back beginning 9 years after launch, and the traveling clock in the screen shows that 3 years have passed on the ship. One year later, the ship is back home and the clock shows 6 years. So, during the trip back, tiek twins see their sibling's clock going 3 times faster than their own. Factoring out the fact that the light-time-delay is decreasing by 0.8 seconds every second, each twin calculates that the other twin is aging at 60% his own aging speed.

The xt (space–time) diagrams at left show the paths of light signals traveling between Earth and ship (1st diagram) and between ship and Earth (2nd diagram). These signals carry the images of each twin and his age-clock to the other twin. The vertical black line is the Earth's path through spacetime and the other two sides of the triangle show the ship's path through spacetime (as in the Minkowski diagram above). As far as the sender is concerned, he transmits these at equal intervals (say, once an hour) according to his own clock but according to the clock of the twin receiving these signals, they are not being received at equal intervals.

After the ship has reached its cruising speed of 0.8c, each twin would see 1 second pass in the received image of the other twin for every 3 seconds of his own time. That is, each would see the image of the other's clock going slow, not just slow by the ε factor 0.6, but even slower because light-time-delay is increasing 0.8 seconds per second. This is shown in the figures by red light paths. At some point, the images received by each twin change so that each would see 3 seconds pass in the image for every second of his own time. That is, the received signal has been increased in frequency by the Doppler shift. These high frequency images are shown in the figures by blue light paths.

The asymmetry in the Doppler shifted images Edit

The asymmetry between the Earth and the space ship is manifested in this diagram by the fact that more blue-shifted (fast aging) images are received by the ship. Put another way, the space ship sees the image change from a red-shift (slower aging of the image) to a blue-shift (faster aging of the image) at the midpoint of its trip (at the turnaround, 3 years after departure) the Earth sees the image of the ship change from red-shift to blue shift after 9 years (almost at the end of the period that the ship is absent). In the next section, one will see another asymmetry in the images: the Earth twin sees the ship twin age by the same amount in the red and blue shifted images the ship twin sees the Earth twin age by different amounts in the red and blue shifted images.

The twin on the ship sees low frequency (red) images for 3 years. During that time, he would see the Earth twin in the image grow older by 3/3 = 1 years . He then sees high frequency (blue) images during the back trip of 3 years. During that time, he would see the Earth twin in the image grow older by 3 × 3 = 9 years. When the journey is finished, the image of the Earth twin has aged by 1 + 9 = 10 years.

The Earth twin sees 9 years of slow (red) images of the ship twin, during which the ship twin ages (in the image) by 9/3 = 3 years. He then sees fast (blue) images for the remaining 1 year until the ship returns. In the fast images, the ship twin ages by 1 × 3 = 3 years. The total aging of the ship twin in the images received by Earth is 3 + 3 = 6 years , so the ship twin returns younger (6 years as opposed to 10 years on Earth).

The distinction between what they see and what they calculate Edit

To avoid confusion, note the distinction between what each twin sees and what each would calculate. Each sees an image of his twin which he knows originated at a previous time and which he knows is Doppler shifted. He does not take the elapsed time in the image as the age of his twin now.

  • If he wants to calculate when his twin was the age shown in the image (t.y. how old he himself was then), he has to determine how far away his twin was when the signal was emitted—in other words, he has to consider simultaneity for a distant event.
  • If he wants to calculate how fast his twin was aging when the image was transmitted, he adjusts for the Doppler shift. For example, when he receives high frequency images (showing his twin aging rapidly) with frequency f r e s t ( 1 + v / c ) / ( 1 − v / c ) > ight)/left(<1-v/c> ight)>>>> , he does not conclude that the twin was aging that rapidly when the image was generated, any more than he concludes that the siren of an ambulance is emitting the frequency he hears. He knows that the Doppler effect has increased the image frequency by the factor 1 / (1 − v/c). Therefore, he calculates that his twin was aging at the rate of

when the image was emitted. A similar calculation reveals that his twin was aging at the same reduced rate of εfrest in all low frequency images.

Simultaneity in the Doppler shift calculation Edit

It may be difficult to see where simultaneity came into the Doppler shift calculation, and indeed the calculation is often preferred because one does not have to worry about simultaneity. As seen above, the ship twin can convert his received Doppler-shifted rate to a slower rate of the clock of the distant clock for both red and blue images. If he ignores simultaneity, he might say his twin was aging at the reduced rate throughout the journey and therefore should be younger than he is. He is now back to square one, and has to take into account the change in his notion of simultaneity at the turnaround. The rate he can calculate for the image (corrected for Doppler effect) is the rate of the Earth twin's clock at the moment it was sent, not at the moment it was received. Since he receives an unequal number of red and blue shifted images, he should realize that the red and blue shifted emissions were not emitted over equal time periods for the Earth twin, and therefore he must account for simultaneity at a distance.

During the turnaround, the traveling twin is in an accelerated reference frame. According to the equivalence principle, the traveling twin may analyze the turnaround phase as if the stay-at-home twin were freely falling in a gravitational field and as if the traveling twin were stationary. A 1918 paper by Einstein presents a conceptual sketch of the idea. [A 8] From the viewpoint of the traveler, a calculation for each separate leg, ignoring the turnaround, leads to a result in which the Earth clocks age less than the traveler. For example, if the Earth clocks age 1 day less on each leg, the amount that the Earth clocks will lag behind amounts to 2 days. The physical description of what happens at turnaround has to produce a contrary effect of double that amount: 4 days' advancing of the Earth clocks. Then the traveler's clock will end up with a net 2-day delay on the Earth clocks, in agreement with calculations done in the frame of the stay-at-home twin.

The mechanism for the advancing of the stay-at-home twin's clock is gravitational time dilation. When an observer finds that inertially moving objects are being accelerated with respect to themselves, those objects are in a gravitational field insofar as relativity is concerned. For the traveling twin at turnaround, this gravitational field fills the universe. In a weak field approximation, clocks tick at a rate of t' = t (1 + Φ / c 2 ) where Φ is the difference in gravitational potential. In this case, Φ = gh kur g is the acceleration of the traveling observer during turnaround and h is the distance to the stay-at-home twin. The rocket is firing towards the stay-at-home twin, thereby placing that twin at a higher gravitational potential. Due to the large distance between the twins, the stay-at-home twin's clocks will appear to be sped up enough to account for the difference in proper times experienced by the twins. It is no accident that this speed-up is enough to account for the simultaneity shift described above. The general relativity solution for a static homogeneous gravitational field and the special relativity solution for finite acceleration produce identical results. [30]

Other calculations have been done for the traveling twin (or for any observer who sometimes accelerates), which do not involve the equivalence principle, and which do not involve any gravitational fields. Such calculations are based only on the special theory, not the general theory, of relativity. One approach calculates surfaces of simultaneity by considering light pulses, in accordance with Hermann Bondi's idea of the k-calculus. [31] A second approach calculates a straightforward but technically complicated integral to determine how the traveling twin measures the elapsed time on the stay-at-home clock. An outline of this second approach is given in a separate section below.

The following paragraph shows several things:

  • how to employ a precise mathematical approach in calculating the differences in the elapsed time
  • how to prove exactly the dependency of the elapsed time on the different paths taken through spacetime by the twins
  • how to quantify the differences in elapsed time
  • how to calculate proper time as a function (integral) of coordinate time

Let clock K. be associated with the "stay at home twin". Let clock K' be associated with the rocket that makes the trip. At the departure event both clocks are set to 0.

Phase 1: Rocket (with clock K' ) embarks with constant proper acceleration a during a time Ta as measured by clock K. until it reaches some velocity V. Phase 2: Rocket keeps coasting at velocity V during some time Tc according to clock K.. Phase 3: Rocket fires its engines in the opposite direction of K. during a time Ta according to clock K. until it is at rest with respect to clock K.. The constant proper acceleration has the value −a, in other words the rocket is decelerating. Phase 4: Rocket keeps firing its engines in the opposite direction of K., during the same time Ta according to clock K., until K' regains the same speed V with respect to K., but now towards K. (with velocity −V). Phase 5: Rocket keeps coasting towards K. at speed V during the same time Tc according to clock K.. Phase 6: Rocket again fires its engines in the direction of K., so it decelerates with a constant proper acceleration a during a time Ta, still according to clock K., until both clocks reunite.

Knowing that the clock K. remains inertial (stationary), the total accumulated proper time Δτ of clock K' will be given by the integral function of coordinate time Δt

kur v(t) is the coordinate velocity of clock K' as a function of t according to clock K., and, e.g. during phase 1, given by

This integral can be calculated for the 6 phases: [32]

kur a is the proper acceleration, felt by clock K' during the acceleration phase(s) and where the following relations hold between V, a ir Ta:

So the traveling clock K' will show an elapsed time of

which can be expressed as

whereas the stationary clock K. shows an elapsed time of

which is, for every possible value of a, Ta, Tc ir V, larger than the reading of clock K' :


A Space-Time Discontinuous Galerkin Spectral Element Method for Nonlinear Hyperbolic Problems

A space-time discontinuous Galerkin spectral element method is combined with two different approaches for treating problems with discontinuous solutions: (i) adding a space-time dependent artificial viscosity, and (ii) tracking the discontinuity with space-time spectral accuracy. A Picard iteration method is employed to solve nonlinear system of equations derived from the space-time DG spectral element discretization. Spectral accuracy in both space and time is demonstrated for the Burgers’ equation with a smooth solution. For tests with discontinuities, the present space-time method enables better accuracy at capturing the shock strength in the element containing shock when higher order polynomials in both space and time are used. The spectral accuracy of the shock speed and location is demonstrated for the solution of the inviscid Burgers’ equation obtained by the tracking method.

Preprint submitted to International Journal of Computational Methods December 21, 2017.