Astronomija

Keplerio dėsnis, židiniai - heliocentrinis ar baricentrinis?

Keplerio dėsnis, židiniai - heliocentrinis ar baricentrinis?


We are searching data for your request:

Forums and discussions:
Manuals and reference books:
Data from registers:
Wait the end of the search in all databases.
Upon completion, a link will appear to access the found materials.

Yra žinoma, kad visa Saulės sistemos masė juda aplink Barijocentrą.

Dviems Keplerio dėsnio centrams; yra pirmasis židinio taškas $ F_1 $ heliocentras? O gal tai iš tikrųjų barijotas?

Jei $ F_1 $ yra heliocentras, ar galima išlaikyti tą patį tikslią elipsę ir orbitos ekscentriką koreguojant antrąjį židinio tašką $ F_2 $ ir paimdamas Barycenterą kaip $ F_1 $ vietoj Heliocentro?


Planetos orbitos paprastai apibūdinamos kaip heliocentrinės, tačiau jas galima apibūdinti baricentriniu požiūriu. „JPL Horizons“ (https://ssd.jpl.nasa.gov/horizons.cgi) numato abi galimybes.


Priklauso!

Jei mes nubrėžtume savo Saulės sistemos vidinių planetų orbitas, jie būtų arčiau elipsių, o Saulė būtų viename židinyje.

Jei mes suplanuotume Jupiterio, didžiausios Saulės sistemos „gravitacinės patyčios“ (ji su viskuo susipainiojo!), Orbitą, ji būtų arčiau elipsės su Saulės-Jupiterio orbita. baricentras vienu dėmesiu.

Ten pasidaro šiek tiek komplikuota, nes kitos trys planetos (Saturnas, Uranas ir Neptūnas) taip pat labai stumia Saulę. Galėtume manyti, kad lengvasis Neptūnas nepadarytų daug, tačiau didesnis atstumas šiek tiek kompensuoja jo mažesnę masę, nes masės centras yra įvertinamas atstumu * masės produktu.


Keplerio dėsnis, židiniai - heliocentrinis ar baricentrinis? - Astronomija

    Ptolmeiko (geocentrinis arba į Žemę orientuotas) Saulės sistemos modelis

    (1571 m. Ir ndashas 1630 m.) - matematikas ir astronomas, gyvenęs vienoje iš mažų šiaurinių Šventosios Romos imperijos kunigaikštystės. Jis dirbo su Tycho Brahe, norėdamas suprasti planetų ir žvaigždžių judėjimą danguje. Mes jį pirmiausia prisimename dėl trijų planetos judėjimo dėsnių (išsami informacija, su diagramomis):

Planeta P laikotarpis Orbitos spindulys R P 2 / R 3
(metai) (A.U.) (2 m. / A.U. 3)
Merkurijus 0.241 0.39 0.98
Venera 0.615 0.72 1.01
Žemė 1.00 1.00 1.00
Marsas 1.88 1.52 1.01
Jupiteris 11.8 5.20 0.99
Saturnas 29.5 9.54 1.00
Uranas 84.0 19.18 1.00
Neptūnas 165 30.06 1.00
Plutonas 248 39.44 1.00

Kai planuojame planetos spindulius pagal jų periodus, matome, kad jie krinta tiesia linija. Jei žinome, kaip toli planeta yra nuo Saulės, galime nustatyti jos metų trukmę. Panašiai, jei žinome, per kiek laiko planeta skrieja aplink Saulę, galime nustatyti jos orbitos spindulį.


Matematinis aprašymas

Pirmasis įstatymas

Pirmasis dėsnis sako: „Kiekvienos planetos orbita yra elipsė su saule viename iš židinių“.

Elipsės matematika yra tokia.

kur (r,& teta) yra heliocentrinės planetos koordinatės, p yra pusiau latus tiesiosios žarnosir & epsilon yra ekscentriškumas, kuris yra didesnis arba lygus nuliui ir mažesnis nei vienas.

Dėl & teta= 0 planeta yra perihelis mažiausiu atstumu:

dėl & teta= 90 ir laipsniai: r=p, ir už & teta= 180 & laipsnių planeta yra ties afelis maksimaliu atstumu:

Pusiau pagrindinė ašis yra aritmetinis vidurkis tarp rmin ir rmaks:

Pusiau mažesnė ašis yra geometrinis vidurkis tarp rmin ir rmaks:

ir tai yra geometrinis vidurkis tarp pusiau didelės ašies ir pusiau latuso tiesiosios žarnos:

Antrasis dėsnis

Antrasis dėsnis: „Linija, jungianti planetą ir saulę, vienodais laiko tarpais iššluoja lygias sritis“.

Tai dar vadinama lygių sričių dėsniu. Tai yra tiesioginė kampinio impulso išsaugojimo dėsnio pasekmė, žr. Darinį žemiau.

Tarkime, kad planetai reikia vienos dienos, kad ji keliautų iš taško A į B. Linijos nuo Saulės iki A ir Bkartu su planetos orbita apibrėžs (maždaug trikampę) sritį. Tas pats ploto kiekis susidarys kiekvieną dieną, nepaisant to, kur jos orbitoje yra planeta. Tai reiškia, kad planeta juda greičiau, kai yra arčiau saulės.

Taip yra todėl, kad saulės gravitacija pagreitina planetą krintant link saulės ir lėtėja ją grįžtant atgal, tačiau Kepleris nežinojo šios priežasties.

Du įstatymai leido Kepleriui apskaičiuoti padėtį (r,& teta), atsižvelgiant į laiką nuo perihelio, tir orbitos periodas, P. Skaičiavimas atliekamas keturiais etapais.

1. Apskaičiuokite reiškia anomaliją M iš formulės 2. Apskaičiuokite ekscentrinė anomalija E sprendžiant skaitmeniškai Keplerio lygtis: 3. Apskaičiuokite tikroji anomalija & teta pagal lygtį: 4. Apskaičiuokite heliocentrinis atstumas r iš pirmojo įstatymo:

Šios procedūros įrodymas parodytas žemiau.

Trečiasis įstatymas

Trečiasis dėsnis: „Planetų orbitinių periodų kvadratai yra tiesiogiai proporcingi orbitų pusiau pagrindinės ašies kubams“. Taigi orbitos ilgis didėja ne tik atstumu, bet ir orbitos greitis mažėja, todėl orbitos periodo padidėjimas yra daugiau nei proporcingas.

= planetos orbitos periodas = pusiau didelė orbitos ašis

Taigi išraiška P 2 & middota & ndash3 turi tą pačią vertę visoms Saulės sistemos planetoms, kaip ir Žemei. Kai pasirenkami tam tikri vienetai, būtent P yra matuojamas šalutiniais metais ir a astronominiais vienetais, P 2 & middota & ndash3 reikšmė yra 1 visoms Saulės sistemos planetoms.

SI vienetais: .

Įstatymas, kai jis taikomas žiedinėms orbitoms, kuriose pagreitis yra proporcingas a& middotP & minus2 rodo, kad pagreitis yra proporcingas a& middota & minus3 = a & minus2, pagal Niutono gravitacijos dėsnį.

Bendroji lygtis, kurios Kepleris nežinojo, yra

kur yra gravitacinė konstanta, yra saulės masė ir yra planetos masė. Pastarasis atsiranda lygtyje, nes judėjimo lygtis apima sumažintą masę. Prisimink tai P yra orbitos laikas ir P/ 2 & pi yra laikas vienam radianui.

Žiūrėkite faktinius skaičius: pagrindinių planetų atributus.

Šis įstatymas taip pat žinomas kaip harmoninė teisė.

Pozicija kaip laiko funkcija

Keplerio problema prisiima elipsinę orbitą ir keturis taškus:

  • s saulė (viename elipsės židinyje)
  • z perihelis
  • c elipsės centras
  • p planeta

atstumas nuo centro iki perihelio, semimajor ašis, ekscentriškumas, semimino ašis, atstumas nuo saulės iki planetos.

planeta, žiūrint iš saulės, tikroji anomalija.

Problema yra apskaičiuoti polines koordinates (r,& nu) planetos iš laiko nuo perihelio, t.

Tai sprendžiama etapais. Kepleris pradėjo pridedant pagalbinį orbitos apskritimą (kurio pagrindinė ašis yra skersmuo) ir apibrėžė šiuos taškus:

  • x yra planetos projekcija į pagalbinį apskritimą, tada plotą
  • y yra taškas ant pagalbinio apskritimo toks, kad plotas

, y žiūrint iš centro, reiškia anomaliją.

Žiedinio sektoriaus sritis , ir plotas nuo perihelio,

,

yra antrasis Keplerio įstatymas, proporcingas laikui nuo perihelio. Taigi vidutinė anomalija, M, yra proporcingas laikui nuo perihelio, t.

kur T yra orbitinis periodas.

Vidutinė anomalija M pirmiausia apskaičiuojamas. Tikslas yra apskaičiuoti tikrąją anomaliją & nu. Funkcija & nu=f(M), tačiau nėra elementaru. Keplerio sprendimas yra naudoti

, x žiūrint iš centro, ekscentrinė anomalija

kaip tarpinį kintamąjį, ir pirmiausia apskaičiuokite E kaip funkcija M išsprendę žemiau esančią Keplerio lygtį, tada apskaičiuokite tikrąją anomaliją & nu nuo ekscentrinės anomalijos E. Čia yra išsami informacija.

Skirstymas pagal a& sup2 / 2 duoda Keplerio lygtis

.

Svarbiausia yra tai, kad Keplerio lygties negalima pertvarkyti, kad būtų izoliuota E. Funkcija E=f(M) nėra elementari formulė. Keplerio lygtis yra išspręsta arba iteratyviai pagal šaknų paieškos algoritmą, arba, kaip išvesta straipsnyje apie ekscentrinę anomaliją, begaline serija

Planetoms (išskyrus Plutoną) būdingas mažasis & epsilonas, tokios serijos yra gana tikslios, tik keliais terminais.

Apskaičiavęs ekscentrinę anomaliją E iš Keplerio lygties kitas žingsnis yra tikrosios anomalijos apskaičiavimas & nu nuo ekscentrinės anomalijos E.

Iš problemos geometrijos atkreipkite dėmesį, kad

Skirstymas iš a ir įterpiant iš pirmojo Keplerio dėsnio

Rezultatas yra naudingas santykis tarp ekscentrinės anomalijos E ir tikroji anomalija & nu.

Skaičiavimo požiūriu patogesnė forma pateikiama pakeičiant trigonometrinę tapatybę:

Padauginus iš (1 + & epsilon) / (1 & minus & epsilon) ir paėmus kvadratinę šaknį, gaunamas rezultatas

Dabar atlikome trečiąjį laiko ir padėties orbitoje ryšio žingsnį.

Galima būtų sukurti net kompiuterinę seriją & nu tiesiogiai iš M.

Ketvirtas žingsnis yra heliocentrinio atstumo apskaičiavimas r nuo tikrosios anomalijos & nu pagal pirmąjį Keplerio įstatymą:


Palyginimas su Koperniku

Keplerio įstatymai pagerina Koperniko modelį. Jei planetų orbitų ekscentriškumai buvo lygūs nuliui, tada Kepleris iš esmės sutinka su Koperniku:

  1. Planetos orbita yra apskritimas
  2. Saulė orbitos centre
  3. Planetos greitis orbitoje yra pastovus
  4. Šalutinio laikotarpio kvadratas yra proporcingas atstumo nuo Saulės kubui.

Kopernikui ir Kepleriui žinomos planetų orbitos ekscentriškumai yra nedideli, todėl aukščiau pateiktos taisyklės suteikia gerą planetų judėjimo apytikslę vertę, tačiau Keplerio dėsniai dar geriau tinka stebėjimams.

Keplerio pataisymai visiškai nėra akivaizdūs:

  1. Planetos orbita yra ne apskritimas, bet an elipsė
  2. Saulė yra ne centre, bet a židinio taškas elipsės formos orbitos
  3. Nei linijinis greitis, nei planetos orbitoje greitis nėra pastovus, bet ploto greitis yra pastovus.
  4. Šalutinio laikotarpio kvadratas yra proporcingas kubui vidutinis tarp didžiausio ir mažiausio atstumai nuo Saulės.

Dėl nulio nulinės žemės orbitos ekscentriškumo laikas nuo kovo lygiadienio iki rugsėjo lygiadienio, maždaug 186 dienos, yra nevienodas laikotarpiui nuo rugsėjo lygiadienio iki kovo lygiadienio, maždaug 179 dienos. Skersmuo orbitą supjaustytų lygiomis dalimis, tačiau plokštuma, einanti per saulę, lygiagreti žemės pusiaujui, orbitą perpjauna į dvi dalis, kurių plotai yra 186–179, taigi Žemės orbitos ekscentriškumas yra maždaug

varepsilon approx frac pi 4 frac <186-179> <186 + 179> maždaug 0,015,

kuris yra artimas teisingai vertei (0,016710219). (Žr. Žemės orbitą). Skaičiavimas teisingas, kai perihelis, data, kai Žemė yra arčiausiai Saulės, yra saulėgrįžoje. Dabartinis perihelis, netoli sausio 4 d., Yra gana arti saulėgrįžos gruodžio 21 ar 22 d.


Palyginimas su Koperniku

Keplerio įstatymai patobulino Koperniko modelį. Jei planetų orbitų ekscentriškumai laikomi nuliu, tada Kepleris iš esmės sutiko su Koperniku:

  1. Planetos orbita yra apskritimas
  2. Saulė yra orbitos centre
  3. Planetos greitis orbitoje yra pastovus

Tų planetų, kurios žinomos Kopernikui ir Kepleriui, orbitų ekscentriškumai yra nedideli, todėl pirmiau pateiktos taisyklės pateikia teisingą planetų judėjimo aproksimaciją, tačiau Keplerio dėsniai geriau atitinka stebėjimus nei Koperniko pasiūlytas modelis.

„Kepler & # 8217s“ pataisymai visiškai nėra akivaizdūs:

  1. Planetos orbita yra ne apskritimas, bet an elipsė.
  2. Saulė yra ne centre, bet a židinio taškas elipsės formos orbitos.
  3. Nei linijinis greitis, nei planetos orbitoje greitis nėra pastovus, bet ploto greitis yra pastovus.

Dėl Žemės orbitos ekscentriškumo laikas nuo kovo lygiadienio iki rugsėjo lygiadienio, maždaug 186 dienos, yra nevienodas nuo laiko nuo rugsėjo lygiadienio iki kovo lygiadienio, maždaug 179 dienos. Skersmuo orbitą supjaustytų lygiomis dalimis, tačiau plokštuma, einanti per Saulę, lygiagreti Žemės pusiaujui, orbitą perpjauna į dvi dalis, kurių plotai yra 186–179, taigi Žemės orbitos ekscentriškumas yra maždaug

kuri yra artima teisingai vertei (0,016710219) (žr. Žemė ir orbitą # 8217s). Skaičiavimas yra teisingas, kai perihelis, data, kada Žemė yra arčiausiai Saulės, patenka į saulėgrįžą. Dabartinis perihelis, netoli sausio 3 d., Yra gana arti gruodžio 21 ar 22 dienos saulėgrįžos.


Matematinis aprašymas

Pirmasis įstatymas

Pirmasis dėsnis sako: „Kiekvienos planetos orbita yra elipsė su saule viename iš židinių“.

Elipsės matematika yra tokia.

kur (r,& teta) yra heliocentrinės planetos koordinatės, p yra pusiau latus tiesiosios žarnosir & epsilon yra ekscentriškumas, kuris yra didesnis arba lygus nuliui ir mažesnis nei vienas.

Dėl & teta= 0 planeta yra perihelis mažiausiu atstumu:

dėl & teta= 90 ir laipsniai: r=p, ir už & teta= 180 & laipsnių planeta yra ties afelis maksimaliu atstumu:

Pusiau pagrindinė ašis yra aritmetinis vidurkis tarp rmin ir rmaks:

Pusiau mažesnė ašis yra geometrinis vidurkis tarp rmin ir rmaks:

ir tai yra geometrinis vidurkis tarp pusiau didelės ašies ir pusiau latuso tiesiosios žarnos:

Antrasis dėsnis

Antrasis dėsnis: „Linija, jungianti planetą ir saulę, vienodais laiko tarpais iššluoja lygias sritis“.

Tai dar vadinama lygių sričių dėsniu. Tai yra tiesioginė kampinio impulso išsaugojimo dėsnio pasekmė, žr. Darinį žemiau.

Tarkime, kad planetai reikia vienos dienos, kad ji keliautų iš taško A į B. Linijos nuo Saulės iki A ir Bkartu su planetos orbita apibrėžs (maždaug trikampę) sritį. Tas pats ploto kiekis susidarys kiekvieną dieną, nepaisant to, kur jos orbitoje yra planeta. Tai reiškia, kad planeta juda greičiau, kai yra arčiau saulės.

Taip yra todėl, kad saulės gravitacija pagreitina planetą krintant link saulės ir lėtėja ją grįžtant atgal, tačiau Kepleris nežinojo šios priežasties.

Du įstatymai leido Kepleriui apskaičiuoti padėtį (r,& teta), atsižvelgiant į laiką nuo perihelio, tir orbitos periodas, P. Skaičiavimas atliekamas keturiais etapais.

1. Apskaičiuokite reiškia anomaliją M iš formulės 2. Apskaičiuokite ekscentrinė anomalija E sprendžiant skaitmeniškai Keplerio lygtis: 3. Apskaičiuokite tikroji anomalija & teta pagal lygtį: 4. Apskaičiuokite heliocentrinis atstumas r iš pirmojo įstatymo:

Šios procedūros įrodymas parodytas žemiau.

Trečiasis įstatymas

Trečiasis dėsnis: „Planetų orbitinių periodų kvadratai yra tiesiogiai proporcingi orbitų pusiau pagrindinės ašies kubams“. Taigi orbitos ilgis didėja ne tik atstumu, bet ir orbitos greitis mažėja, todėl orbitos periodo padidėjimas yra daugiau nei proporcingas.

= planetos orbitos periodas = pusiau didelė orbitos ašis

Taigi išraiška P 2 & middota & ndash3 turi tą pačią vertę visoms Saulės sistemos planetoms, kaip ir Žemei. Kai pasirenkami tam tikri vienetai, būtent P yra matuojamas šalutiniais metais ir a astronominiais vienetais, P 2 & middota & ndash3 reikšmė yra 1 visoms Saulės sistemos planetoms.

SI vienetais: .

Įstatymas, kai jis taikomas žiedinėms orbitoms, kuriose pagreitis yra proporcingas a& middotP & minus2 rodo, kad pagreitis yra proporcingas a& middota & minus3 = a & minus2, pagal Niutono gravitacijos dėsnį.

Bendroji lygtis, kurios Kepleris nežinojo, yra

kur yra gravitacinė konstanta, yra saulės masė ir yra planetos masė. Pastarasis atsiranda lygtyje, nes judėjimo lygtis apima sumažintą masę. Prisimink tai P yra orbitos laikas ir P/ 2 & pi yra laikas vienam radianui.

Žiūrėkite faktinius skaičius: pagrindinių planetų atributus.

Šis įstatymas taip pat žinomas kaip harmoninė teisė.

Pozicija kaip laiko funkcija

Keplerio problema prisiima elipsinę orbitą ir keturis taškus:

  • s saulė (viename elipsės židinyje)
  • z perihelis
  • c elipsės centras
  • p planeta

atstumas nuo centro iki perihelio, semimajor ašis, ekscentriškumas, semimino ašis, atstumas nuo saulės iki planetos.

planeta, žiūrint iš saulės, tikroji anomalija.

Problema yra apskaičiuoti polines koordinates (r,& nu) planetos iš laiko nuo perihelio, t.

Tai sprendžiama etapais. Kepleris pradėjo pridedant pagalbinį orbitos apskritimą (kurio pagrindinė ašis yra skersmuo) ir apibrėžė šiuos taškus:

  • x yra planetos projekcija į pagalbinį apskritimą, tada plotą
  • y yra taškas ant pagalbinio apskritimo toks, kad plotas

, y žiūrint iš centro, reiškia anomaliją.

Žiedinio sektoriaus sritis , ir plotas nuo perihelio,

,

yra antrasis Keplerio įstatymas, proporcingas laikui nuo perihelio. Taigi vidutinė anomalija, M, yra proporcingas laikui nuo perihelio, t.

kur T yra orbitinis periodas.

Vidutinė anomalija M pirmiausia apskaičiuojamas. Tikslas yra apskaičiuoti tikrąją anomaliją & nu. Funkcija & nu=f(M), tačiau nėra elementaru. Keplerio sprendimas yra naudoti

, x žiūrint iš centro, ekscentrinė anomalija

kaip tarpinį kintamąjį, ir pirmiausia apskaičiuokite E kaip funkcija M išsprendę žemiau esančią Keplerio lygtį, tada apskaičiuokite tikrąją anomaliją & nu nuo ekscentrinės anomalijos E. Čia yra išsami informacija.

Skirstymas pagal a& sup2 / 2 duoda Keplerio lygtis

.

Svarbiausia yra tai, kad Keplerio lygties negalima pertvarkyti, kad būtų izoliuota E. Funkcija E=f(M) nėra elementari formulė. Keplerio lygtis yra išspręsta arba iteratyviai pagal šaknų paieškos algoritmą, arba, kaip išvesta straipsnyje apie ekscentrinę anomaliją, begaline serija

Planetoms (išskyrus Plutoną) būdingas mažasis & epsilonas, tokios serijos yra gana tikslios, tik keliais terminais.

Apskaičiavęs ekscentrinę anomaliją E iš Keplerio lygties kitas žingsnis yra tikrosios anomalijos apskaičiavimas & nu nuo ekscentrinės anomalijos E.

Iš problemos geometrijos atkreipkite dėmesį, kad

Skirstymas iš a ir įterpiant iš pirmojo Keplerio dėsnio

Rezultatas yra naudingas santykis tarp ekscentrinės anomalijos E ir tikroji anomalija & nu.

Skaičiavimo požiūriu patogesnė forma pateikiama pakeičiant trigonometrinę tapatybę:

Padauginus iš (1 + & epsilon) / (1 & minus & epsilon) ir paėmus kvadratinę šaknį, gaunamas rezultatas

Dabar atlikome trečiąjį laiko ir padėties orbitoje ryšio žingsnį.

Galima būtų sukurti net serijinį skaičiavimą & nu tiesiogiai iš M.

Ketvirtas žingsnis yra heliocentrinio atstumo apskaičiavimas r nuo tikrosios anomalijos & nu pagal pirmąjį Keplerio įstatymą:


Heliocentrinis ir geocentrinis

Aš perskaičiau straipsnį pavadinimu & # 8220Astronomija ir kosmologija: Visatos geocentriniai ir heliocentriniai modeliai & # 8221, kuris pasakoja apie heliocentrinių ir geocentrinių modelių istoriją ir teorijas. Geocentrinis ir heliocentrinis modeliai buvo sukurti prieš tūkstančius metų. Šiems modeliams įtakos turėjo graikai, babiloniečiai ir Nicolas Copernicus. Sužinojau, kad kai kurių graikų ir babiloniečių idėjos yra gerokai kitokios nei dabar. Viena iš idėjų, kuri tikrai atkreipė mano dėmesį, yra tai, kad babiloniečiai manė, jog kai kurios planetos yra dievai. Yra Thaleso iš Mileto (apie 624–546 m. ​​Pr. Kr.) Sukurta hipotezė, kad Žemė atrodo lyg plokščias ratas ant vandens, kuris buvo visatos židinys. Remdamasis savo hipoteze, jis manė, kad visata atsirado iš vandens. Idėja, kad Žemė buvo pagrindinis visatos taškas, remiasi geocentriniu modeliu. Tuo tarpu mintis, kad Saulė yra pagrindinis visatos taškas, remiasi heliocentriniu modeliu. Tada straipsnis tiesiog eina aptarti daugiau idėjų, kurios buvo sukurtos tais laikais. Maniau, kad šis straipsnis buvo labai geras, nes jame aptariamos kelios beprotiškos idėjos, kurios buvo sukurtos apie Visatą prieš tūkstančius metų. Tačiau aš taip pat džiaugiuosi tuo, kad dabar apie savo visatą žinome daug daugiau nei tada.


Suprasti Keplerio planetų judėjimo dėsnius

XVII amžiaus pradžioje vokiečių astronomas Johanesas Kepleris paskelbė tris planetos judėjimo dėsnius. Jo įstatymai buvo pagrįsti jo protėvių, ypač Nicolaus Copernicus ir Tycho Brahe, darbu. Kopernikas buvo pateikęs teoriją, kad planetos sukasi ratu aplink Saulę. Šios heliocentrinės teorijos pranašumas buvo daug paprastesnis nei ankstesnės teorijos, kuri teigė, kad planetos sukasi aplink Žemę. Tačiau Keplerio darbdavys Tycho padarė labai tikslius planetų stebėjimus ir nustatė, kad Koperniko teorija nebuvo visiškai teisinga paaiškinant planetų judesius. Tycho mirus 1601 m., Kepleris paveldėjo savo pastebėjimus. Po kelerių metų jis sukūrė savo tris įstatymus.

Planetos juda elipsės formos orbitomis.

Elipsė yra išlygintas apskritimas. Elipsės lygumo laipsnis matuojamas parametru, vadinamu ekscentriškumu. Elipsė, kurios ekscentriškumas yra 0, yra tik apskritimas. Didėjant ekscentriškumui link 1, elipsė tampa vis lygesnė. Pagrindinė Koperniko teorijos problema buvo ta, kad jis Marso planetos judėjimą apibūdino kaip apskritą orbitą. Tiesą sakant, Marsas turi vieną ekscentriškiausių bet kurios planetos orbitų, kurio ekscentriškumas yra 0,0935. (Žemės orbita yra gana apvali, jos ekscentriškumas yra tik 0,0167.) Kadangi planetos skrieja elipsėmis, tai reiškia, kad jos ne visada yra vienodu atstumu nuo Saulės, kaip būtų apskritos orbitos. Kadangi planetos atstumas nuo Saulės keičiasi judant savo orbitoje, tai veda prie ...

Savo orbitoje esanti planeta vienodais laikais iššluoja lygias sritis.

Apsvarstykite, pavyzdžiui, kokį atstumą planeta nuvažiuoja per mėnesį, per kurį ji yra arčiausiai Saulės ir toliausiai nuo jos. Diagramoje galima suformuoti apytiksliai trikampę formą, kurioje Saulė yra vienas trikampio taškas, o planeta - mėnesio pradžioje ir pabaigoje - kaip kiti du trikampio taškai. Kai planeta yra arti Saulės, dvi pusės, kurių viršūnė yra Saulė, bus trumpesnės už tas pačias trikampio puses, kai planeta yra toli nuo Saulės. Tačiau abi šios trikampės formos turės tą patį plotą. Tai atsitinka dėl kampinio impulso išsaugojimo. Kai planeta yra arčiau Saulės, ji juda greičiau nei tada, kai yra toliau nuo Saulės, todėl per tą patį laiką nuvažiuoja didesnį atstumą. Todėl trikampio, jungiančio abi planetos padėtis, kai ji yra arčiau Saulės, kraštas yra ilgesnis nei tada, kai planeta yra toliau nuo Saulės. Nepaisant to, kad atstumas iki Saulės yra mažesnis, tai, kad planeta savo orbitoje nuvažiuoja didesnį atstumą, reiškia, kad abu trikampiai yra vienodo ploto.

T 2 yra proporcingas a 3 .

Trečiasis dėsnis šiek tiek skiriasi nuo kitų dviejų tuo, kad tai yra matematinė formulė, T 2 yra proporcingas a 3, kuris susieja planetų atstumus nuo Saulės su jų orbitos periodais (laikas, kurio reikia vienai orbitai aplink Saulę padaryti). T yra planetos orbitinis periodas. Kintamasis a yra semimajor planetos orbitos ašis. Pagrindinė planetos orbitos ašis yra atstumas per ilgąją elipsės orbitos ašį. Pusiau didžiausia ašis yra pusė to. Kai susiduriate su mūsų saulės sistema, a paprastai išreiškiamas astronominiais vienetais (lygus pusiau didelei Žemės orbitos ašiai) ir T paprastai išreiškiamas metais. Žemei tai reiškia a 3 /T 2 yra lygus 1. Merkurijaus, artimiausios Saulei planetos, orbitos atstumas, a, yra lygus 0,387 astronominiam vienetui, o jo laikotarpis Tyra 88 dienos arba 0,241 metai. Dėl tos planetos a 3 /T 2 yra lygus 0,058 / 0,058 arba 1, tas pats, kas Žemė.

Pirmus du įstatymus Kepleris pasiūlė 1609 m., O trečią - 1619 m., Tačiau Isaacas Newtonas paaiškino tik 1680 m. kodėl planetos laikosi šių dėsnių. Niutonas parodė, kad Keplerio dėsniai buvo ir jo judesio, ir gravitacijos dėsnio pasekmė.


JOHANNES KEPLER

Minėtas Brahe'o padėjėjas buvo ne kas kitas, o Johanesas Kepleris (1571-1630). Nors Kepleris per savo gyvenimą buvo daug dalykų (astronomas, astrologas, matematikas, be kita ko), pažymėtina, kad jis turėjo dvi savybes, kurios pasirodė esančios kritiškos: 1) jis buvo niekas, jei nebuvo atkaklus, ir 2) neleido baisus jam trukdo tokios detalės kaip įstatymai.

Kepleris tikėjo galįs nustatyti „ tiesa “Apie išsamų visatos veikimą (t. Y. Saulės sistemą, vis dar neatskirtą nuo likusios visatos), jei tik jis galėtų pasinaudoti Brahe'o astronominių stebėjimų kolekcija. Kepleris dirbo su Brahe, tačiau Brahe sutrukdė Kepleriui laisvai susipažinti su jo darbu. Po netikėtos Brahe mirties Kepleris pavogė ko jam reikėjo (kas dabar teisėtai buvo Brahe'o įpėdinių nuosavybė). Tada „Kepler“ pasinaudojo šiais duomenimis, norėdamas susitvarkyti.

Kepleris dirbo Marso orbitoje. Tai užtruko pažodžiui metų analizę (Kepleris turėtų tikrai buvo naudinga turėti modernią skaičiuoklę), o po daugelio nesėkmingų bandymų Kepleris nustatė tikrąjį planetų (o kartu ir visų palydovų) judėjimo pobūdį. Jo pastangų rezultatai dabar žinomi kaip Keplerio įstatymai, kurių yra trys. Reikėtų pažymėti, kad šie įstatymai buvo grynai empirinistai yra, jie buvo gauti remiantis tik stebėjimu, o ne jokia pagrindine teorija. Pats Kepleris nė nenumanė kodėl šie įstatymai „veikia“.


Koks yra Keplerio judėjimo dėsnis

Astronomijoje Keplerio planetos judėjimo dėsniai yra trys moksliniai dėsniai, apibūdinantys planetų judėjimą aplink Saulę, kuriuos Johnas Kepleris paskelbė 1609–1619 m.. Jie patobulino Nicolaus Copernicus heliocentrinę teoriją, pakeisdami jos žiedines orbitas ir epiciklus elipsės trajektorijomis ir paaiškinant, kaip skiriasi planetos greičiai. [1] Įstatymai nurodo, kad:

1 paveikslas: Trijų Keplerio dėsnių su dviem planetų orbitomis iliustracija.

Orbitos yra elipsės, kurių židinio taškai yra pirmosios planetos F1 ir F2, o antrosios - F1 ir F3. Saulė dedama į židinio tašką F1.

Du užtušuoti sektoriai A1 ir A2 turi tą patį paviršiaus plotą, o laikas, kai 1 planeta padengia segmentą A1, yra lygus laiko ruožui A2 padengti.

Planetos orbita yra elipsė, kurioje Saulė yra viename iš dviejų židinių.

Linijos atkarpa, jungianti planetą ir Saulę, vienodais laiko intervalais iššluoja lygias sritis. [2]

Planetos orbitos periodo kvadratas yra tiesiogiai proporcingas pusiau pagrindinės jos orbitos ašies kubui.

Elipsės formos planetų orbitos buvo nurodytos skaičiuojant Marso orbitą. [3] Iš to Kepleris padarė išvadą, kad kiti Saulės sistemos kūnai, taip pat ir toliau nuo Saulės, taip pat turi elipsės formos orbitas. Antrasis dėsnis padeda nustatyti, kad kai planeta yra arčiau Saulės, ji keliauja greičiau. Trečiasis dėsnis išreiškia, kad kuo toliau planeta yra nuo Saulės, tuo ilgesnė jos orbita ir atvirkščiai.

Isaacas Newtonas 1687 m. Parodė, kad tokie santykiai, kaip Keplerio, Saulės sistemoje bus taikomi gerai, kaip jo paties judėjimo dėsnių ir visuotinės traukos dėsnių pasekmė.


Pozicija kaip laiko funkcija

Kepleris panaudojo du pirmuosius dėsnius, kad apskaičiuotų planetos padėtį kaip laiko funkciją. Jo metodas apima transcendentinės lygties, vadinamos Keplerio lygtimi, sprendimą.

Heliocentrinių polinių koordinačių skaičiavimo procedūra (r,θ) planetos kaip laiko funkcija t nuo perihelio, yra šie keturi žingsniai:

  1. Apskaičiuokite reiškia anomalijąM = nt kur n yra vidutinis judesys. [matematika] displaystyle [/ math] radianai kur P yra laikotarpis.
  2. Apskaičiuokite ekscentrinė anomalijaE sprendžiant Keplerio lygtį: [matematika] displaystyle [/ math]
  3. Apskaičiuokite tikroji anomalijaθ pagal lygtį: [matematika] displaystyle <(1 - varepsilon) tan ^ 2 frac < theta> <2> = (1 + varepsilon) tan ^ 2 frac<2>> [/ matematika]
  4. Apskaičiuokite heliocentrinis atstumas [matematika] displaystyle [/ matematika]

Dekarto greičio vektorių galima trivialiai apskaičiuoti kaip [math] displaystyle < mathbf= frac < sqrt < mu a >> left langle - sin, sqrt <1- varepsilon ^ 2> cos right rangle> [/ math]. & # 9123 & # 93

Svarbus specialus apskritos orbitos atvejis, ε& # 160 = & # 1600, duoda θ = E = M. Nes buvo laikomas vienodas sukamasis judesys normalus, nukrypimas nuo šio judėjimo buvo laikomas anomalija.

Šios procedūros įrodymas parodytas žemiau.

Vidutinė anomalija, M

Keplerio problema prisiima elipsinę orbitą ir keturis taškus:

s Saulė (viename elipsės židinyje) z perihelis c elipsės centras p planeta

[math] displaystyle < a = | cz |,> [/ math] atstumas tarp centro ir perihelio, semimajor ašis, [matematika] displaystyle < varepsilon = <| cs | per a>,> [/ math] ekscentriškumas, [matematika] displaystyle < b = a sqrt <1 - varepsilon ^ 2>,> [/ math] semimino ašis, [matematika] displaystyle < r = | sp | ,> [/ math] atstumas tarp Saulės ir planetos. [math] displaystyle < theta = angle zsp,> [/ math] kryptis į planetą, žiūrint iš Saulės, tikroji anomalija.

Problema yra apskaičiuoti polines koordinates (r,θ) planetos iš laiko nuo periheliot.

Tai sprendžiama etapais. Kepleris apskritimą su pagrindine ašimi laikė skersmeniu ir

[math] displaystyle < x,> [/ math] planetos projekcija į pagalbinį apskritimą [math] displaystyle < y,> [/ math] apskritimo tašką, kad sektoriaus sritys |zcy| ir |zsx| yra lygūs, [matematika] ekranas [/ matematika] reiškia anomaliją.

Sektorių sritis sieja [matematika] displaystyle <| zsp | = frac cdot | zsx |. > [/ matematika]

Plotas nušluotas nuo perihelio,

yra antrasis Keplerio įstatymas, proporcingas laikui nuo perihelio. Taigi vidutinė anomalija, M, yra proporcingas laikui nuo perihelio, t.

Ekscentrinė anomalija, E

Kai vidutinė anomalija M yra apskaičiuojamas, tikslas yra apskaičiuoti tikrąją anomaliją θ. Funkcija θ = f(M), tačiau nėra elementaru. & # 9124 & # 93 „Kepler“ sprendimas yra naudoti

[matematika] displaystyle [/ matematika], x žiūrint iš centro, ekscentrinė anomalija

kaip tarpinį kintamąjį, ir pirmiausia apskaičiuokite E kaip funkcija M išsprendę žemiau esančią Keplerio lygtį, tada apskaičiuokite tikrąją anomaliją θ nuo ekscentrinės anomalijos E. Čia yra išsami informacija.

Skirstymas pagal a 2/2 duoda Keplerio lygtis

Ši lygtis suteikia M kaip funkcija E. Nustatymas E duotam M yra atvirkštinė problema. Paprastai naudojami iteraciniai skaitiniai algoritmai.

Apskaičiavęs ekscentrinę anomaliją E, kitas žingsnis yra apskaičiuoti tikrąją anomaliją & # 160θ.

Tačiau atkreipkite dėmesį: Dekarto padėties koordinatės nurodo elipsės centrą (a& # 160cos & # 160Eb& # 160sin & # 160E)

Nurodykite Saulę (su koordinatėmis (c,0) = (ae,0) ), r = (a& # 160cos & # 160Eae, b& # 160sin & # 160E)

Tikra anomalija būtų arktanas (ry/rxdydis, r būtų & # 8730 r · r .

Tikroji anomalija, θ

Iš paveikslo atkreipkite dėmesį, kad

[math] displaystyle < overrightarrow= overrightarrow + stačiakampis > [/ matematika]

Padalijimas iš [math] displaystyle [/ math] ir įterpimas iš pirmojo Keplerio dėsnio

Rezultatas yra naudingas santykis tarp ekscentrinės anomalijos E ir tikroji anomalija & # 160θ.

Skaičiavimo požiūriu patogesnė forma pateikiama pakeičiant trigonometrinę tapatybę:

Padauginus iš 1 & # 160 + & # 160ε duoda rezultatą

Tai yra trečiasis laiko ir padėties orbitoje ryšio etapas.

Atstumas, r

Ketvirtas žingsnis yra heliocentrinio atstumo apskaičiavimas r nuo tikrosios anomalijos θ pagal pirmąjį Keplerio įstatymą:

Naudojant aukščiau esantį ryšį tarp θ ir E galutinė atstumo lygtis r yra: