Astronomija

Dydžių santykiai, o ne skirtumai

Dydžių santykiai, o ne skirtumai


We are searching data for your request:

Forums and discussions:
Manuals and reference books:
Data from registers:
Wait the end of the search in all databases.
Upon completion, a link will appear to access the found materials.

spalvų indeksas fotometrinėje sistemoje apibrėžiamas dviejų bangų ilgio filtrų dydžių skirtumais, o tai suteikia intensyvumo santykį. Pvz., Norint nustatyti B-V indeksą, jums reikia dydžių B juostoje (kurios centras yra $ lambda = 445 $ nm) ir V juostoje, kurios centras yra $ lambda = 551 $ nm.

Bet kaip su kitomis operacijomis? Pavyzdžiui, ar būtų kokia reikšmė imant, tarkime, santykį $ B / V $ arba $ B kartus V $?


Dydžio apibrėžimas yra maždaug toks: $$ B = -2,5 log_ {10} f_B + Z_B, $$, kur $ f_B $ yra fizinis srautas bet kurioje naudojamoje vienetų sistemoje, o $ Z_B $ yra dydžio taškas. sistema ir minuso ženklas yra tam, kad būtų užtikrinta, jog maži dydžiai yra ryškesni.

Todėl spalvų indeksas yra kažkas panašaus į $$ BV = -2,5 log_ {10} f_B + 2,5 log_ {10} f_V + Z_B - Z_V = -2,5 log_ {10} frac {f_B} {f_V} + Z_ { BV} $$

Dabar pagalvokime, ko klausiate.

$$ BV = (-2,5 log_ {10} f_B + Z_B) (- 2,5 log_ {10} f_V + Z_V) $$ $$ BV = -2,5Z_v log_ {10} f_B -2,5Z_B log_ {10 } f_V + Z_ {B} Z_V -2,5 log_ {10} f_B ^ {- 2,5 log_ {10} f_V} $$

Ši numerologija neturi jokios fizinės reikšmės ir, kadangi patys srautai priklauso nuo atstumo, tada, kaip ir $ B $, ir $ V $ atskirai, $ BV $ ir $ B / V $, priklausys nuo atstumo, todėl neturi ryšio su viskas, kas būdinga žvaigždei.


Dydis yra logaritminis, todėl skirtumas tarp dviejų reikšmių yra tas pats, kaip paimti santykį tarp dviejų neprisijungusių reikšmių.


Apsvarstykite, pavyzdžiui, šias ryškias žvaigždes (V ir B-V reikšmės iš „Yale Bright Star“ katalogo). Netoli V = 0, blogai elgiamasi B / V, o B * V - netoli 0.

Pavadinimas B V B-V B / V B * V Arcturus 1,19 -0,04 +1,23 -29,7 -0,05 Vega 0,03 0,03 0,00 1,00 0,00 Kapella 0,88 0,08 +0,80 11,0 0,07 Rigel 0,09 0,12 -0,03 0,75 0,01

Dabar įsivaizduokite, kad kiekviena iš tų žvaigždžių buvo 10 kartų tolimesnė. Nepaisant tarpžvaigždinio išnykimo, tai sumažintų tariamą ryškumą 100 kartų ir padidintų tariamą dydį 5,0. Kai B ir V kartu didėja, B / V priartėja prie 1, o B * V prie V ^ 2, nieko nepasakydamas apie tam tikrą žvaigždę.

Pavadinimas B V B-V B / V B * V Arcturus 6,19 4,96 +1,23 1,25 30,7 Vega 5,03 5,03 0,00 1,00 25,3 Capella 5,88 5,08 +0,80 1,16 29,9 Rigel 5,09 5,12 -0,03 0,99 26,1

Kita vertus, B-V išbandė laiką kaip nuo atstumo nepriklausomą žvaigždės spalvos ir paviršiaus temperatūros metriką.


Dydžių, o ne skirtumų santykiai - Astronomija

Iš pradžių „Dydis“ buvo būdas klasifikuoti žvaigždes pagal ryškumą, kad būtų lengviau atpažinti. Tai buvo rodoma Klaudijaus Ptolemėjaus žvaigždžių kataloge. Ryškiausios žvaigždės buvo 1 laipsnio, o silpniausios, kurias buvo galima pamatyti tamsiame, giedrame danguje, buvo 6 laipsnio. Tie, kurie buvo tarp, buvo klasifikuojami maždaug vienodais ryškumo laipsniais. Kadangi akis vertina vienodus ryškumo skirtumus, kad jie atitiktų vienodus intensyvumo santykius, kuriuos mes gauname kaip energijos srautą ar jo ekvivalentą, ergais / s, vatais arba liumenais, tai pasirodo logaritminė skalė. Jei penktojo dydžio žvaigždė yra „a“ kartus ryškesnė už šeštojo dydžio žvaigždę, tai ketvirtojo dydžio žvaigždė yra „a“ kartus ryškesnė už vieną iš penktosios arba 2 kartus ryškesnė už vieną iš šeštojo. Tęsiant šią schemą, pirmojo dydžio žvaigždė yra 5 kartus ryškesnė nei viena iš šeštojo dydžio.

Ryškumas yra suvokimas, o energija, gaunama kaip elektromagnetinė spinduliuotė, kurią mes vadinsime intensyvumu arba apšvietimu, yra fizinis dirgiklis. Intensyvumas matuojamas energija per laiko vienetą ploto vienetui, tarkim, erg / s-cm 2 arba W / m 2. Šviesos intensyvumas yra psichofizinis dydis, kuris pasveria energiją pagal jos poveikį akiai. Įprastas vienetas yra spindis, o esant didžiausio akies jautrumo dažniui - 680 lm = 1 W. Pastovaus intensyvumo spektro santykis regos diapazone nuo 400 nm iki 700 nm yra apie 220 lm / W. Šviesa yra ne ryškumo, o regėjimo stimulo matas. Ryškumas yra logaritminė regėjimo stimulo funkcija. Jei ryškumą apibrėžsime kaip bendrą logaritmą, tai padidinus energiją 10 kartų, ryškumas padidėja 1 vienetu, o padidinus 100 kartų, ryškumas padidėja 2 vienetais. Skalę galime pakoreguoti skaitmeniniu koeficientu, padauginančiu logaritmą, arba iš savavališko nulio. Tai yra, mes galime apibrėžti ryškumą pagal B = A log I + B, kur A ir B yra konstantos, o I yra intensyvumas arba vizualinis dirgiklis ploto vienetui. Tai prilygsta ekvivalentinei išraiškai B = A log (I / I '), kur I' yra atskaitos intensyvumas, o B = -A log I '. Mane galima matuoti liumenais / m 2 arba liuksais, jei mums rūpi regėjimo ryškumas. Šiuo pagrindu mes nustatome žvaigždžių ryškumo skalę.

Logaritminė skalė yra pradinių dydžių skalės pratęsimas, neapsiribojant 1–6 diapazonu, tačiau galintis išsiplėsti į abi puses. Ptolemėjaus kataloge visos ryškiausios žvaigždės buvo pirmojo dydžio, tačiau pagal logaritminę skalę galime apibrėžti nulinį dydį „a“ kartus ryškesnį už pirmąjį dydį ir -1 dydį „a“ kartus ryškesnį už tai. Tiesą sakant, „Betelgeuse“ yra artimas 1 (iš tikrųjų 0,9), „Vega“ arti 0 (iš tikrųjų 0,1), o ryškiausia iš visų žvaigždžių „Sirius“ yra -1,6. XIX amžiuje buvo padaryta išvada, kad santykis „a“ buvo toks, kad 5 = 100 arba pirmojo dydžio žvaigždė buvo 100 kartų stipresnė nei šeštojo laipsnio žvaigždė. Tai reiškia, kad jis akiai tiekė 100 kartų daugiau liumenų. Vengiau čia naudoti „ryškumą“, kad tą terminą būtų galima naudoti ne dėl fizinio, bet dėl ​​pojūčio. Todėl 5 log a = 2, arba log a = 0,4, arba a = 2,5119. Logaritmas turi būti pagrįstas 10, o tai yra patogu dėl rodomo 100 santykio. Ryšys tarp intensyvumo santykio ir dydžių yra tada I / I o = 100-m / 5, kur m yra dydžių skirtumas. Ženklas (-) daro didesnį skirtumą neigiamą, kai santykis yra didesnis nei 1. Atsižvelgiant į logaritmą, - (2/5) m = log (I / I o) arba m = -2,5 log (I / I o). Bet kokio intensyvumo santykio atveju tai suteiks mums dydžių skirtumą. Visa tai atitinka pastoviosios A pasirinkimą logaritminiame santykyje.

Jei vietoj to naudojame natūralius logaritmus, m = -1,0857 ln (I / I o). Kadangi koeficientas yra artimas vienybei, tai yra apytiksliai I = I o e -m, todėl koeficientas „a“ (2,5119) yra artimas „e“ (2,7183). Įdomu tai, kad dydžiai maždaug atitinka e. Daugiau nenaudosime natūralių logaritmų.

Dydžiai yra analogiški decibelų vienetui, naudojamam galios santykiams nurodyti. Šis santykis yra dB = 10 log (I / I o), taigi dB yra -4 kartus didesnis už dydžių skirtumą. Astronomijoje žvaigždžių ryškumui būtų galima naudoti decibelus, tada didelis skaičius atitiktų ryškią žvaigždę, mažas skaičius - blankią žvaigždę. Tačiau tai nėra padaryta, o neigiami dydžiai atitinka ryškias žvaigždes, dideli teigiami - blankias.

Kaip ir decibelų atveju, jei nurodomi dydžiai, o ne tik dydžių skirtumai, reikia nurodyti atskaitos dydį. Be to, reikia nurodyti galias, atsirandančias santykiu. Vizualiniam dirgikliui tinkamas kiekis yra spindis, kurį fiziškai galima nurodyti kaip energijos tankio spektrą padauginus iš jautrumo funkcijos. Jautrumo funkcijos smailė yra 1, kai bangos ilgis 555 nm, kur 680 liumenų = 1 vatas. Atitinkami dydžiai vadinami regėjimo dydžiais. Akis automatiškai atliks spektrinį svertą, o ryškumą galima palyginti sureguliuojant neutralų filtrą priešais vieną šaltinį, kol abu šaltiniai bus vertinami vienodai ryškiai. Panašų palyginimą galima padaryti fiziškai, matuojant energijos spektrą, tarkim w (f) vatais / s-cm 2, kad krintanti energija tarp dažnių f ir f + df būtų w (f) df. Bangos ilgis ir lambda gali būti naudojami taip pat kaip f, nes & lambdaf = c, kur c yra šviesos greitis. Paprastai kaip nepriklausomą kintamąjį naudosime f. Kai kurie mūsų rezultatai skirsis nuo tų, kurie naudoja bangos ilgius, nes vienodi dažnių intervalai nėra vienodi bangos ilgio intervalai, ir atvirkščiai. Tada bendras dirgiklis yra & ints (f) w (f) df, kur s (f) yra jautrumo funkcija.

Sferiškai sklindančios šviesos bangos intensyvumą nurodo I = I o / r 2, kur I o yra intensyvumas esant r = 1. Tada m = -2,5 log (I / I o) = -2,5 (-2 log r ) = 5 rąstų r. Mes tikrai turėjome naudoti ir atstumo santykį (r o / r), taigi logaritmo argumentas būtų be matmenų, tačiau tiks paprastesnė lygtis, nes I o dingo. Jei M yra dydis, kai r = 10, ir m dydis, esant bet kokiam atstumui, tada m = M + 5 log (r / 10) = M - 5 + 5 log r. Tai gana garsus santykis astronomijoje, jei r yra atstumas parsekuose. Atkreipkite dėmesį, kad vis tiek bus teisingas bet koks vienetas, kurį naudosime r, nes M visada bus dydis (atsižvelgiant į bet kurį standartą), kai r = 10. Tai logaritminių santykių grožis. Jei r yra parsekuose, tada M vadinamas absoliučiu dydžiu, tariamuoju regėjimo dydžiu, kai žvaigždė yra tame atstume. Kiekvieną kartą padvigubinus atstumą, dydis padidėja 5 log 2 = 1,505.

Žvaigždės paralaksas p - tai kampas, kurį ties žvaigždę pakreipia žemės orbitos spindulys, a arba pd = a, kur d yra žvaigždės atstumas. Dabar p "= 206 265 p (radianai), taigi d = 206 265 (a / p"). Atstumas parsekuose yra tik r = 1 / p ". Tada m = M - 5 - 5 log p", arba log p "= - (m - M + 5) / 5, nuo kurio žvaigždės paralaksas ( ir todėl jo atstumą) galima rasti, jei žinomas tariamasis ir absoliutusis dydis. Atkreipkite dėmesį, kad jei m = M, mes randame log p "= -1 arba p" = 0,1 "- 10 parsekų atstumą. Saulės regimasis matomasis dydis yra -26,8 1 AU atstumu arba p = 1 radianas = 206265 ". Iš to mes nustatome, kad M = m + 5 + 5 log p" = -26,8 + 5 + 5 log 206265 = 4,77. Tai yra absoliutus saulės dydis arba jo vizualinis dydis, žiūrint iš 10 parsekų atstumo.

1 parsekas yra 206 265 AU = 206 265 x 1,496 x 10 11 m = 3,086 x 10 16 m. Metai yra 3,156 x 10 7 s, o šviesa sklinda 2,9979 x 10 8 m / s arba 9,460 x 10 15 m per metus, atstumas vadinamas šviesmečiu, ly. Todėl 1 psc = 3,2620 ly. Šviesos metai yra naudingi tik tam, kad būtų galima šiek tiek suvokti kosmoso be galo daug. Šviesai nuo saulės patekti į žemę reikia 8,317 minučių, iš Mėnulio (nuo centro iki centro) patekti į žemę - 1,28 s, aplink pasaulį rutuliui - 0,13 s, o nuo saulės iki Plutono - 5,48 valandos.

Regimųjų dydžių skalę galime nustatyti, nustatydami konstantą B logaritminėje funkcijoje, naudodami du faktus: pirma, matomas saulės m dydis yra -26,8, antra, jo šviesis L yra 1,6 x 10 5 cd / cm 2, iš Chemijos ir fizikos vadovo. Saulei gali atrodyti keista, kad jo šviesumas yra cituojamas, tačiau projektuojamas saulės plotas didėja, kai atstumo kvadratas, tuo pačiu metu, kai apšvietimas mažėja tuo pačiu greičiu. Tariamasis saulės plotas yra A = & pir 2 ir teta 2, kur & teta yra kampinis pusiaukampis, 16 'arba 4,65 x 10-3 radianai. Jo intensyvumas C žvakėse tada yra & pir 2 ir teta 2 L. Apšvietimas atstumu r tada yra I = C / r 2 = & pi & teta 2 L lm / cm 2, kur r atšaukė, kaip žadėta. Tai suteikia I = 10,9 lm / cm 2 arba 109 000 liuksų. Tai yra didžiausio apšvietimo, normalaus saulės krypčiai, įvertinimas. [Apšviečiant žvakių šviesos intensyvumą paprastai rodo aš, o apšvietimą - E, tačiau mes naudojame C ir I, kad atitiktų mūsų žymėjimą apibrėžiant dydį.]

Dydžio apibrėžimas suteikia m = -2,5 log (I / I '), kur I' yra apšvietimas, atitinkantis m = 0. Todėl -26,8 = -2,5 log (109000 / I ') = -12,59 + 2,5 log I 'arba log I' = -5,68, I '= 2,077 x 10 -6 liuksai. Dabar turime absoliučią dydžių skalę: m = -2,5 log I - 14,2, kur aš esu liuksais. Dabar abi A ir B konstantos buvo nustatytos logaritminėje funkcijoje. Patikrinimui tariamasis pilnaties dydis yra -12,6, o jo šviesis nurodomas kaip 0,25 cd / cm 2. Kadangi mėnulis pakrypsta maždaug tuo pačiu kampu kaip saulė, apšvietimas būtų I = & pi (4,65 x 10 -3) 2 (0,25) (10 4) = 0,17 liukso. Tai suteikia m = -12,3, kuris nėra per toli. Mes darome išvadą, kad geras apšvietimo įvertinimas, atitinkantis regos dydį m, yra I = 2,1 x 10 -6 10 -0,4m liuksai.

Ryškiausias jos Veneros dydis yra apie –4,4. Tai atitinka I = 1,2 x 10 -4 liuksai. Sirijus, esant m = -1,6, suteikia I = 9,2 x 10 -6 liuksai. Kai žiūrime į Venerą ar Sirijų, į mokinį patekusi šviesa susikaupia vaizde, o tai leidžia ją lengvai aptikti. Jei pažvelgsime į išplėstą šaltinį, tada kietieji kampai padidinami atvirkščiai kaip vaizduojamų sričių dydis, todėl apšvietimas išlieka pastovus. Teleskopas neišryškina išplėstų vietų, tačiau sutelkia ribotas. Taip pat visiškai aišku, kad akis prisitaiko prie didelių apšvietimo skirtumų - nuo 100 000 liuksų saulės iki 0,2 liukso mėnulio šviesos. Šis prisitaikymas yra būtinas, kad akis būtų apskritai naudinga, ir yra puikus evoliucijos galios įrodymas. Šis prisitaikymas susijęs su regos chemija ir fiziologija, o ne su mažesniu laipsniu, kurį kontroliuoja vyzdžio dydis, kuris labiau veikia, kad užtikrintų ryškų regėjimą, kai yra pakankamai šviesos, sustabdant akies diafragmą, daugiausia ploto svyravimas apie 16, ilgas kelias iš faktinio 500 000 faktoriaus. Matematiškai tai išreiškiame sakydami, kad ryškumas (pojūtis) yra apšvietimo (fizinio dirgiklio) logaritminė funkcija.

Žvaigždės šviesumas paprastai apibrėžiamas kaip jos regėjimo srauto ir saulės santykis. Kadangi mums rūpi santykis, jį galima išreikšti dydžių skirtumu & Deltam = -2,5 log (I / I s), o šis dydžių skirtumas gali būti žvaigždės ir saulės absoliučių dydžių skirtumas. Tai yra tas pats dydžio skirtumas, kuris, žinoma, egzistuotų bet kokiu atstumu. Tada M - M s = -2,5 log (I / I s) arba L = I / I s = 10 (0,4) (M - 4,77). Kaip paprastai apibrėžta, tai yra vaizdinių išėjimų santykis, kuris anaiptol nėra tas pats, kaip visų išėjimų santykis. Spektrinių klasių F5 – G5 žvaigždėms tikriausiai nebus per daug skirtingas visų išeigų santykis, tačiau jis bus labai skirtingas M klasės žvaigždėms, kurios spinduliuoja daugiausia infraraudonaisiais spinduliais, arba O klasės žvaigždėms, kurios spinduliuoja daugiausia ultravioletiniai. Dabar mes apsvarstysime, kaip ištaisyti šios aplinkybės ryškumą.

Juodojo kūno spinduliuotė

Žvaigždės elektromagnetinė spinduliuotė apima plačią dažnių juostą. Tai panaši į radiaciją, kurią skleidžia maža anga ertmės rezonatoriaus sienelėje, kurioje elektromagnetinės bangos termiškai sužadinamos esant T. temperatūrai. Kadangi visa ant mažos angos krintanti spinduliuotė pateks į ertmę su labai maža tikimybe vėl išeiti. , diafragma atrodo „juoda“, tai yra, sugers visą ant jos krintančią radiaciją. Esant šilumos pusiausvyrai, jis skleis lygiai tiek pat radiacijos, kiek sugers. Jei nėra šiluminės pusiausvyros, kai nėra radiacijos, kuri ją supa, ji ir toliau skleis būtent tą spinduliuotę, kuri būtų pusiausvyroje esant T. temperatūrai. Todėl tai vadinama „juodojo kūno“ spinduliuote.

Jei U yra izotropinė energija V tūrio ertmėje, tada emisija per laiko vienetą ploto vienetui yra J = cU / 4V. Energija U yra integralo dažnis nuo 0 iki & begalybės elektromagnetinių režimų skaičiaus N (f) df, padaugintas iš jų fotonų energijos hf, tikimybės, kad dažnio f režimas sužadinamas esant T. temperatūrai. N (f) yra proporcinga f 3, o sužadinimo tikimybė yra 1 / (e hf / kT - 1). Tegul x = hf / kT - be matmenų fotonų energijos hf santykis su vidutine šiluminio sužadinimo energija kT režimu. h yra Plancko konstanta, 6,626 x 10 -34 J-s, o k - Boltzmanno konstanta, 1,3807 x 10 -23 J / K. Fotonų energija, išreikšta bangos ilgiu ir lambda nm, yra 1240 / lambda. Šilumos energija eV, kai temperatūra TK, yra 8,619 x 10-5 T. Todėl fotonų energija žaliai šviesai, esant 555 nm, yra 2,23 eV, o šiluminė energija, skirta 10 000 K, yra 0,8619 eV, taigi x = 2,59, kai 555 nm nm spinduliuotė ir 10 000 K.

Jei N (f) df ir tikimybę išreiškiame x, turimų būsenų skaičius padidėja kaip x 3, o sužadinimo tikimybė skiriasi kaip 1 / (e x - 1). Šių dviejų veiksnių sandauga suteikia energiją kaip dažnio funkciją, o jos integralas nuo 0 iki & infin yra proporcingas visai tūrio V. energijai V. Tai iliustruoja dešinėje pav. Funkcija kinta kaip x 2 x & lt & lt 1, o kaip x 3 e -x x & gt & gt 1. Praktiškai visa energija įtraukiama nuo x = 0 iki x = 12. Funkcijos x 3 / (ex - 1) integralas ) yra & pi 4/15 = 6,4939. CU / 4V rezultatas yra J = 5,67 x 10 -12 T 4 W / m 2, vadinamas Stefano dėsniu. Tai yra bendra radiacijos norma per visus dažnius. Dažnio intervale nuo f iki f + df spinduliuojama suma yra x 3 / (e x - 1) kartų df reikšmė, padalyta iš 6,4939, padauginta iš viso J.

Kreivės maksimumas įvyksta esant x = 2,82 arba hf = 2,82 kT, iš kurio galime rasti, kad & lambdaT = 5,102 x 106 nm-K Tai yra didžiausias išmetamų teršalų dažnio intervalo vienetas. Kadangi dažnio ir bangos ilgio intervalus sieja df = - d & lambda / & lambda 2, energijos tankis bangos ilgio intervalo vienetui yra proporcingas x 5 / (e x - 1), kur x = hc / & lambdakT. Didžiausia šios kreivės vertė yra x = 4,96, o tai reiškia, kad & lambda max T = 2,901 x 106 nm-K. Taisyklė, kad & lambda max T = konstanta, vadinama Vieno dėsniu. Maksimalus dydis priklauso nuo to, kurią spektro išraišką naudojate, ir pats savaime neturi didelės reikšmės. Nors bangos ilgio intervalo rezultatas cituojamas dažniau, dažnio intervalo rezultatas gali būti prasmingesnis. Saulės spinduliuotei esant 5750 K, maksimumai yra atitinkamai 505 nm ir 887 nm.

Faktinis kūnas gali neišskirti taip efektyviai, kaip juodas kūnas, ir į tai atsižvelgia faktorius & epsilon (f), vadinamas emisija. Spinduliavimas niekada nėra didesnis už vienybę ir paprastai priklauso nuo dažnio.Dėl geresnės informacijos trūkumo žvaigždės skleidžiamumas paprastai laikomas 1, išskyrus (dažniausiai) siauras tamsias linijas spinduliuojamame spektre. Tai reiškia, kad spinduliuojama spinduliuotė būdinga juodam kūnui, esant žvaigždės fotosferos temperatūrai T, o dėl vėsesnės besidangstančios chromosferos spektre atsiranda tamsios linijos. Geriausias pavyzdys yra saulė, kuri spinduliuoja paprastai T = 5750K, o spektrą kerta tamsios, siauros Fraunhoferio linijos.

Akies spektrinis jautrumas tęsiasi tolimiausioje riboje nuo 380 nm iki 765 nm, tačiau 400–700 nm diapazonas apima didžiąją jos jautrumo dalį. Trumpesni bangos ilgiai yra ultravioletiniai, o ilgesni - infraraudonieji. Žemės atmosferos dugne galime priimti matomą, nemažą kiekį infraraudonųjų spindulių ir šiek tiek ultravioletinių spindulių. Nežemiški spektroskopai dabar apima platesnį diapazoną, pradedant rentgeno spinduliais ir baigiant radiju, tačiau pagrindinis žvaigždžių šviesos tyrimas buvo matomame diapazone. Pažymėtina, kad dauguma žvaigždžių suformuoja ištisinę, vienmatę seką nuo karštų, masyvių žvaigždžių iki vėsesnių, lengvesnių žvaigždžių, išreikštą Herzsprungo-Russello šviesumo ir spektrinio tipo diagramoje.

Žvaigždės spektro klasę lemia tamsių linijų, nutraukiančių juodojo kūno kontinuumą, pobūdis. Iš esmės tai yra temperatūros serija, nes įvairūs atomai termiškai sužadinami skirtingais laipsniais. Spektrinės klasės yra O, B, A, F, G, K ir M, o indeksas kiekvienoje klasėje tęsiasi nuo 0 iki 9. O tipo žvaigždės yra labai karštos, o O5 yra 50 000 K. Temperatūra yra: B0, 21 000 K A0, 10 600 K F0, 7100 K G0, 5760 K K0, 4900 K M0, 3 400 K. Milžiniškos žvaigždės yra daug mažesnio tankio žvaigždės nei pagrindinės sekos žvaigždės, todėl norint gauti tą pačią jonizaciją, reikalinga ne tokia aukšta temperatūra. Milžiniškų žvaigždžių temperatūra yra: G0, 5300K K0, 4000K M0, 3000K ir M8, 2000K. Kai žinomas žvaigždės spektrinis tipas, galima tiksliai tiksliai atspėti jos absoliutų dydį. Tada, kadangi žinome jo tariamą dydį, jo atstumą (paralaksą) galima rasti taip, kaip parodyta aukščiau. Tai vadinamasis spektroskopinis paralaksas.

S4 tipo fotokatodo atsakas tęsiasi nuo 300 nm iki 600 nm, o smailė yra 400 nm. Jis labiau reaguoja į mėlyną šviesą nei į akį. Atsižvelgdami į energijos spektrą, pavyzdžiui, į juodojo kūno spektrą, galime nustatyti fotodetektoriaus (dažniausiai fotoradiklio) atsaką. Šie atsakymai gali būti naudojami nustatant dydžio skalę tiksliai taip, kaip vaizdiniu atveju. Tačiau tarp dviejų skalių nėra natūralaus, iš anksto nustatyto ryšio, nes jos atitinka skirtingus spektrinius jautrumus. Norint nustatyti ryšį, A0 tipo žvaigždės spinduliuotė, esant 10 600 K, laikoma standartine, o mėlyna arba fotografinė B vertė yra lygi fotovizualiniam dydžiui V. Terminas „fotografija“ primena mėlynai jautrios fotografijos plokštės, o „fotovizualinė“ reiškia kai kurias objektyvias vizualinio dydžio nustatymo priemones, galbūt naudojant filtrus. Norint tiksliai apibrėžti dalykus, reikia nurodyti spektrinį jautrumą, naudojamą B ir V dydžiams nustatyti. Skirtumas B - V yra spalvų indeksas, CI. Karštesnių nei A0 klasės žvaigždžių PI yra neigiamas, o šaltesnių - teigiamas. Tiesą sakant, B0 klasei PI yra -0,33, F0 klasei - +0,33 G0, 0,57 K0, 0,78 M0, 1,45. CI yra raktas į spektrinį tipą, temperatūrą ir spinduliuojamos spinduliuotės spektrinį energijos pasiskirstymą. Tiesą sakant, žvaigždės paviršiaus temperatūra yra maždaug T = 7200 / (PI + 0,68) K.

Saulė yra spektrinė G0 klasė, T = 5750K, taigi energijos spektras yra toks, kaip parodyta paveikslėlyje kairėje. Maksimalus yra ties 890 nm, artimu infraraudonųjų spindulių spinduliu. Vaizdinę spinduliuotę atitinkanti sritis rodoma tamsesnė, tai atitinka 36,5% viso ploto. Bet kurio T atveju x reikšmė, atitinkanti 555 nm, yra x = 26 000 / T, o x diapazonas, atitinkantis 400–700 nm, yra & Deltax = 14 300 / T. Padauginus juos, gaunamas regimosios spinduliuotės ploto įvertis. Lentelės ar geriau kompiuterinė programa, naudojanti skaitmeninę integraciją, duos tikslesnius rezultatus (žr. „Nuorodos“). Čia naudosime programos rezultatus, tačiau apytikslis metodas pateikia pagrįstus atsakymus. Bendra saulės spinduliuotė yra 2,74 karto didesnė už matomą. Tai atitinka m = -2,5 log 2,74 = -1,09 dydžio skirtumą. Kadangi absoliutus saulės regos dydis yra 4,77, absoliutus bolometrinis dydis bus 4,77 - 1,09 = 3,68. Terminas bolometrinis reiškia bendrą spinduliuotę. Tai yra vienas iš būdų apibrėžti bolometrinį dydį, kurį gali naudoti, o gal ir ne tas, kurį naudoja kitos institucijos. Tačiau palyginus taip apibrėžtus bolometrinius dydžius, bus tinkamai palyginta bendra skirtingų objektų energijos produkcija.

Visa saulės energija, pasiekianti žemės orbitą, yra apie 1360 W / m 2. Tai atitinka bendrą 3,82 x 10 26 W emisiją. Saulės spindulys yra 6,96 x 10 8 m, taigi jos paviršiaus plotas yra 6,09 x 10 18 m 2. Emisijos greitis yra J = 6,27 x 10 7 W / m 2 = 5,67 x 10 -8 T 4, naudojant Stefano dėsnį. Iš to T = 5767 K. Tai geras patikrinimas, ar nenuklydome nuo kelio.

Dešinėje parodytas raudonos milžinės „Antares“ ir „alfa Scorpii“ energijos spektras. Antaresas yra M1 spektrinės klasės, kurio T = 3000K. Didžiausias atsiranda esant 1700 nm, gerai infraraudonųjų spindulių. Ultravioletinėje spinduliuojama tik 0,2%, matomoje - 8,1%, infraraudonojoje - 91,7%. Bendra spinduliuotė yra 12,36 karto didesnė už matomą arba & Deltam = -2,73. Kadangi regimasis „Antares“ dydis yra 0,96, jo bolometrinis dydis bus –1,77. Atitinkami absoliutūs dydžiai yra -4,7 ir -7,43. „Antares“ atstumas yra 41,7 psc arba 440 lyčių. Tada Antareso ir saulės bolometrinių šviesių santykis atitinka 11,2 dydį arba 30 200 santykį. Jei atsižvelgsime tik į vizualinę energiją, santykis yra apie 6100. Nepaisant žemos temperatūros ir T 4 efekto, žvaigždė yra ryški dėl labai didelio dydžio. Iš tikrųjų, sujungus bendrą spinduliuotę ir Stefano dėsnį, galima rasti paviršiaus plotą ir iš jo žvaigždės skersmenį. Naudojant Stefano dėsnį, reikia atsižvelgti ne tik į matomą, bet ir į bendrą spinduliuotę. Antareso išėjimas yra 4,59 x 10 6 W / m 2.

Kairėje pavaizduotas Sirijaus ir alfa Canis Majoris atvejis. „Sirius“ yra A0 spektrinė klasė, o jo temperatūra yra 10 600 K. Vaizdinė spinduliuotė atitinka kreivės smailę, kai & lambda max = 480 nm. Bendra spinduliuotė yra maždaug 3,25 karto didesnė už regimąją, taigi dydžių skirtumas yra 1,28. Regimasis Sirijaus regos dydis yra -1,46, absoliutusis - 1,4,4. Absoliutus bolometrinis dydis bus 1,42 - 1,28 = 0,14. Dydžių skirtumas, palyginti su saule, yra 3,54, taigi Sirijus spinduliuoja 26 kartus daugiau energijos nei saulė. „Sirius“ ultravioletinėje spinduliuoja 52,3%, matomoje - 30,8%, infraraudonųjų spindulių - 17,0%.

Jei santykis I tot / I vis yra nubrėžtas pagal spektrinę klasę, F5 klasei jis pasiekia mažiausiai sumą, didėjant vėlesnėms ir ankstesnėms klasėms. Vėlesnių klasių papildoma energija daugiausia yra infraraudonųjų spindulių, o ankstesnės klasės skleidžia daugiau ultravioletinių spindulių. Labai karšta O klasės žvaigždė, esant 50 000 K spinduliui, ultravioletiniuose spinduliuose spinduliuoja 98,6%, o kietas M8 milžinas, esant 2000 K, infraraudonųjų spindulių spinduliuose spinduliuoja 99,2%. O klasės žvaigždė vis dar yra ryški dėl savo nuostabaus 3,54 x 10 11 W / m 2 išėjimo, iš kurio 1,1% vis dar yra 3,89 x 10 9 W / m 2, maždaug 63 kartus daugiau nei saulė. Kita vertus, M8 milžinas yra nematomas, nebent jis yra labai didelis, nes jo išėjimas yra tik 9,07 x 10 W / m 2, tik 0,0146 saulės. Norint spinduliuoti 100 kartų daugiau vaizdinės energijos, jos spindulys turi būti 83 kartus didesnis už saulės spindulį, arba 5,8 x 10 10 m, arba apie 0,39 AU, Merkurijaus orbitos spindulys. Tokio dydžio milžinai yra gana dažni, todėl galime pamatyti ir O klasės, ir M8 žvaigždes. „Mira“, „omicron Ceti“, yra M7 klasė, o jo absoliutus dydis yra maksimalus M = -0,5. 100 kartų daugiau saulės spindinčios žvaigždės absoliutus dydis yra -0,23, taigi mes turime idėją apie Miros dydį.

Kita vertus, O klasės žvaigždės yra gana retos, tik maždaug 19 yra matomos plika akimi, o dauguma jų yra O8 ar vėlesnės. Lengviausia pamatyti tikriausiai & zeta Orionis, mag. 2.05, labiausiai į rytus nutolusi juostos žvaigždė, arba & zeta Ophiuchi, mag. 2,56, žvaigždžių linijos viduryje per žvaigždyno centrą. Abi yra O9,5, tačiau jų temperatūra vis tiek turėtų būti šiek tiek aukštesnė nei 30 000 K. Ankstyviausia yra & zeta Puppis, mag. 2,25, O5 klasė, esant nuolydžiui -40 ir laipsnių, tikriausiai karščiausia plika akimi žvaigždė. Nedaug atsilieka & lambda Cephei, mag. 5.04, į šiaurę nuo & zeta, O6 klasė. Visos šios žvaigždės yra labai ryškios ir dažniausiai labai tolimos. Absoliutūs dydžiai apima platų diapazoną ir visi yra neigiami.

Priedas: Fotometrija

Pirmiau mums teko naudoti fotometrijos sąvokas. Čia pateikiami trumpi šių sąvokų paaiškinimai, kurie skaitytojui gali būti nepažįstami. Mes jau apibrėžėme spindį, kuris yra energijos srautas, pakoreguotas atsižvelgiant į akies jautrumą. Tai yra šviesos srauto F matas ir yra pagrindinis fotometrijos kintamasis. Apšvietimas E yra šviesos srautas, gaunamas ploto vienetui, E = F / A. Izotropinis taškinis šviesos intensyvumo šaltinis I skleidžia 4 & piI liumenus vienodai visomis kryptimis. Aš matuojamas žvakėmis, cd [iš tikrųjų kandela]. Normalus apšvietimas atstumu r nuo taško, kurio intensyvumo I šaltinis, yra E = 4 & piI / 4 & pir 2 = I / r 2. Jei r yra metrais, tada E bus liumenais / m 2 arba liuksais. Jei r yra pėdomis, tada E bus žvakėse pėdose arba liumenuose / pėdose 2. Nesunku išsiaiškinti, kad 1 pėdų cd yra 10,764 liuksai.

Galima pateikti analogiškus spinduliavimo galios apibrėžimus, kaip ir šviesos srautą. Paprastai jie išskiriami žodžiais „spinduliuojantis“ ir „šviečiantis“, o laukai atitinkamai vadinami radiometrija ir fotometrija. Vatų analogas yra liumenai. Tai, ką mes paprastai vadiname intensyvumu, griežtai vadinama išėjimu, galia ploto vienetui.

Jei šaltinis nėra izotropinis, tada I yra kietojo kampo vieneto srautas nagrinėjama kryptimi, dF / d & Omega. Tada visas išmetamas srautas yra F = & intId & Omega. Bendras vientisas kampas visomis kryptimis yra 4 & pi steradianai. Jei dA srities normalusis taškas daro & theta kampą tam tikra kryptimi, tada dA cos & teta yra projektuojama sritis ta kryptimi. Srautas, krintantis ant dA iš I intensyvumo šaltinio atstumu r, tada yra dF = (I dA cos & teta) / r 2, taigi apšvietimas yra E = dF / dA = (I cos & teta) / r 2.

Šaltiniai gali būti paskirstyti plote dA, kurio paviršiaus tankis yra B cd / m 2. Jei manysime, kad šaltiniai skleidžia izotropiškai, tada srautas, skleidžiamas kūgyje tarp kampų ir teta bei d & teta nuo normalaus iki dA, bus dF = 2 & piB sin & teta cos & teta dA, nes srautas turi būti proporcingas numatytam dA plotui. šia kryptimi. Integruojant nuo 0 iki 90 & deg, randame F = & piB. Tai reiškia, kad plokščias B cd / m 2 šaltinis skleidžia & pi liumenus ploto vienetui. Šaltinis neprivalo skleisti izotropiškai, bet jei taip, tai yra rezultatas. Tai reiškia, kad srautas yra proporcingas projektuojamam plotui (mes tai manėme), todėl sritis atrodo vienodai šviesi, tačiau jos įprasta yra linkusi į vaizdo kryptį. Tada tolygiai spinduliuojanti sfera centre ir galūnėse pasirodys vienodai ryški. Tokia sfera spinduliuos kaip taškinis I = 4 & pir 2 B šaltinis, jei r yra sferos spindulys. Galūnės tamsėja stebint saulei, todėl žvaigždžių fotosferos spinduliuoja ne izotropiškai, bet pirmiausia radialine kryptimi.

Tarkime, kad srautas F patenka į difuziškai atspindinčio plokštumos paviršiaus ploto vienetą. Dalis šio srauto bus absorbuota, o dalis - vėl. Jei srautas F vėl skleidžiamas taip, tarsi paviršius būtų padengtas izotropiniu šaltinių paviršiaus tankiu, tada paviršius vadinamas Lambertian. Žinoma, ne visi difuziniai paviršiai yra „Lambertian“. Akivaizdus nukrypimas yra atspindintis paviršius. Jei B yra intensyvumo paviršiaus tankis, tada mes turime F = & piB arba B = F / & pi. Sakoma, kad paviršiaus ryškumas yra 1 lambertas, jei jis vienodai skleidžia 1 lm / cm 2. Tai atitinka ryškumą 1 / & pi cd / cm 2. Dėl dvigubo ryškumo apibrėžimo egzistuoja daug painiavos dėl šio & pi veiksnio. 1 lm / cm 2 apšviestas lambertinis paviršius bus 1 lamberto (L) ryškumo. Jis bus ryškus kaip 0,318 cd / cm 2 ryškumo paviršius. Taip pat yra pėdų lambertų (pavyzdžiui, 1 ft-L ryškumo paviršius skleidžia 1 ft-cd per 2 ft). Fotometristai davė kvailus įvairių fotometrinių dydžių pavadinimus. Metras-lambertas taip pat žinomas kaip apostilb. CD / cm 2 yra vadinamas stilb, o cd / m 2 yra nitas. 1 lm / cm 2 vadinamas foto. Šių kvailų vardų nereikia prisiminti, tiesiog naudokite vienetus, nuolat gaunamus iš liumeno ir žvakės.

Literatūra

Dėkoju Sarah Ashton, kad rado skaitinę klaidą ir ją ištaisė.

R. H. Bakeris, Astronomija, 6-asis leidimas. (Niujorkas: D. Van Nostrando kompanija, 1955). 318-331 p. Tai labai skaitomas klasikinis bendrosios astronomijos tekstas su puikia pagrindine informacija, iliustruojanti astronomijos būklę 1955 m., Radijo astronomijos pradžioje ir prieš planetinius zondus.

C. Kittel, Terminė fizika (Niujorkas: John Wiley & Sons, 1969). p. 255–260.

Chemijos ir fizikos vadovas, 56-asis leidimas (Cleveland, OH: Chemical Rubber Company, 1975). nuo E-204 iki E-208 ir E-247.

R. Dibon-Smith, „StarList 2000“ (Niujorkas: John Wiley & Sons, 1992). Geras ryškių žvaigždžių katalogas, įskaitant tariamą ir absoliutų dydį bei spektrinius tipus.

E. Shulmanas ir C. V. Coxas, American Journal of Physics, 65, 1003-1007 (1997), aptaria dydžius, atsižvelgdami į tikslesnį intensyvumo ir regimo dirgiklio santykį.

Nesunku parašyti kompiuterinę programą, integruojančią spektrinį pasiskirstymą ir nustatantį išėjimą (ploto vienetui skleidžiamą energiją) bet kuriai pageidaujamai spektro juostai. Išplėstinė trapecijos formos taisyklė, pateikta W. H. Press ir kt. 136–138 p. al., Skaitmeniniai receptai C, 2-asis leidimas. (Cambridge: Cambridge University Press, 1992), veikia labai gerai ir gali būti tinkamos naudoti programos pagrindas.

Sudarė J. B. Calvertas
Sukurta 2003 m. Kovo 22 d
Paskutinį kartą peržiūrėta 2009 m. Lapkričio 16 d


Papildomi mokslo vadovėlių sprendimai

Horizontai: Visatos tyrinėjimas („MindTap“ kursų sąrašas)

Fizika mokslininkams ir inžinieriams, technologijos atnaujinimas (nėra prieigos kodų)

Fizikos mokslo įvadas

Fizika mokslininkams ir inžinieriams

Mitybos supratimas („MindTap“ kursų sąrašas)

Chemija šiandienai: bendroji, organinė ir biochemija

Organinė ir biologinė chemija

Mityba: sąvokos ir prieštaravimai - atskira knyga („MindTap“ kursų sąrašas)


KHAYYAM, OMAR xv. Kaip matematikas

Mums pasirodė trys matematiniai Omaro Khayyamo traktatai: (1) „Euklido ir rsquos“ komentaras Elementai (2) esė apie apskritimo kvadrato padalijimą (3) traktatas apie algebrą, jis taip pat parašė (4) traktatą apie ntrečioji skaičių šaknis, kurios nėra.

(1) KOMENTARAS APIE EUCLID & rsquoS ELEMENTAI

Khayyam & rsquos komentaras apie tam tikrų Euklido ir rsquos darbo postulatų sunkumus (Resāla fi & scaronarḥ mā a & scaronkala men moṣādarāt ketāb Oqlides) buvo baigtas 1077 m. gruodžio mėn. pabaigoje. Šiame traktate Khayyam ketina pakeisti ir ištaisyti, jo manymu, svarbiausius sunkumus, Geometrijos elementai, arba tiesiog Elementai, darbas iš trylikos knygų, priskirtų Euklidui iš Aleksandrijos (apie 300 m. pr. m. e.). Pirmoje „Khayyam & rsquos“ komentarų dalyje nagrinėjama lygiagrečių tiesių teorija, antroje - santykio ir proporcingumo sąvokos, trečioje - santykių jungimas.

Paralelių teorija. Euklidas (Oklidai) pirmojoje knygoje išdėstė paralelių teoriją Elementai. Jame jis apibrėžė lygiagrečias tieses kaip & ldquostraight linijas, kurios, būdamos toje pačioje plokštumoje ir gaminamos neribotą laiką abiem kryptimis, nesutinka viena kitos nei viena, nei kita (Heath, I, p. 154). Vis dėlto svarbi teorijos dalis buvo pagrįsta teiginiu, kurį Euklidas paskelbė tos pačios knygos pradžioje, tai yra lygiagretusis postulatas: & ldquoThat, jei tiesi linija, krintanti dviem tiesėmis, daro vidinius kampus toje pačioje pusėje mažiau nei du stačiakampiai, dvi tiesios, jei jos gaminamos neribotą laiką, susitinka toje pusėje, kurioje kampai yra mažesni už du stačiuosius kampus & rdquo (Heath, I, p. 155). Beveik du tūkstančius metų matematikai buvo nepatenkinti šiuo teiginiu, kurį jie visada laikė pasiūlymu, kurį reikia parodyti, o ne postulatu, kurį reikia pripažinti.

Pirmoji Euklido paralelių teorijos kritika buvo išsaugota Pirmosios Euklido & rsquos knygos komentaras Elementai neoplatonistų filosofo Proklo Lyciaus (410–85). Lyciusas pastebi, kad Posidonijus iš Rodo (135–51 m. Pr. M. E.) Lygiagrečias linijas apibrėžė kaip & ldquolines vienoje plokštumoje, kurios nei susilieja, nei išsiskiria, tačiau visi statmenos yra lygios, kurios vienai iš jų traukiamos iš taškų kitame & rdquo (Proclus, p. 138), tai yra kaip vienodo atstumo tiesios linijos. Proklas taip pat mini Ptolemėjaus bandymą (apie 125–61) įrodyti I.29 pasiūlymą. Elementai, pirmasis teiginys, kuriame Euklidas panaudojo lygiagretų postulatą, tačiau jo nesinaudojo. Pats Proclusas bando įrodyti šį postulatą. Jis sako, kad kiekvienas, norintis tai įrodyti, turi iš anksto priimti tokią aksiomą kaip Aristotelis [De Caelo 1.5.271b 28 ff.], Naudojamas nustatant kosmoso baigtinumą: Jei iš vieno taško du tiesūs brėžiniai, sudarantys kampą, yra neribojami, intervalas tarp jų, neribotą laiką, viršys bet kokį baigtinį dydį & rdquo (Proclus, p. 291) . Naudodamasis šia aksioma, Proclusas gali įrodyti lygiagretų postulatą, tačiau darant prielaidą, kad atstumas tarp dviejų lygiagrečių tiesių yra riboto dydžio.

Abu & rsquol-ʿAbbās Fażl komentare išsaugotoje ištraukoje gim. Ḥātem Nayrizi (apie 287–900) Elementai, graikų filosofas ir komentatorius Simplicius (VI a. pirmoji pusė) cituoja lygiagretaus postulato įrodymą, kurį pateikė jo kolega Aḡānis, galbūt Atėnų filosofas Agapius, suklestėjęs apie 511 m. (Lo Bello, p. 224–29).Aḡānis pirmiausia apibrėžia lygiagrečias linijas kaip & ldquothose vienoje plokštumoje [taip, kad] jei jos pratęsiamos begaliniu pratęsimu, neribotai, į abi puses, kartu atstumas, kuris yra tarp jų, visada yra vienas atstumas & rdquo (Lo Bello, p. 158) . Šis lygiagrečių tiesių kaip vienodų atstumų tiesių apibrėžimas leis jam įrodyti I.29 teiginį Elementai, taip pat lygiagretusis postulatas.

Pirmasis arabų matematikas, nagrinėjęs Euklido paralelių teoriją, yra bbAbbās b. Saʿidas Jawhari (apie 215/830) traktate, dabar pamestas, atsidavęs Euklidui ir rsquosui Elementai. Bet jo bandymą įrodyti lygiagretų postulatą išsaugojo Naṣir-al-Din Ṭusi (597-672 / 1201-74) savo traktate. al-Resāla al- & scaronāfia ʿan al- & scaronakk fi al-ḵoṭuṭ al-motawāzia), kuri atleidžia nuo abejonių dėl lygiagrečių linijų. Jawhari ypač įrodo, kad lygiagrečios linijos yra vienodai nutolusios, tačiau jis netiesiogiai daro prielaidą, kad jei tiesė, krentanti ant dviejų tiesių, pakaitinius kampus padarys lygius vienas kitam, tai bet kuri kita tiesė, krintanti ant dviejų tiesių, pakaitinius kampus taip pat padarys lygius vienas kitam. Tada jis įrodo lygiagretų postulatą (Jaouiche, p. 24, 37-44, 137-44 Houzel, p. 170).

Po jo Abu & rsquol-Ḥasan Ṯābet gim. Qorra (211-88 / 826-901) du kartus bandė įrodyti lygiagretų postulatą. Savo traktate apie Euklido ir rsquoso įrodymą švenčiamas Postulatas (Maqāla fi borhān al-mosādara al-ma & scaronhura men Oqlides), jis pripažįsta kaip principą, kad jei dvi tiesios, perpjautos kita tiesia linija, išsiskirs viena kryptimi, jos susilies kita kryptimi. Tai leis jam įrodyti, kad tuo atveju, jei pakaitiniai kampai yra vienodi, dvi tiesios linijos bus vienodos. Tada jis įrodo lygiagretų postulatą vadinamuoju Archimedo & ldquoAxiom. & Rdquo Traktate apie & ldquo Tai, kad susitiks dvi eilutės, pagamintos pagal mažiau nei du stačius kampus (Fi anna al-ḵaṭṭayn eḏā oḵrejā elā aqall men zāwiatayn qāʾematayn eltaqayā), Ṯābet g. Qorra pristato judesio sampratą. Jis visų pirma pripažįsta, kad bet kuris kietojo kūno taškas, judantis pagal vienodą ir tiesinį vertimą, apibūdins tiesę. Tai leidžia jam pagaminti dvi vienodo atstumo tiesias linijas (Jaouiche, p. 22-23, 45-56, 145-60 Houzel, p. 171).

Abu ʿAli Ḥasanas gim. Ḥasan b. Hayṯamas (d. Po 432 m. / 1040 m. Rugsėjo mėn.) Apibrėžia lygiagrečias tieses per vienodo atstumo sąvoką. Norėdami tai pasiekti, jis bando įrodyti, kad jei baigtinė tiesė juda statmenai fiksuotai tiesei, tada jos kraštinė apibūdins tiesią liniją, lygiagrečią fiksuotajai linijai, tai leis jam įrodyti lygiagretų postulatą (Jaouiche, pp 57-74, 161-84 Houzel, p. 171-72).

Khayyamas mano, kad jo pirmtakų bandymai įrodyti lygiagretų postulatą nebuvo patenkinami, nes kiekvienas iš jų buvo postulavęs tai, ką anaiptol nebuvo lengviau pripažinti nei patį Postulatą. Jis ypač išsamiai nagrinėja bandymą Ebn al-Hayṯam & rsquos, kategoriškai atmesdamas judesio sąvokos įvedimą į geometriją. Khayyam & rsquos tikslas yra įrodyti aštuonis teiginius, visų pirma Elementaiir Lygiagretusis postulatas (Rashed ir Vahabzadeh, 2000, p. 185, 219-20, 225-27, 230-33). Ypač įdomus jo bandymas yra jo filosofinė pozicija šiuo klausimu. Khayyamas mano, kad klaida, kurią padarė jo pirmtakai, bandydami įrodyti lygiagretų postulatą, yra ta, kad jie nepaisė kai kurių filosofo (t. Y. Aristotelio) principų. Jis mano, kad lygiagretusis postulatas turėtų būti įrodytas imantis tam tikrų filosofinių prielaidų, kurios, jo nuomone, yra tiesioginės tiesės ir tiesiosios kampo sąvokos tiesioginės pasekmės, kai šios prielaidos laikomos būtinai teisingomis, tada geometras gali juos pripažinti be įrodymų. Šios patalpos yra: (1) Dvi susikertančios tiesios išsiskirs eidamos tolyn nuo susikirtimo taško (Proclusas jau ėmėsi šios prielaidos, aiškiai priskirdamas ją Aristoteliui). (2) Susikirs dvi susiliejusios tiesios linijos. (3) Dvi sueinančios tiesios linijos negali skirtis eidamos link konvergencijos ir atvirkščiai. Khayyamas taip pat daro prielaidą (įrodydamas trečiąjį teiginį), kad lygiagrečios linijos yra vienodos, bet kadangi jis nepateikia jokio paaiškinimo, sunku žinoti, ar jis tai laiko akivaizdžia antrosios prielaidos pasekme, ar mano, kaip kai kurie jo pirmtakų, kad & ldquoparallel & rdquo ir & ldquoequidistant & rdquo yra sinonimai (Rashed ir Vahabzadeh, 2000, p. 185, 224).

Šiuo atžvilgiu reikia pažymėti, kad Khayyam & rsquos požiūriu tai, kad antroji ir trečioji patalpos yra matematiškai lygiavertės postulatui, kurį jis ketina įrodyti, visai nėra problema. Khayyamui iš tikrųjų nerūpi matematinio ekvivalentiškumo klausimai, jis yra labiau susirūpinęs tuo, kad antroji ir trečioji prielaidos yra tiesioginės tiesiosios ir tiesiosios kampo sąvokų pasekmės, tuo tarpu Postulatas nėra toks, todėl postulatas turėtų jo nuomonę, įrodykite per juos.

Khayyam & rsquos argumentacijos esmė yra trečiojo teiginio įrodyme. Jame jis laiko (1 pav.) Keturkampį ABCD, kuriame kraštinės AC ir BD yra lygios viena kitai ir abi statmenos pagrindui AB. Pirmojo jo ką tik įrodyto teiginio pasekmė, kampai ACD ir BDC tada bus lygūs vienas kitam.

Vėliau jis išnagrinėja tris galimus atvejus, ty, kad ACD, BDC kampai yra teisingi, abu aštrūs arba abu tylūs. Jis pirmiausia įrodo, kad jei manoma, kad šie kampai yra aštrūs, gausime dvi tiesias linijas, kurios perpjauna kitą tiesę stačiu kampu ir išsiskiria iš abiejų šios tiesės pusių, ir tai prieštarauja trečiajai prielaidai. Taip pat bus pasiektas prieštaravimas darant prielaidą, kad šie kampai yra tylūs. Todėl ACD, BDC kampai būtinai bus stačiakampiai. Dabar jis gali lengvai įrodyti I.29 pasiūlymą Elementai, taip pat lygiagretusis postulatas (Rashed ir Vahabzadeh, 2000, p. 185-86, 226-30). Khayyam baigia šią savo traktato dalį paaiškindamas, kad aštuoni jo ką tik įrodyti teiginiai turėtų užimti I.29 teiginio vietą. Elementai, tačiau praleisdamas visus filosofinius svarstymus, kuriuos jis išplėtojo, nes jie tinkamai priklauso ne geometrijai, o metafizikos mokslui (Rashedas ir Vahabzadehas, 2000, p. 186, 233).

Maždaug po dviejų šimtmečių Naṣir-al-Din Ṭusi iš dalies perėmė Khayyam & rsquos idėjas dviejuose traktatuose (al-Resāla ir scaronāfia Taḥrir Oqlides): vienas yra traktatas, pašalinantis abejones dėl lygiagrečių linijų, skirtas lygiagretaus postulato įrodymui ir kuriame yra išsamių Khayyam & rsquos įrodymų fragmentų, kitas yra Euklido Redakcija, traktatas, skirtas Euklidui ir rsquosui Elementai jų visuma.

Lygiagretaus postulato Khayyam & rsquos įrodymo pėdsakų vis dar galima rasti dar XVIII a. Pirmuosiuose jo teiginiuose Euclides vindicatus (Euklidas neapsaugotas nuo visų dėmių), jėzuitų matematikas Girolamo Saccheri (1667-733) laiko tą patį keturkampį ABCD, dabar žinomą kaip Saccheri & ldquoquadrilateral, ir rdquo, taip pat tris galimus atvejus, susijusius su jos vienodais kampais ACD, BDC, kurie Saccheri vadina atitinkamai stačiojo kampo hipotezę, ūmaus kampo hipotezę ir bukojo kampo hipotezę.

Santykio ir proporcingumo sampratos. Euklidas buvo paaiškintas V knygoje Elementai proporcijos teorija, taikoma visoms rūšims (linijoms, paviršiams, kietosioms dalims, laikui). Visa teorija buvo paremta knygos pradžioje pateiktais apibrėžimais, kurių svarbiausią vaidmenį turėjo atlikti šie du: & ldquo3. Santykis yra tam tikras santykis dydžio atžvilgiu tarp dviejų tos pačios rūšies dydžių. 5. Sakoma, kad dydžiai yra to paties santykio, nuo pirmojo iki antrojo ir iš trečiojo į ketvirtąjį, kai, jei kas nors prilygsta pirmajam ir trečiajam, ir bet kokiems antrojo ir ketvirtojo lygiaverčiams, pirmiesiems vienodi vienetai viršija, yra lygūs vienodiems arba nesiekia pastarųjų lygiaverčių, atitinkamai paimtų atitinkama tvarka & rdquo (Heath, II, p. 114).

Reikėtų atkreipti dėmesį į apibrėžimą V. 3 yra tai, kad žodžių & ldquoa rūšies santykio reikšmė dydžio & rdquo atžvilgiu niekur nepaaiškinta Elementai. Tai kėlė problemų dėl jų aiškinimo, ypač graikų kalbos žodžio pēlikotēs, kuris įvairiai verčiamas kaip & ldquosize, & rdquo & ldquovalue, & rdquo arba & ldquoquantity. & rdquo

V.5 apibrėžimas buvo kertinis teorijos akmuo, nes jis galėjo būti taikomas visoms reikšmėms, nesvarbu, ar ji būtų proporcinga, ar neproporcinga, priešingai nei alternatyvus proporcingumo apibrėžimas, pateiktas VII knygos knygoje. Elementai, kuris, griežtai tariant, buvo taikomas tik skaičiams, tačiau buvo lengvai išplėstas iki proporcingo dydžio, būtent apibrėžimas VII.20: & ldquoNumbers yra proporcingi, kai pirmasis yra tas pats kartotinis, arba ta pati dalis, arba tos pačios dalys, antroji trečiasis yra ketvirtasis & rdquo (Heathas, II, p. 278).

Apibrėžimas V. 5 kėlė tam tikrų problemų. Visų pirma, lyginant daugybinių dydžių rodiklius, neatrodė, kad tai būtų aiškus ir akivaizdus ryšys su proporcingumo samprata. Antra, Euklidas nepateikė jokių nurodymų, kaip šis apibrėžimas buvo sukurtas ar įtvirtintas, kad nieko svarbaus Elementai patys, kad matematikai galėtų atskleisti jo ketinimus. Galiausiai, nors jis turėjo apibrėžti & ldquosame santykio sąvoką, & rdquo Euklido & rsquos ekspozicija neleido nustatyti ryšio tarp apibrėžimo V.3 ir apibrėžimo V.5 (Vahabzadeh, 2002, p. 10–11).

Nei vienas graikų komentaras apie V.5 apibrėžimą nebuvo pateiktas (Euclide d & rsquoAlexandrie, II, 1994, p. 539-43), tačiau arabų matematikos padėtis yra visiškai kitokia. Šis apibrėžimas iš tikrųjų sukėlė daugybę komentarų arabų kalba, kurių tikslas buvo arba pagrįsti jį įrodymu, arba pakeisti jį kitu apibrėžimu, vadinamu & ldquoanthyphairetic to paties santykio & rdquo apibrėžimu (žr., Pvz., Plooij, p. 48 -56, 61-66). Pastarasis apibrėžimas susidarė taikant procesą dviem homogeniniais dydžiais, paprastai vadinamu Euklido algoritmu, tačiau kurį istorikai taip pat vadina antryfaireze po graikiško žodžio, reiškiančio & ldquoalternating atimtis & & rdquo & ldquoreciprocal atimtis & rdquo. Tiksliau, atsižvelgiant į du vienarūšius dydžius, tuo mažesnis atimama iš didesnio tam tikro skaičiaus kartų, kol likusi dalis pasiekia mažesnį dydį. Tada ši likutis tam tikrą skaičių kartų atimamas iš mažesnio dydžio, kol vienas pasiekia antrą likutį mažiau nei pirmasis. Tada einama tokiu pačiu būdu su kiekviena iš eilės likusių porų. Tokiu būdu gautų natūralių skaičių seka gali būti laikoma dviejų dydžių santykio & ldquocharacteristic & rdquo. Jei kitos homogeniškų dydžių poros santykiui būdinga ta pati skaičių seka, sakoma, kad keturi dydžiai yra to paties santykio, tai yra, jie bus proporcingi (žr., Pvz., Plooij, p. 57- 60). Pavyzdžiui, tarkime, kad AB ir CD (2 pav.) Yra du vienarūšiai dydžiai. Tarkime, kad AB matuoja CD vieną kartą, paliekant ED mažiau nei AB, kad ED matuoja AB tris kartus, paliekant FB mažiau nei ED ir kad FB du kartus matuoja ED, paliekant GD mažiau nei FB. Jei elgsimės taip pat su visomis poromis iš eilės likusių liekanų, šis procesas suteiks seką 1, 3, 2 ir hellip

Taip pat laikykite KL ir MN (3 pav.) Dar viena homogeniško dydžio pora. Manome, kad KL matuoja MN vieną kartą, palikdamas ON mažiau nei KL, kuris ON matuoja KL tris kartus, paliekant PL mažiau nei ON, o PL matuoja ON du kartus, paliekant QN mažiau nei PL, ir elgiasi tuo pačiu būdu su kiekviena iš eilės likusių porų . Dabar, jei KL ir MN taikomas procesas duoda tą pačią seką 1, 3, 2 ir hellip, tada sakoma, kad AB ir CD santykis yra toks pat kaip KL ir MN santykis.

Kaip pažymėjo kai kurie istorikai (Plooij, p. 63 Gardies, p. 80–81, 90–91 Vahabzadeh, 1997, p. 253–57), vienas iš antrapetinio to paties santykio apibrėžimo bruožų yra tas, kad, skirtingai nuo Euklido ir rsquoso apibrėžimo, V.5, tai leidžia kiekvieną iš santykių, sudarančių proporciją, laikyti nepriklausomai nuo kito, o tai yra būtina norint įprasminti santykio sąvoką, visų pirma dėl santykio tarp bet kurių dviejų dydžiai kaip skaičius (žr. toliau, Santykių ir iracionalių skaičių sujungimas).

Euklidas jau naudojo antryfairetinį procesą, kad surastų didžiausią bendrą dviejų skaičių ir dviejų proporcingų dydžių matą (Elementai, Prielaidos VII.2 ir X.3). Jis taip pat naudojo jį kaip kriterijų, įrodantį, kad du skaičiai yra vienas prieš kitą ir kad du dydžiai yra nesuderinami (teiginiai VII.1 ir X.2), tačiau jis nenaudojo šio proceso proporcingiems dydžiams apibrėžti. Į Temos VIII.3. 158b 29-35, Aristotelis teigia: & ldquoPanašu, kad matematikoje kai kuriuos dalykus taip pat nėra lengva įrodyti, kad trūksta apibrėžimo, pavyzdžiui, teiginys, kad tiesi linija, lygiagreti pusei, kuri perpjauna plokštumą [ty lygiagretainį], dalijasi tuo pačiu būdu ir linija, ir plotas. Bet kai bus pateiktas apibrėžimas, tai, kas buvo pasakyta, iš karto paaiškės. Dėl sričių ir linijų yra tas pats pakaitinis atimimas (antanairezė) ir tai yra tos pačios proporcijos apibrėžimas & rdquo (Thomas, I, p. 507). Savo komentare apie šią ištrauką Aleksandras Afrodizijaus (apie 210 m.) Priduria: & ldquoProporcijoms, kurios buvo naudojamos senais laikais, apibrėžti: „Dydžiai, turintys tą patį pakaitinį atimimą (antifairezė) yra proporcingi. Bet jis [t. Y. Aristotelis] pašaukė antifairezė antanairezė& rdquo (Thomas, I, p. 507). Daugelis istorikų tai laiko įrodymu, kad prieš euklidinę matematiką egzistavo proporcingų dydžių apibrėžimas, pagrįstas antryfaireze, ir kai kurie bandė rekonstruoti tokią prieš euklidinę proporcijos teoriją, tačiau šio antryfairetinio apibrėžimo pėdsakų nerasta. bet koks išlikęs graikų matematinis tekstas (pvz., žr. Fowler, 1999a Euclide d & rsquoAlexandrie, II, p. 515-23 ir ypač Vitrac, 2002, p. 158-74).

Pirmasis matematinis tekstas, kuriame aiškiai paminėtas antryfairetinis to paties santykio apibrėžimas, yra traktatas apie sunkumo santykį (Resāla fi & rsquol-mo & scaronkel vyrai amr al-nesba) pateikė Abu ʿAbd-Allāh Moḥammadas gim. ʿĪsā b. Aḥmadas Māhāni (fl. 247/860). Joje Mahāni laiko dviejų vienarūšių dydžių santykį kaip būseną, atsirandančią kiekvienam dydžiui, matuojant kitu. Vadovaujantis Ṯābet b. Qorra, jis apibūdina šį matą antryfairetinio proceso metu, tada du santykiai bus vienodi, jei šis procesas duoda tą pačią skaičių seką, kai taikoma kiekvienai dydžių porai (žr. Aukščiau). Mahāni taip pat nurodo didesnio santykio apibrėžimą, pagrįstą antryfaireze. Tada jis įrodo, kad jo to paties santykio ir didesnio santykio apibrėžimai yra lygiaverčiai apibrėžimams V.5 ir apibrėžimams V.7 (Euklido ir rsquos didesnio santykio apibrėžimas) atitinkamai (Vahabzadeh, 2002, p. 12-14, 31-40).

Savo komentare apie „Euclid & rsquos“ Elementai, Abu & rsquol-ʿAbbāsas Nayrizi (apie 287/900) taip pat aiškino V.3 apibrėžimą antriferezės požiūriu, tačiau, priešingai nei jo pirmtakas Māhāni, jis mano, kad V.5 apibrėžimo įrodyti nėra būtina, nes, jo nuomone, , šis apibrėžimas priklauso V knygos principams. Jis taip pat netiria ryšio tarp to paties santykio antryfairetinio apibrėžimo ir apibrėžimo V.5 (Plooij, p. 51-53, 61).

Antroje savo komentaro dalyje Khayyamas ketina nuodugniai nagrinėti santykio ir proporcingumo tarp dydžių sąvokas, nes, jo nuomone, šis klausimas niekada nebuvo sprendžiamas patenkinamai ir filosofiškai. Komentuodamas Euklido & rsquos apibrėžimą V.3, Khayyamas sako, kad santykio sąvoka apima du dalykus: santykį tarp dviejų dydžių lygumo ir nelygybės atžvilgiu ir šio santykio dydį arba dydį. Jis paaiškina, kad ši sąvoka pirmą kartą buvo nustatyta natūraliais skaičiais, tai yra, kai atsižvelgiama į tarpusavyje susijusius skaičius, tai nustatoma, kad jie yra lygūs arba nevienodi, o jei jie yra nevienodi, tada mažesnis skaičius bus arba dalis, arba dalys didesnio. Pvz., Kadangi 3 matuoja 9 tris kartus, 3 yra trečdalis 9, o santykio 3 ir 9 dydis bus trečdalis, taip pat 2 yra du septintieji 7, o santykio 2 - 2 dydis 7 bus du septintieji. Apsvarstydamas šią sąvoką atsižvelgiant į dydžius, be pirmiau nurodytų trijų galimybių, rasite ketvirtąją, būtent tai, kad šie du dydžiai gali būti nesuderinami, todėl mažesnieji nebus nei didesnių, nei dalių dalis (Rashed and Vahabzadeh, 2000, p. 188, 234-35).

Tada jis primena „Euclid & rsquos“ apibrėžimą V.5 ir priduria: & ldquoBet tai neatsiranda (yonabbeʾ ʿan) tikras proporcingumas. Ar nematote, kad jei klausėjas teiraujasi sakydamas: Keturi dydžiai yra proporcingi pagal Euklido proporcingumą, o pirmasis yra antrojo pusė, ar trečiasis bus ketvirtojo pusė, ar ne? & Rdquo (Rashed ir Vahabzadeh , 2000, p. 236, su taisymu). Kitaip tariant, nors gana lengva įrodyti pradedant V.5 apibrėžimu, kad trečiasis dydis taip pat bus pusė ketvirtojo (nes pagal V.5 apibrėžimą du kartus trečias dydis yra lygus ketvirtam, taigi trečiasis akivaizdžiai yra pusė ketvirtojo), tačiau šis apibrėžimas nėra patenkinamas, nes jis neturi tiesioginės proporcingo dydžio savybės, kaip iš tikrųjų turėtų būti bet kuris tikras apibrėžimas.Jis vadina Euklido proporcinių dydžių ir „ldquocommon“ proporcingumo ir „rdquo“ koncepciją ir ketina kalbėti apie „ldquotrue proporcingumą“ ir „rdquo“ (Rashed ir Vahabzadeh, 2000, p. 188, 236).

Khayyam & rsquos santykio ir proporcingumo samprata iš esmės yra tokia pati kaip ir jo pirmtakų Māhāni ir Nayrizi. Tai yra, atsižvelgiant į du dydžius, jie bus arba lygūs, arba mažesni bus didesnio ar didesnių dalių dalis, o jei šie du dydžiai yra nesuderinami, santykis bus apibūdinamas antriferezės būdu, iš kur išplaukia, kad du santykiai bus nebūtinai turi būti vienodi, jei kiekvienai dydžių porai taikant antryfairetinį procesą gaunama ta pati skaičių seka. Khayyam taip pat apibrėžia didesnio santykio sampratą per antryphairesis. Tada jis įrodo, kad to paties santykio ir didesnio santykio antryfairetiniai apibrėžimai yra lygiaverčiai atitinkamiems Euklido & rsquos apibrėžimams. Taigi visos proporcingo dydžio savybės, kurios jau buvo nustatytos pagal Euklido teoriją, liks galioti teorijos, pagrįstos antryfairetiniais apibrėžimais, rėmuose, todėl šių savybių nereikia įrodinėti dar kartą (Rashed ir Vahabzadeh, 2000, p. 188–89, 236–49).

Santykių ir iracionalių skaičių sujungimas. VI knygos pradžioje randame Elementai apibrėžimas (dabar laikomas interpoliacija), pagal kurį santykis susideda iš santykių, kai, padauginus šių santykių dydžius, jie sukuria tam tikrą santykį. Bet Euklidas niekur nepaaiškina, ką jis turi omenyje & ldquothe santykio dydį, ir jau nekalbant apie šių dydžių & ldquomultiplication & rdquo. Tačiau jis naudoja koeficientų sumavimą, pateiktą VI.23 ir VIII.5 pasiūlymuose Elementai. Kiekvienu atveju jis be įrodymų pripažįsta, kad atsižvelgiant į tris dydžius arba tris natūralius skaičius A, B, C, A ir C santykis bus sujungtas su A ir B santykiu ir B ir C santykiu. Paskutinis teiginys, kurį matematikai naudoja sudedant santykius, dažnai buvo laikomas teiginiu, kurį reikėtų įrodyti. Tai iš tikrųjų pats save taiko Eutocijus iš Ascalono (apie 480 m.) Komentuodamas 2003 m. Sferoje ir cilindre, kuriame Archimedas (apie 287–212 m. pr. Kr.) naudojo ankstesnį teiginį apie santykių sudėjimą. Bet nors Eutocijus ketina pateikti bendrą įrodymą, kad šis teiginys galioja tiek natūraliems skaičiams, tiek dydžiams, jis atsižvelgia tik į skaičių santykius, todėl jo įrodymas netaikomas santykiams tarp nesuderinamų dydžių (Heath, p. 189-90, 247 -48, 354 Youschkevitch, p. 86-87 Netz, 2004a, p. 312-15).

Bernardas Vitracas parodė, kad Eutocius vėliau bandė įveikti ankstesnį apribojimą komentuodamas I.11 pasiūlymą. Kūginiai Apolonijaus iš Pergos (apie 262 m. pr. Kr.). Sako Eutocijus: sakoma, kad & ldquoA santykis yra padidintas, kai santykių dydžiai, padauginti iš jų, duoda kažką, suprantama, kad & lsquosize & rsquo yra akivaizdžiai pasakyta apie skaičių, į kurį santykis yra lygiavertis. Viena vertus, daugiklis gali būti natūralusis skaičius (pvz., Trigubo santykio dydis yra trys) su kitais santykiais, dydis būtinai bus skaičius ir dalis ar dalys [pvz., sesquialter santykio dydis yra pusantro], išskyrus atvejus, kai kas nors teigia, kad egzistuoja ir neišreiškiami santykiai, kaip ir tarp neracionalių dydžių. Kita vertus, akivaizdu, kad visais santykiais būtent šis dydis, padaugintas iš tolesnio santykio termino, sukurs ankstesnį & rdquo (Vitrac, 2000, Priedai, p. 99-100). Tada Eutocijus pateikia įrodymą, iš esmės tokį patį, koks pateiktas jo komentare dėl 2004 m Sferoje ir cilindre, tačiau šį kartą jis nenurodo, ar santykiai yra skaitiniai, ar ne. Galiausiai jis priduria: & ldquoBet skaitytojai neturi jaudintis dėl to, kad tai buvo įrodyta aritmetinėmis priemonėmis, net jei Senovės iš tiesų pasinaudojo šiomis demonstracijomis proporcijomis, kurios yra labiau matematinės nei aritmetinės, ir taip yra todėl, kad tyrimo objektas yra aritmetinis santykiams ir dydžiams, o skaičių padauginimas visų pirma priklauso nuo skaičių, o iš ten - ir nuo dydžių, kaip sakoma: & lsquofor atrodo, kad šie matematikos mokslai yra seserys & rsquo & rdquo (Vitrac, 2000, p. 100 plg.) Knorr, 1989, p. 157-59).

Eutocijaus komentarai dėl koeficientų sudėties yra pagrindas paaiškinti pagrindinę šiame kontekste iškylančią problemą. Būtent tai, kad graikų aritmetikoje skaičius laikomas daugybe nedalomų vienetų (tai, ką dabar vadiname natūraliuoju skaičiumi), vadinasi, dydis (pēlikotēs) dviejų skaičių arba dviejų proporcingų dydžių santykio, griežtai tariant, negalima laikyti skaičiumi, nebent santykio prieštaras yra pasekmės kartotinis. Todėl, jei norima skaičiumi laikyti bet kokių dviejų skaičių ar proporcingo dydžio santykį, reikės atsižvelgti į dalijamą vienetą, kaip graikų logistikoje, kur kalbama apie konkrečius, o ne su teoriniais vienetais. Pirmuoju atveju gaunamas vadinamasis sveikasis arba natūralusis skaičius, o antruoju - trupmeninis skaičius. Ir tuo atveju, jei norima atsižvelgti į santykį tarp dviejų nesulyginamų dydžių, galų gale gaunamas vadinamasis iracionalusis skaičius.

Dabar Khayyamas ketina įrodyti ankstesnį teiginį dėl santykių sumavimo bendru atveju, tai yra bet kokių trijų dydžių, ir būtent šiame kontekste jis atlieka išsamų santykio kiekybinio pobūdžio tyrimą ir iškelia iracionalaus skaičiaus samprata.

Khayyam'ui kiekvienas santykis išreiškia matą, ty tam tikras dydis laikomas vienetu, o kiti tos pačios rūšies dydžiai yra susiję su juo. Pavyzdžiui, & lquque santykio nuo trijų iki penkių & rdquo reikšmė yra & ldquothree-penktadaliai vieneto. & Rdquo Jei yra du santykiai tarp dviejų dydžių A ir B, jis tada laiko dydį G tokiu, kad jo santykis su vienetu yra tas pats kaip A ir B. santykis. Būtent šis dydis G išreikš A ir B. santykio matą (ty dydį). Khayyamas paaiškina: & ldquoAs tiriant, ar santykis tarp dydžių apima skaičių savo esme , ar jis neatsiejamas nuo skaičiaus, ar jis sujungtas su skaičiumi iš esmės ne iš esmės dėl kažko kito, ar jis sujungtas su skaičiumi dėl kažko, kas neatsiejama nuo jo esmės, nereikalaujant išorinio sprendimo: tai yra filosofinis tyrimas geometrikas jokiu būdu negali atsidėti, o šio tyrimo atlikėjas nėra atsakingas už geometrą, kai jis & lquorealealized, kad santykis tarp dydžių yra sujungtas su kažkuo skaitiniu ar potencialu numerio & rdquo (Youschkevitch, p. 87-88 Rashed ir Vahabzadeh, 2000, p. 251).

Įrodydamas aptariamą teiginį, Khayyamas grįžta per šias sąvokas: & Gdquo; G dydis neturėtų būti laikomas linija, paviršiumi, kietu ar laiku. Priešingai, jis turėtų būti laikomas intelektualiai abstrahuotu nuo šių papildomų simbolių ir kaip pridedamas prie skaičiaus: ne kaip tikrasis absoliutusis skaičius, nes gali būti, kad santykis tarp A ir B nėra skaitinis, todėl nėra du skaičius galima rasti pagal jų santykį & rdquo (Rashed ir Vahabzadeh, 2000, p. 253). Tokiu būdu jis sugeba sumažinti santykių sumą iki skaičių, išreiškiančių jų atitinkamus dydžius, padauginimo. Jis taip pat paaiškina, kad vienetas, kurį jis laiko, yra dalijamas vienetas (iš tikrųjų jo laikomas vienetas, būdamas dydžiu, dalijasi be galo) ir tik darant prielaidą, kad toks skaičius kaip 2 susideda iš dalijamų vienetų, mokėti kalbėti apie iracionalų skaičių & radic2, & rdquo, skirtingai nei senovės graikai, kuriems tokia sąvoka kaip & ldquothe iracionalus skaičius & radic2 & rdquo, regis, neturėjo jokios reikšmės, šiuo atveju jie kalbėtų tik apie dviejų nesumoduotų eilučių santykį, t. kvadrato įstrižainės ir jo šono santykis.

Štai kaip Omaras Khayyamas, aptardamas santykio ir skaičiaus sampratos ryšį ir aiškiai iškeldamas su tuo susijusias teorines problemas, įnešė lemiamą indėlį tiek į teorinį iracionalaus skaičiaus sampratos tyrimą, tiek į supratimas apie savo, kaip matematinės esybės, statusą. Nors nors Khayyam & rsquos požiūris (ne geometrui reikia pagrįsti santykio ir skaičiaus ryšį, kai jis supranta, kad toks ryšys egzistuoja) gali atrodyti matematiškai ydingas, jis iš tikrųjų atitinka požiūrį, kurį matematikai galiausiai priėmė daugeliui amžius. Tokį požiūrį galima rasti, pavyzdžiui, Isaaco Newtono & rsquos pradžioje Universali aritmetika, kur jis tvirtina be jokio pagrindimo: & ldquoIki Skaičiuokime mes suprasti, ne tiek daugybė vienybių, kiek abstrahuotas Bet kurio santykis Kiekis, į kitą tos pačios rūšies kiekį, kurį mes imamės vienybei. Ir šis yra tris kartus sveikasis skaičius, sulaužytasir surd: An Sveikasis skaičius, yra tai, ką matuoja Vienybė a Trupmena, tai, ką matuoja daugybė Vienybės dalių ir a Surd, kuriai Vienybė neprilygstama& rdquo (Niutonas, p. 2 Youschkevitch, p. 88–89).

(2) KADRANTO PASKIRSTYMO APRAŠAS APIE RATĄ

Šis rašinys neturi pavadinimo ir nėra datuotas, mes tik žinome, kad jis buvo parašytas prieš traktatą apie algebrą, nes pirmajame, kuriame nagrinėjama tik viena specifinė kubinė lygtis, Khayyam užsimena apie pastarosios temą, būtent visas kubinių lygčių gydymas (apie šį esė žr. Amir-Moez, 1961 Djebbar ir Rushdi).

Šio rašinio tikslas yra nustatyti (4 pav.) Duoto apskritimo ABCD kvadrate AB tašką G, kad spindulys AE būtų statmenam GH kaip EH HB. Kad tai pasiektų, Khayyamas naudoja tradicinį analizės ir sintezės metodą: jis pirmiausia daro prielaidą, kad problema išspręsta, ir tada išskiria tam tikras savybes, kurios leis jam sukonstruoti tašką G, kurio ieškoma.

Pirmoji analizė leidžia nustatyti stačiakampę hiperbolę, einančią per apskritimo E vidurį, kuris dėl sunkumo paliekamas nepasiektas. Antroje analizėje Khayyamas daro prielaidą, kad taškas G yra žinomas, ir pritraukia apskritimo liestinę GI. Taigi jam nustatomas trikampis EGI, kurio kampas yra ties G.

Išnagrinėjęs tam tikras šio trikampio savybes, jis daro prielaidą, kad HG yra & ldquothing, tai yra nežinoma lygtis, dar vadinama & ldquoroot & rdquo arba & ldquoside, & rdquo, ir kad EH yra lygus 10. Taigi jis paskatinamas išspręsti lygtis & ldquoa kubas ir du šimtai dalykų yra lygūs dvidešimt kvadratų ir du tūkstančiai. & rdquo Tada jis sukonstruoja šios lygties sprendimą naudodamas apskritimą ir stačiakampį hiperbolą. Tada jis sugeba sukonstruoti trikampį EGI, taigi ir tašką G, kurio ieškoma (Rashed ir Vahabzadeh, 2000, p. 97-107, 165-70, 174-79).

Vieninteliame žinomame šio traktato rankraštyje (Teherano universiteto bibliotekos 1751 m. Rinkinyje) po Khayyam & rsquos teksto seka trumpa problema, nepriskiriama nei Khayyam, nei niekam kitam. Joje taškas G iškart nustatomas kaip duoto apskritimo ir stačiakampio formos hiperbolės, einančios per tašką B, sankirta, o ne taškas E, kaip pirmojoje Khayyam & rsquos analizėje, o asimptotais yra CA ir statmenas CA, ištrauktas iš taško C .

„Khayyam & rsquos Essay“ taip pat yra svarbus nukrypimas nuo pagrindinių algebros sąvokų ir kubinių lygčių klasifikacija. Khayyamas pirmiausia paaiškina, kad tai, ką algebrai vadina & ldquosquared-square, & rdquo & ldquosquared-kubas, & rdquo & ldquocubed-kubas, & rdquo & hellip (t. Y. Šiuolaikiniame žymėjime, x 4, x 5, x 6 & hellip), neturi prasmės prasminguose dalykuose, taigi kad šias išraiškas reikia suprasti tik metaforiškai. Tada jis priduria: & ldquoAnalograistų naudojami dalykai, egzistuojantys protinguose dalykuose ir ištisiniuose dydžiuose, yra keturi: skaičius, daiktas, kvadratas ir kubas & rdquo (Rashed ir Vahabzadeh, 2000, p. 171). Jis paaiškina, kad skaičius yra kažkas, kas intelekte abstrahuojama iš materialių dalykų: tai yra universalus suprantamas dalykas, kuris negali egzistuoti konkrečiai, nebent susijęs su tam tikrais objektais. Kalbant apie daiktą, jo padėtis dydžių atžvilgiu yra tiesi. Kvadratas, žinoma, bus kvadratas, kurio kraštas yra lygus daiktui, taip pat kubas bus kubas, kurio kraštas yra lygus daiktui (Rashed ir Vahabzadeh, 2000, p. 170–71).

Tada Khayyamas pateikia kubinių lygčių klasifikaciją, kurioje jis vadovaujasi Moḥammado b. Musā Ḵˇārazmi. Kaip žinoma, Ḵˇārazmi parašė traktatą apie algebrą (al-Jabr wa & rsquol-moqābala) al-Maʾmuno kalifato metu (r. 198-218 / 813-33). Jame Ḵˇārazmi pirmą kartą pristatė pagrindines sąvokas, vartojamas visame savo traktate, kurias jis apibrėžė kaip trijų rūšių numerius, reikalingus algebriniams skaičiavimams. Šios trys rūšys yra & ldquosquares, & rdquo & ldquoroots & rdquo (kurias jis taip pat vadina & ldquothings & rdquo) ir & ldquosimple numeris & axd 2, bx ir c, kur a, b, c yra natūralūs skaičiai arba teigiamos trupmenos). Tada jis apsvarstė visus šių trijų rūšių derinius, taip gaudamas tris lygtis tarp dviejų terminų (ty ax 2 = bx, ax 2 = c, bx = c) ir tris lygtis, kuriose yra trys terminai (ty ax 2 + bx = c, ax 2 + c = bx, bx + c = ax 2). Ḵˇārazmi paaiškino, kaip išspręsti kiekvieną iš šių šešių lygčių, kai aukščiausio laipsnio termino skaičius buvo sumažintas iki vieno. Jis išsprendė dviejų terminų lygtis pateikdamas konkrečius pavyzdžius, tačiau pateikė šių trijų terminų sprendinius bendros taisyklės forma, taikytina bet kuriai tos pačios rūšies lygčiai, ir pateisino kiekvieną taisyklę geometrine konstrukcija. Tada jis pritaikė šias taisykles sprendžiant įvairias teorines ir praktines problemas (Ḵˇārazmi, tr. Rozen, p. 5–21 ir passim).

Khayyamas pirmiausia primena, kad deriniai tarp skaičiaus, šaknų ir kvadrato duoda šešias lygtis, kurias algebrai jau išsprendė. Tada jis apsvarsto visas skaičių, šaknų, kvadratų ir kubo kombinacijas, iš kurių gaunamos trečiojo laipsnio lygtys. Šios lygtys yra paprastos arba sudėtinės. Paprastos lygtys yra tarp dviejų terminų. Sudėtinės lygtys yra tokios, kurios apima daugiau nei du terminus: jos yra arba trinominės, arba kvadrinominės. Taigi Khayyam vedamos į tris paprastas lygtis (ty x 3 = ax 2, x 3 = bx, x 3 = c), devynias trinomines lygtis (ty x 3 + ax 2 = c, x 3 + ax 2 = bx, x 3 + c = bx, x 3 + c = ax 2, x 3 + bx = c, x 3 + bx = ax 2, ax 2 + bx = x 3, ax 2 + c = x 3, bx + c = x 3) ir septynios kvadrinominės lygtys (ty x 3 = ax 2 + bx + c, x 3 + bx + c = ax 2, x 3 + ax 2 + c = bx, x 3 + ax 2 + bx = c , x 3 + ax 2 = bx + c, x 3 + bx = ax 2 + c, x 3 + c = ax 2 + bx). Atmetęs tas, kurias galima sumažinti iki mažesnio laipsnio lygties, jis gauna keturiolika kubinių lygčių, kurias visas galima išsiaiškinti tik naudojant kūginius pjūvius (Rashed ir Vahabzadeh, 2000, p. 172-73).

Tada jis mums praneša, kad iš senolių nieko neatsitiko dėl šių keturiolikos kubinių lygčių ir kad Mahāni buvo pirmasis, kuris susidorojo su viena iš jų. Māhāni bandė išspręsti šią lemmą, kurią Archimedas panaudojo savo traktato II.4 pasiūlyme Sferoje ir cilindre: pateiktos (5 pav.) dvi eilutės DB ir BZ, kur DB yra du kartus BZ, ir suteiktas taškas T ant BZ, norint iškirpti DB taške X, kad XZ būtų TZ kaip kvadratas DB iki kvadrato DX ( Rashed ir Vahabzadeh, 2000, p. 173).

Nors Archimedas pažadėjo vėliau parodyti, kaip nustatyti X tašką, šios problemos sprendimas niekada nebuvo rastas nė viename jo rašte. Eutocijus, komentuodamas šį teiginį, visiškai atkartoja tekstą, kurį rado & lququoin tam tikrą seną knygą, & rdquo ir kuri galėtų atitikti Archimedo & rsquo sprendimą: joje problema geometriškai sprendžiama naudojant parabolę ir stačiakampę hiperbolę (Netz, 2004a, p. 318-30, idem, 2004b, p. 16-29).

Māhāni sumanė analizuoti šią lemmą algebros priemonėmis, todėl jis buvo nukreiptas į lygtį & ldquoa kubas, o skaičius yra lygus kvadratams. & Rdquo. Jis bandė išspręsti kūginius pjūvius, tačiau taip negalėjo rasti jos sprendimo & ldquohe išsprendė klausimą sakydamas, kad tai neįmanoma & rdquo (Rashedas ir Vahabzadehas, 2000, p. 173). Kol Abu Jaʿfaras Moḥammadas Ḵāzenas (d. Tarp 350-60 / 961-71) galutinai jį išsprendė kūginėmis dalimis. Tada tai išsprendė Abu Naṣr gim. RāErāq ​​(10–11 a.), Taip pat naudojant kūgius, lygybė & ldquoa kubas ir kvadratai yra lygūs skaičiui, ir prie kurio jis buvo vedamas, algebriškai analizuodamas lemmą, kurią Archimedas pripažino norėdamas nustatyti šono pusę taisyklingas septyniakampis, užrašytas ratu. Abu & rsquol-Judas Moḥammadas gim. al-Layṯ (10–11 a.) išsprendė konkretų atvejį, kai lygtis & ldquosquares yra lygūs kubui ir šaknims bei skaičiui, ir matematikai buvo nukreipti analizuojant šią problemą: padalinti dešimt į dvi dalis taip, kad jų kvadratų suma, pridedama prie didesnių iš mažesnių dalijimo, bus septyniasdešimt du (Rashed ir Vahabzadeh, 2000, p. 173).

Taigi, pagal Khayyam & rsquos liudijimą, yra trys kubai, prie kurių jis taip pat prideda lygtį & ldquoa kubas yra lygus skaičiui, & rdquo, kurie jau buvo išspręsti & ldquoby mūsų žymūs pirmtakai & rdquo (Rashed ir Vahabzadeh, 2000, p. 174). Jis baigia savo nukrypimą pridurdamas, kad likusių dešimties niekas neaptarė ir nepateikė visų kubų klasifikacijos, ir kad jis ketina sudaryti traktatą, kuris apims išsamų jų nagrinėjimą (Rashed ir Vahabzadeh, 2000, p. 174). .

Apskritai galima sakyti, kad pagrindinis šio „Khayyam“ rašinio susidomėjimas nėra susijęs su Khayyam & rsquos specifinės apskritimo kvadrato padalijimo problemos sprendimu, nes šią problemą galima išspręsti iškart pasirinkus tinkamą hiperbolą , bet tuo, kad suteikia mums įžvalgų apie Khayyam & rsquos metodiką ir svarbių duomenų, susijusių su kubinių lygčių istorija.

(3) ALGEBROS SUTARTIS

Tai yra Maqāla fi & rsquol-jabr wa & rsquol-moqābala (Traktatas apie algebrą lit. Traktatas apie restauravimą ir palyginimą) vienas rankraštis turi pavadinimą Resāla fi & rsquol-barāhin ʿalā masāʾel al-jabr wa & rsquol-moqābala (Traktatas apie algebros Rashed ir Vahabzadeh problemų demonstravimą, 1999, p. 117 Woepcke, Ar. Text, p. 1). Šiame nedatuotame traktate Khayyamas realizuoja projektą, jau minėtą savo esė, tai yra išsamų kubinių lygčių tyrimą. Be įžanginio skyriaus, kuriame Khayyamas imasi ir praplečia jau eseistines diskusijas, šį traktatą galima suskirstyti į tris dalis: lygtis, kurias galima išspręsti valdikliu ir kompasu, tai yra Euklido ir rsquoso pagalba. Elementai ir Duomenys lygtis, kurias galima išspręsti tik naudojant kūginius pjūvius, ty naudojant Apollonius & rsquos Kūginiai ir lygtys, susijusios su atvirkštine nežinomybe.

Savo traktato įžangoje Khayyamas algebrą apibrėžia kaip & ldquoa mokslinį meną, kurio tema yra absoliutūs skaičiai ir išmatuojami dydžiai, kurie nėra žinomi, tačiau yra susiję su kažkuo žinomu, kas leidžia juos nustatyti & rdquo (Rashed ir Vahabzadeh, 2000, p. 112-13). Pagal aristotelietišką filosofiją, ką čia Khayyam reiškia & ldquoabsoliutais skaičiais & rdquo, yra natūralūs skaičiai, tai yra, diskretūs kiekio dydžiai yra & ldquoa nuolatinis dydis, kurio yra keturi: linija, paviršius, kietasis ir laikas, koks jis yra paminėtas bendrai Kategorijos [6, 4b20-25] ir išsamiai Pirmoji filosofija [Metafizika, & Delta, 13, 1020a7-33] ir rdquo (Rashedas ir Vahabzadehas, p. 113). Khayyamas supranta ne tik matematines sąvokas pagal aristoteliečių filosofiją, bet ir primygtinai reikalauja, kad jo traktate esantys įrodymai iš esmės būtų paremti klasikinių graikų geometrų darbais: & ldquoTurime suvokti, kad šio traktato nesupras tik tas, kuris meistrai Euklidas ir rsquos dirba ElemenasTS ir jo darbas Duomenys, taip pat veikia dvi Apolonijaus knygos Kūginiai ir kad jei kas nors gerai neišmano nė vieno iš šių trijų [kūrinių], jis jokiu būdu to nesupras & rdquo (Rashed ir Vahabzadeh, 2000, p. 113, tas pats teiginys dar kartą patvirtintas 127, 142, 145 p.).

Kaip ir savo rašinyje, Khayyamas klasifikuoja lygtis, gautas derinant skaičių, šaknis, kvadratus ir kubą. Bet jis čia apsvarsto visas pirmojo, antrojo ir trečiojo laipsnio lygtis. Taigi jis gauna šešias paprastas lygtis ((pvz., C = x, c = x 2, c = x 3, bx = x 2, bx = x 3, ax 2 = x 3), dvylika trinomių lygčių (ty x 2 + bx = c, x 2 + c = bx, bx + c = x 2, x 3 + ax 2 = bx, x 3 + bx = ax 2, x 3 = bx + ax 2, x 3 + bx = c, x 3 + c = bx, c + bx = x 3, x 3 + ax 2 = c, x 3 + c = ax 2, c + ax 2 = x 3) ir septynios kvadrinominės lygtys (ty x 3 + ax 2 + bx = c, x 3 + ax 2 + c = bx, x 3 + bx + c = ax 2, x 3 = bx + ax 2 + c, x 3 + ax 2 = bx + c, x 3 + bx = ax 2 + c, x 3 + c = bx + ax 2), tai yra iš viso dvidešimt penkios lygtys.

Lygtys, kurias galima išspręsti valdikliu ir kompasu, yra tiesinės ir kvadratinės lygtys, taip pat kubikos, kurias galima sumažinti iki mažesnio laipsnio lygties. Vienintelė tiesinė lygtis yra: & ldquoa skaičius yra lygus šaknims & rdquo, o jo skiriamoji geba yra paprasta.

Kvadratinių lygčių skiriamoji geba parodyta tiek skaitine, tiek geometrine prasme. Geometrinis įrodymas pasiekiamas įvedus ilgio vienetą, kuris leidžia Khayyamui bet kurios kvadratinės lygties sąlygas pavaizduoti stačiakampėmis figūromis, kad pradinė algebrinė lygtis paverstų lygtį tarp stačiakampių ir kvadratų, tai yra tarp geometrinių dydžių tokiu būdu. Khayyamas geba pritaikyti Euclid & rsquos nustatytus rezultatus Elementai ir Duomenys (Rashed, 1997, p. 44).

Pavyzdžiui, paprastoji lygtis & ldquoa skaičius yra lygus kvadratui, o rdquo yra išspręsta tokiu būdu: skaitinis sprendimas randamas išskaičiuojant kvadratinę skaičiaus šaknį. Norėdami išspręsti lygtį geometriškai, Khayyamas pirmiausia daro prielaidą (6 pav.), Kad tiesė AC yra lygi vienetui, ir nubrėžia AB, lygią nurodytam skaičiui ir statmeną kintamajam, stačiakampio AD matas bus nurodytas skaičius. Taigi reikia sukonstruoti kvadratą E, lygų nurodytam stačiakampiui AD, ir ši konstrukcija parodyta II.14 Elementai. Tada bus nurodyta kvadrato E kraštinė, kaip parodyta duomenų 55 pasiūlyme, ir tai bus geometrinis lygties sprendimas.

Antrojo laipsnio trinomos lygtys sprendžiamos skaitmeniškai, kaip ir Ḵˇārazmi & rsquos traktate, tai yra taikant bendrąją taisyklę, taikomą visoms tos pačios rūšies lygtims. Khayyamas šias lygtis sprendžia geometriškai taip pat, kaip ir jo pirmtakai, ty analitiškai, tačiau jis prideda ir sintetinį įrodymą.

Tarkime, pavyzdžiui, lygtis & ldquoa kvadratas ir dešimt šaknų yra lygūs trisdešimt devyniems. & Rdquo Norėdami rasti skaitinį sprendimą, jis nurodo tokią taisyklę: & ldquoPadauginkite pusę šaknų skaičiaus į save, pridėkite produktą skaičių ir iš sumos šaknies atimkite pusę šaknų skaičiaus. Likusi dalis bus kvadrato šaknis (Rashed ir Vahabzadeh, 2000, p. 120 plg. Ḵ˘ārazmi, tr., Rosenas, p. 8). Tai, kad & ldquonumber & rdquo čia reiškia & ldquonatural number & rdquo, aiškiai reiškia šis teiginys: & ldquoNumeriškai šios dvi sąlygos yra būtinos: pirmoji iš jų, kad šaknų skaičius būtų lyginis skaičius, kad jis galėtų turėti dalį ir antra, kad pusės šaknų ir skaičiaus kvadrato suma būtų kvadratinis skaičius. Priešingu atveju problema būtų neįmanoma skaitmenine prasme (Rashed ir Vahabzadeh, 2000, p. 120). Kitaip tariant, čia Khayyam atmeta tiek dalinius, tiek iracionalius skaičius.

Kalbant apie geometrinį sprendimą, Khayyam pateikia tris skirtingus įrodymus. Pirmasis įrodymas pagrįstas II.6 pasiūlymu Elementai, ir yra praktiškai tas pats, kurį gamino Ṯābet b. Qorra patvirtindamas algebrines problemas geometrinių įrodymų pagalba (Ṯābet & rsquos proof in Rashed, 2009, p. 160-65), antrasis įrodymas atkartoja Ḵˇārazmi & rsquos įrodymą. Abu įrodymai yra analitiniai, nes abiejuose daroma prielaida, kad ieškoma aikštės pusė yra nurodyta, o tai reiškia, kad ši aikštė jau pastatyta. Khayyam pateikia trečią sintetinį įrodymą. Jis daro prielaidą (7 pav.), Kad tiesė AB yra lygi 10, o stačiakampis E yra lygus 39. Tada jis taiko AB stačiakampį BD, lygų E ir viršijantį AB kvadratu AD, kaip parodyta VI pasiūlyme. 29 iš Elementai. Bus pateiktas kvadrato kraštinės kraštinis kraštas, kaip parodyta 59 pasiūlyme Duomenys. Taigi linija AC bus ieškoma šaknis.

Lygtys, kurias galima išspręsti tik naudojant kūgius, yra keturiolika kubikų, kurių negalima sumažinti iki mažesnio laipsnio lygties (žr. Aukščiau). Khayyamas mums praneša, kad nei jis, nei jo pirmtakai nesugebėjo jų išspręsti skaitmeniniu būdu, pridurdami, kad & amp; tikėtina, kad kažkas kitas tai sužinos po mūsų & rdquo (Rashed ir Vahabzadeh, 2000, p. 114, kubinių lygčių sprendimo skaitinės taisyklės buvo atrastos XVI a. amžiaus italų algebrininkai Scipione del Ferro ir Niccolo Fontana Tartaglia). Khayyam šias lygtis sprendžia tik geometriškai, naudodamas kūginių pjūvių savybes. Šių keturiolikos kubinių tirpalų konstrukcija sudaro didžiąją Khayyam & rsquos traktato dalį.

Kaip ir kvadratinių lygčių atveju, sprendinių konstrukcija pasiekiama įvedus ilgio vienetą, kuris leido Khayyamui kiekvieną kubinės lygties terminą pavaizduoti stačiakampiu gretasieniu, kad pradinė algebrinė lygtis pavirstų kietųjų medžiagų, tai yra tarp geometrinių dydžių, lygtis. Tokiu būdu Khayyamas sugebėjo savo demonstracijas pagrįsti Euklidu ir rsquos Elementai ir Duomenys, ir „Apollonius & rsquos“ Kūginiai.

Khayyamas pirmiausia įrodo tris lemmas. Pirmoji lemma leidžia jam sukonstruoti kubą, lygų tam tikram stačiakampiui gretasieniui, o antroji ir trečioji lemos yra naudojamos kiekvieną kartą, kai Khayyam reikia kubinėje lygtyje pateikti skaičių kaip kietąją medžiagą, turinčią arba tam tikrą pagrindą, arba nurodytą aukštį. Dabar jis gali geometriškai išspręsti lygtį & ldquoa kubas yra lygus skaičiui & rdquo (jo skaitinis sprendimas yra skaičiaus kubo šaknis). Jis sukonstruoja stačiakampį gretasienį ABCD, kurio pagrindas AC yra vieneto kvadratas ir kurio aukštis BD yra lygus nurodytam skaičiui. Taigi reikia sukonstruoti kubą KHIL, lygų ABCD.

Jis paima dvi eilutes (E ir G), kurios yra vidutinės proporcijos tarp AB, BD (ty tarp vieneto ir nurodyto skaičiaus), kaip parodyta pirmojoje lemoje, ir įrodo, kad kubas KHIL, kurio kraštas HI yra lygus E, tada būti lygus ABCD, tai yra, nurodytam skaičiui. Todėl šoninė HI bus lygties sprendimas.

Kiekviena iš likusių kubinių lygčių išsprendžiama dviem vienos šakos kūgiais. Khayyamas kiekvienu atveju tiria taškų, kuriuose šie kūgiai susikerta ar liečiasi, skaičių (neatsižvelgiant į jų viršūnes): atitinkamai lygtyje bus vienas arba du sprendimai. Tačiau kai kuriais atvejais kūgiai nei susikerta, nei liečiasi, o lygtis yra & ldquoimpossible & rdquo: jos negalima išspręsti geometriškai (Rashed ir Vahabzadeh, 2000, p. 130-56).

Šioje savo traktato dalyje Khayyamas pateikia tik sintetinius įrodymus, kuriuose jis puikiai išmano klasikinę graikų geometriją. Tačiau kiekvienos lygties sprendimas greičiausiai buvo rastas atlikus analizę. Roshdi Rashedas rekonstravo tokią lygties & ldquoa kubo analizę ir kraštinės yra lygios skaičiui & rdquo (ty x 3 + bx = c) pakeisdami Khayyam & rsquos tvarką sintetinis įrodymas (Rashed ir Vahabzadeh, 2000, p. 37). Tai išreiškiama Khayyam vartojama matematine kalba: AB tegul kvadrato MB kraštas yra lygus kraštų skaičiui (t. Y. Iki b). Konstruojame (9 pav.) Stačiakampį gretasienį, kurio pagrindas yra MB ir kuris yra lygus nurodytam skaičiui (t. Y. Iki c), kaip parodyta antrojoje lemoje, ir tegul jo aukštis yra BC.

Dabar manome, kad problema išspręsta ir kad BE yra ieškomo kubo kraštas (t. Y. X) ir mes užpildome kvadratą EL. Lygiagretainis EM bus lygus šonams (t. Y. Su bx), tačiau gretasienis BN yra lygus skaičiui (t. Y. C). Todėl likęs gretasienis EN bus lygus BE kubui (t. Y. C & ndash bx = x 3), nes BE pagal hipotezę yra lygties šaknis. Kitaip tariant, kietasis, kurio pagrindas yra AB kvadratas ir kurio aukštis yra EC, yra lygus kubui, kurio kraštinė yra BE. Todėl jų pagrindai bus abipusiai proporcingi jų aukščiams, o AB kvadratas yra BE kvadratui, kaip BE yra CE.

Dabar (10 pav.) Tegul ED yra tiesi, statmena BC ir tokia, kad AB turi būti BE kaip BE prieš ED. Todėl AB bus ED santykis dvigubu AB ir BE santykiu, tai yra, kaip AB kvadratas su BE kvadratu. Bet AB kvadratas yra BE kvadratas, kaip BE su EB. Todėl AB turi būti ED kaip EB su EB, o pakaitomis AB turi būti BE kaip ED į EB. Bet AB turi būti BE kaip ir ED. Todėl BE yra ED kaip ED ir EC, todėl ED kvadratas yra lygus BE ir EC sandaugai. Taigi taškas D yra apskritime, kurio skersmuo yra BC. Be to, kadangi AB turi būti BE kaip BE į ED, BE kvadratas bus lygus AB ir ED sandaugai. Todėl DG kvadratas yra lygus AB ir BG sandaugai. Taigi taškas D taip pat yra parabolėje, kurios viršūnė yra B, kurios ašis yra BG, o stačioji pusė yra AB.

Taigi analizė leido nustatyti puslankio ir parabolės sankirtą. Sintezėje Khayyamas sukonstruoja parabolę HBD ir puslankį BDC, iš D susikirtimo taško nubrėžia tiesią DE statmeną BC liniją ir tada įrodo, kad BE yra ieškomo kubo pusė. Pasak Rashedo, likę kubikai buvo išspręsti tuo pačiu metodu (Rashed ir Vahabzadeh, 2000, p. 37, 130-32), todėl ankstesnė analizė tikriausiai leidžia mums įžvelgti patį procesą, kuris paskatino Khayyamą išspręsti trečiąsias laipsnio lygtys.

Paskutinė Khayyam & rsquos traktato dalis yra skirta lygtims, susijusioms su atvirkštine nežinomybe (t. Y. X -1). Siekdamas išspręsti tokią lygtį, Khayyamas atvirkštinę vertina kaip naują nežinomybę ir tokiu būdu nukreipiamas į vieną iš dvidešimt penkių anksčiau tirtų lygčių. Tada jis randa pastarosios lygties sprendimą ir, imdamas atvirkštinę, gauna pradinės lygties sprendimą. Šioje savo traktato dalyje Khayyamas nukrypsta nuo griežtos Euklido metodikos, parodytos skiriant kvadratinių ir kubinių lygčių raišką, nes čia jis tik sprendžia konkrečias lygtis ir nepateikia jokių įrodymų. Be to, jis neapriboja skaičiaus sampratos tik natūraliais skaičiais, kaip anksčiau, ir aiškiai mini trupmeninius skaičius (Rashed ir Vahabzadeh, 2000, p. 156–59). Taigi faktas, kad Khayyamas ankstesnėse savo traktato dalyse išmetė trupmenas, atrodo sąmoningas ir tai turėjo būti dėl jo noro, jei įmanoma, vadovautis Euklido skaičiaus samprata, tai yra daugybe, susidedančia iš nedalomų vienetų. Bet tai būtų buvę praktiškai neįmanoma, kai sprendžiamos lygtys, susijusios su atvirkštine nežinomybe.

Mes jau pastebėjome, kad vienas ryškiausių Khayyam & rsquos traktato apie algebrą bruožų yra jo argumentacijos geometrinis pobūdis. Žinoma, dvidešimt penkios lygtys, kurias jis ketina išspręsti, savaime yra algebrinės sąvokos, ir jo klasifikacija vargu ar galėjo būti sukurta be ankstesnio Ḵˇārazmi darbo, tačiau kartą pavertus santykį tarp geometrinių figūrų, šios lygtys nagrinėjamos grynai Euklidinis būdas. Taip pat Khayyamas nuolat kalba apie stačiakampio ir tiesės sandaugą, kur Euklidas kalbėtų apie gretasienio stačiakampį su stačiakampiu kaip pagrindu ir tiesia linija kaip aukščiu (pvz., Rashed ir Vahabzadeh, 2000, p. 119, 125–26 Heath, III, p. 345–47), tačiau ši terminologija nėra visiškai svetima graikų geometrijai, nes ji taip pat randama Eutocius & rsquos komentare apie II.4 teiginį. Sferoje ir cilindreir net Archimede & rsquo pakaitinis įrodymas to paties II.8 teiginiui (Netz, 2004a, p. 227-31, 320 ff. idem, 2004b, p. 97-120, taip pat žr. 2004b, p. 164-65). Apskritai atrodo, kad šiame traktate Khayyamas sąmoningai grįžo prie griežtų graikų geometrų metodų ir kad tokiu būdu jis sugebėjo ant tvirtų pamatų sukurti kvadratinių ir kubinių lygčių teoriją.

(4) N-ojo SKAIČIŲ ŠAKNIO IŠTRAUKIMO SUTARTIS

Be ankstesnių darbų, Khayyamas taip pat parašė aritmetinį darbą, į kurį jis užsimena savo traktate apie algebrą: & ldquoIndianai turi metodus, kaip nustatyti kvadratų ir kubų kraštus, remdamiesi ribota indukcija, ty žinodami apie kvadratus devyni skaičiai & mdashIšreiškia vieneto kvadratą, du, trys, ir taip toliau & mdashand taip pat jų produktas vienas į kitą & mdashAš reiškia dviejų į tris sandaugą ir pan. Mes parašėme knygą, kad parodytume šių metodų teisingumą ir tai, kad jie atitinka reikalavimus, ir padidinome jų rūšis, turiu omenyje kvadrato, kvadrato, kubo, kubo kubas, kad ir kokį laipsnį jis galėtų pasiekti. Ir niekas to nepadarė prieš mus. Tačiau šios demonstracijos yra tik skaitinės demonstracijos, pagrįstos aritmetinėmis Elementai& rdquo (Rashedas ir Vahabzadehas, 2000, p. 116-17, su korekcija). Ši knyga nenusileido mums ir yra žinoma tik per ankstesnę citatą. Tačiau VN Or. 199 Leideno universiteto bibliotekoje (kurioje taip pat yra „Euclid & rsquos“ komentaro kopija Elementai) savo tituliniame puslapyje, neįtraukdamas jo, išvardijamas Khayyamo kūrinys, pavadintas Mo & scaronkelāt al-ḥesāb (Aritmetikos sunkumai). Šis darbas gali atitikti jo traktatą apie n-ųjų šaknų ištraukimą (Rosenfeldas ir Youschkevičius, VII, p. 325–26 Youschkevitch, p. 76, 80).

Leidimai ir vertimai.

Resāla fi & scaronarḥ mā a & scaronkala men moṣādarāt Ketāb Oqlides: red., T. Erani (Arāni), Teheranas, 1936 m. ir tr, Jalāl-al-Din Homāʾi, in idem, Ḵayyāmi-nāma Aš, Teheranas, 1967 (p. 177-222, 225-80) tr. Ali R. Amir-Moezas, kaip & ldquo Omaro Ibn Abrahimo al-Khayyami (Omaras Khayyamas) diskusija apie Euklido sunkumus ir kt. „Scripta Mathematica“ 24/4, 1959, p. 275-303, repr. Fuat Sezgin, red., Islamo matematika ir astronomija 46, Frankfurtas prie Maino, 1998, p. 293-321 (neišsamus ir netikslus vertimas) red. A. I. Sabra, in idem, & ldquoOmar Khayyām: Euklido ir rsquos postulatų sunkumų paaiškinimas ir rdquo Ph.D. dis., Aleksandrija, 1961 m. Ahmedas Djebbar, kaip & ldquoL & rsquoEmergence du concept de nombre r & eacuteel positif dans l & rsquo & eacutep & icirctre d & rsquoal-Khayyām (1048-1131) sur l & rsquoexplication des pr & eacutemisses probl & eacutematiques du Išankstinis leidimas 97, Nr. 39, Universitetas & eacute de Paris-Sud, 1997 m., Tr., Kaip & ldquoEp & icirctre d & rsquoOmar Khayyām sur l & rsquoexplication des pr & eacutemisses probl & eacutematiques du livre d & rsquoEuclide (traduction fran & cdilaise), Farhangas 14, 2002, p. 79–136 (pataisyta prancūzų kalba pateiktos ankstesnės redakcijos versija).

Maqāla fi & rsquol-jabr wa & rsquol-moqābala: tr. Daoudas S. Kasiras, kaip Omaro Khayyamo algebra, Niujorkas, 1931, repr. Fuat Sezgin, red., Islamo matematika ir astronomija 45, Frankfurtas prie Maino, 1998, p. 261-392 tr. H. J. J. Winter ir W. ʿ Arafatas, kaip ir ldquo ʿ Umar Khayyām algebra ir rdquo JRASB, mokslas 1950 m. Vasario 16 d., 27–78 p., Pakartoti Fuat Sezgin, red., Islamo matematika ir astronomija 46, Frankfurtas prie Maino, 1998, p. 241-92 red. ir tr. Ahmedas Djebbaras ir Roshdi Rashedas, kaip L & rsquo & OEliguvre alg & eacutebrique d & rsquoal-Khayyām, Alepo, 1981 (taip pat red. Ir tr. Esė apie apskritimo kvadrato padalijimą) red. ir tr., Franzas Woepcke'as, Orai Alkhayy dviems savaitėms skirti tik asmeniniams, nekomerciniams tislams naudoti., Paryžius, 1851 repr. Fuat Sezgin, red., Islamo matematika ir astronomija 45, Frankfurtas prie Maino, 1998, p. 1-206 („editio princeps“) tr. Roshdi Khalil, kaip Nepaprastai išmintingo belAbel Fatho Omar Bin Al-Khayyam esė apie algebrą ir lygtį: Algebra wa al-Muqabala, Skaitymas, JK, 2008 m.

Ali R. Amir-Moez, tr., & Ldquo Omaro Khayyamo popierius ir rdquo „Scripta Mathematica“ 26/4, 1961, p. 323-37, repr. Fuat Sezgin, red., Islamo matematika ir astronomija 46, Frankfurtas prie Maino, 1998, p. 323-37 („Khayyam & rsquos Essay“ apie apskritimo kvadrato padalijimą).

Roshdi Rashedas ir Bijanas Vahabzadehas, tr., „al-Khayyām math“ ir „eacutematicien“, Paryžius, 1999 m Maqāla fi & rsquol-jabr wa & rsquol-moqābala, & ldquoEssay dėl apskritimo kvadrato padalijimo, & rdquo ir Resāla fi & scaronarḥ mā a & scaronkala & hellip).

Idem, Omaras Khayyamas matematikas, Niujorkas, 2000 m. (Anglų k. Versija „al-Khayyām math“ ir „eacutematicien“ (matematiniai darbai buvo išversti tiesiai iš arabų kalbos, o įvadai ir komentarai - iš prancūzų kalbos).

Idem, Riāżiyāt ʿOmar al-Ḵayyām, Beirutas, 2005 m. (Ar. Versija „al-Khayyām math“ ir „eacutematicien“).

Borisas A. Rosenfeldas, tr., Omaras Khayyamas, „Traktaty“, red. V. S. Segal ir Adolf P. Youschkevitch, Maskva, 1961 (su Khayyam & rsquos matematinių ir filosofinių traktatų rankraščių faksimile su Russ. Tr.).

Apollonius de Perge, Koniukai, Graikų ir arabų tekstai, red. ir tr. Roshdi Rashed, Micheline Decorps-Foulquier ir Michel Federspiel, Berlynas ir Niujorkas, 2010 m.

Rasmusas O. Besthornas ir kt., Red., Codex Leidensis 399, 1: „Euclidis Elementa ex Interpretatione al-Hadschdschadschii cum Commentariis Al-Narizii“, Arabiško teksto leidimas su vertimu į lotynų kalbą ir užrašais, Hauniae, 1893-1932 repr. Fuat Sezgin, red., Islamo matematika ir astronomija 14-15, Frankfurtas prie Maino, 1997 m.

Greggas De Youngas, & ldquoAl-Jawharī & rsquos priedai prie Euklido & rsquos elementų V knygos, & rdquo Zeitschrift f & uumlr Geschichte der arabisch-islamischen Wissenschaften 1997, 11, 153–78 p.

„Euclide d & rsquoAlexandrie“, Les El & eacutements, tr. su komentaru Bernardas Vitracas, „General Introd. pateikė Maurice'as Caveingas, 4 t., Paryžius, 1990-2001.

Thomas L. Heathas, tr., Trylika Euklido ir rsquos elementų knygų, tr. iš Heibergo teksto su įžanga. ir kom., 2 leidimas, 3 t., Kembridžas, 1926 repr., Niujorkas, 1956.

Moḥammadas gim. Musā al-Ḵˇārazmi, al-Moḵtaṣar fi ḥesāb al-jabr wa & rsquol-moqābala, red. ir tr. Franzas A. Rosenas, kaip Mohammedo ben Musos algebra, Londonas, 1831, repr. Niujorkas, 1986 m. ir tr. Roshdi Rashed, kaip Al-Khwārazmi. L & rsquoalg & egravebre pradžia, Paryžius, 2007 m., Red. ir tr., kaip Al-Khwārazmi. Algebros pradžia, Londonas ir Beirutas, 2009 m.

Khalil Jaouiche, La Th & eacuteorie des parall & egraveles en pays d & rsquoIslamas: indėlis ir agrave la pr & eacutehistoire des g & eacuteom & eacutetries ne euklidiennes, Paryžius, 1986 m.

Abu & rsquol-ʿAbbās Fażl gim. Ḥātem Nayrizi, & Scaronarḥ ketāb Oqlides, tr. Anthony Lo Bello, kaip Al-Nayrizi komentaras apie Euklido ir rsquos geometrijos elementų I knygą su įvadu apie euklido ir rsquos elementų perdavimą viduramžiais, Bostonas ir Leidenas, 2003 m.

Revielas Netzas, Archimedo darbai, tr. kartu su „Eutocius & rsquo“ komentarais, su komentarais ir kritiniu diagramų leidimu, aš: Dvi knygos sferoje ir cilindre, Kembridžas, 2004a.

Izaokas Niutonas, Universali aritmetika, Aritmetinės sudėties ir skiriamosios gebos traktatas, tr. Josephas Ralphsonas ir Pataisytas ir taisytas Samuelio Cunno, Londonas, 1769 m.

Proclus, Pirmosios Euklido & rsquos elementų knygos komentaras, tr. su „Introd“. ir Glenno R. Morrowo, Princetono, 1970 užrašai.

Roshdi Rashed, red., Thābit ibn Qurra: Mokslas ir filosofija Devintojo amžiaus Bagdade, Berlynas ir Niujorkas, 2009 m.

I. Thomas, Graikų matematika, 2 t., Kembridžas, Massachusetts, ir Londonas, 1939–41 repr. su papildymais ir pataisymais, 1980-93.

Bijan Vahabzadeh, & ldquoAl-Māhānī & rsquos Santykio sampratos komentaras, & rdquo Arabų mokslai ir filosofija 12, 2002, p. 9–52.

Antriniai šaltiniai ir studijos.

Jaʿfar Āāyāni Čāwo & scaroni, red., Farhangas: wiža-ye bozorgdā & scaront-e Ḵayyām, 3 t., Teheranas, 2000–2005 (naujausių dokumentų apie visus Khayyam & rsquos darbo aspektus rinkinys).

Yvonne Dold-Samplonius, & ldquoAl-Māhānī ir rdquo Charles C. Gillispie, red., Mokslinės biografijos žodynas, 16 t., Niujorkas, 1970-80, IX, 1974, p. 21–22.

Charles-Henri de Fouch & eacutecour ir Borisas A. Rosenfeldas, & ldquoʿ Umaras Khayyamas ir rdquo EI2 X, 2000, p. 827-34.

Davidas H. Fowleris, Platono ir rsquos akademijos matematika: Nauja rekonstrukcija, 2-asis leidimas, Oksfordas, 1999a.

Idem, & ldquoIšradingi aiškinimai ir rdquo Revue d & rsquohistoire des math & eacutematiques 5, 1999b, 149–53 p.

Jean-Louis Gardies, L & rsquoH & eacuteritage & eacutepist & eacutemologique d & rsquoEudoxe de Cnide: atkurimo esmė, Paryžius, 1988 m.

Jan P. Hogendijk, & ldquoAnthyphairetic Ratio Theory in Medieval Islamic Mathematics, & rdquo in Yvonne Dold-Samplonius, Joseph W. Dauben, Menso Folkerts and Benno Van Dalen, red., Red. Iš Kinijos į Paryžių: 2000 metų matematinių idėjų perdavimas, Boethius 46, Štutgartas, 2002, p. 187-202.

Christianas Houzelis, & ldquoHistoire de la th & eacuteorie des parall & egraveles, & rdquo Rushdi Rashed, red., Math & eacutematiques et philosophie de l & rsquoantiquit & eacute & agrave l & rsquo & acircge classique: hommage & agrave Jules Vuillemin, Paryžius, 1991, p. 163-79.

Wilbur R. Knorr, Euklido elementų evoliucija: Nesulyginamų dydžių teorijos ir jos reikšmės ankstyvajai Graikijos geometrijai tyrimas, Dordrechtas ir Bostonas, 1975 m.

Idem, Senovės ir viduramžių geometrijos teksto studijos, Bostonas, Bazelis ir Berlynas, 1989 m.

Richard Lorch & ldquo „Archimedo perdavimas arabiškai“, Rutulys ir cilindras ir Eutocius & rsquo komentaras, & rdquo Zeitschrift f & uumlr Geschichte der arabisch-islamischen Wissenschaften 5, 1989, p. 94–114.

Ḡlām-Ḥosayn Moṣāḥab, Ḥakim ʿOmar Ḵayyām beʿonwān-e ʿālem-e jabr, Teheranas, 1960 m.

John E. Murdoch, & ldquo: Viduramžių proporcijų kalba: sąveikos su graikų fondais elementai ir naujų matematikos metodų kūrimas ir kt., Alistair C. Crombie, red. Moksliniai pokyčiai, Londonas, 1963, p. 237–71.

Revielas Netzas, Matematikos virsmas ankstyvajame Viduržemio jūros regiono pasaulyje: nuo problemų iki lygčių, Kembridžas ir Niujorkas, 2004b.

Jeffrey A. Oaks, & ldquoAl-Khayyām & rsquos mokslinė algebros peržiūra, & rdquo Suhayl 10, 2011, p. 47–75.

Edwardas B. Plooij, Euklido ir rsquoso santykio samprata ir jo proporcinio dydžio apibrėžimas, kurį kritikuoja arabų komentatoriai, Roterdamas, 1950 repr. Fuat Sezgin, red., Islamo matematika ir astronomija 19, Frankfurtas prie Maino, 1997, p. 167–243.

Roshdi Rashed, Visas aritmas ir „eacutetique“ ir „alg & egravebre“: „Recherches sur l & rsquohistoire des math“ ir „eacutematiques arabes“, Paryžius, 1984 m. Roshdi Rashed, kaip, Arabų matematikos raida: tarp aritmetikos ir algebros, Dordrechtas, Bostonas ir Londonas, 1994 m.

Idem, & ldquoL & rsquoalg & egravebre, & rdquo Roshdi Rashed ir R & eacutegis Morelon, red., Histoire des sciences arabes II, Paryžius, 1997, p. 31–54.

Borisas A. Rosenfeldas ir Adolfas P. Youschkevičius, & ldquoAl-Khayyāmī ir rdquo Charles C. Gillispie, red., Mokslinės biografijos žodynas, 16 t., Niujorkas, 1970-80, VII, 1973, p. 323-34.

Idem, peržiūrėtas ir išplėstas H & eacutel & egravene Bellosta, & ldquoG & eacuteom & eacutetrie, & rdquo Roshdi Rashed ir R & eacutegis Morelon, red. Histoire des sciences arabes II, Paryžius, 1997, p. 122–62.

Fuat Sezgin, Geschichte des arabischen Schrifttums V, Leidenas, 1974 m.

Idem, red., MarUmar al-Khayyām, Abu & rsquol-Fat F ḥUmaras Ibn Ibrāhīmas (d. Apie 526/1131): tekstai ir studijos, 2 t., Islamo matematika ir astronomija 45–46, Frankfurtas prie Maino, 1998 m. (Klasikinių straipsnių apie Khayyam matematinius ir astronominius darbus rinkinys).

Davidas Eugene'as Smithas, & ldquoEuklidas, Omaras Khayy & acircm, ir Saccheri & rdquo „Scripta Mathematica“ 3, 1935, p. 5–10, repr. Fuat Sezgin, red., Islamo matematika ir filosofija 19, Frankfurtas prie Maino, 1997, 1–6 p.

Bijan Vahabzadeh, & ldquoAl-Khayyām & rsquos santykio ir proporcingumo samprata & rdquo Arabų mokslai ir filosofija 7, 1997, p. 247-63.

Idem, & ldquoʿ Umaras al-Khayyāmas ir iracionalaus skaičiaus samprata, & rdquo R & eacutegis Morelon ir Ahmad Hasnawi, red., De Z & eacutenon d & rsquoEl & eacutee & agrave Poincar & eacute: Recueil d & rsquo & eacutetudes en hommage & agrave Roshdi Rashed, Louvain ir Paris, 2004, p. 55-63.

Bernardas Vitracas, & ldquoʿOmar Khayyām et Eutocius: les ant & eacutec & eacutedents grecs du troisi & egraveme chapitre du commentaire sur surees pr & eacutemisses probl & eacutematiques du livre d & rsquoEuclide, & rdquo Farhangas 12, Teheranas, 2000, p. 51–105.

Omar Khayyām ir l & rsquoanthyph & eacuter & egravese: & eacutetude du deuxi & egraveme livre de son commentaire sur surees pr & eacutemisses probl & eacutematiques du livre d & rsquoEuclide & rdquo Farhangas 14, Teheranas, 2002, p. 137-92. („Vitrac & rsquos“ dokumentus galima rasti internete adresu http://publicationslist.org/bernard.vitrac.)

Adolfas P. Youschkevičius, „Les Math“ ir „eacutematiques arabes“ (VIIIe & ndashXVe si ir egravecles), Paryžius, 1976 m.


Dydžių, o ne skirtumų santykiai - Astronomija

Žvaigždžių ryškumui priskiriamas skaičius, prasidedantis ryškiausia žvaigžde, prasidedančia maždaug -1 balu. Šviesesnės žvaigždės yra nulis arba teigiami skaičiai. Kuo didesnis skaičius, tuo žvaigždė yra blankesnė. Pavyzdžiui, žvaigždė -1 yra ryškesnė už žvaigždę 0. 0 žvaigždžių dydis yra ryškesnis už 1 žvaigždutės dydį. 1 žvaigždės dydis yra ryškesnis už 2 žvaigždės dydį. 4 žvaigždžių dydis yra ryškesnis nei 5 žvaigždžių. Žvaigždžių, prasidedančių ryškiausia, dydžių seka yra -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. ir kt.

Dešimtainis taškas nenaudojamas, kai žvaigždžių žemėlapyje naudojami žvaigždžių dydžiai. Dešimtainis taškas gali būti supainiotas žvaigždės žemėlapyje. Šio puslapio viršuje yra Mažojo „Ursa“ žvaigždynas su kai kurių žvaigždžių žvaigždžių dydžiais. Pavyzdžiui, žvaigždžių žemėlapyje 31 dydis reiškia 3,1, o žvaigždžių žemėlapyje 55 - 5,5.

Istoriškai dydžių sistema prasidėjo nuo Hiparko ir Ptolemėjaus, kai jie suskirstė žvaigždes į šešis dydžius. Apie 20 ryškiausių žvaigždžių, kurias jie galėjo stebėti iš savo vietos, buvo priskirti pirmajam dydžiui. Kitas ryškių žvaigždžių rinkinys buvo priskirtas antram dydžiui ir pan. Šeštojo laipsnio žvaigždės buvo priskirtos žvaigždėms, kurios palankiomis sąlygomis buvo vos matomos už akių. Empiriškai nustatyta, kad pirmojo ir šeštojo dydžių santykis buvo 100: 1. Įgyvendinama 2,512 logaritminė skalė tarp dydžių lygių. Pavyzdžiui, pirmojo dydžio žvaigždė yra 100 ryškesnė už šeštojo dydžio žvaigždę arba šeštojo dydžio žvaigždė yra 1/100 arba 0,01 silpnesnė už pirmojo dydžio žvaigždę. Antrasis pavyzdys - penktojo dydžio žvaigždė yra 2,512 karto ryškesnė už šeštojo dydžio žvaigždę, arba šeštojo dydžio žvaigždė yra 1 / 2,512 arba 0,40 silpnesnė už penktojo dydžio žvaigždę. Žvaigždė yra 2,512 karto ryškesnė už žvaigždę, mažesnę už vieną dydį.

Žvaigždės dydis Kiek ryškiau
nei Šeštojo dydžio žvaigždė
Logaritminė skalė
2,512 X tarp dydžių lygių
Pradedant nuo šeštojo dydžio
1 100 kartų 2,51 x 2,51 x 2,51 x 2,51 x 2,51
2 39,8 karto 2,51 x 2,51 x 2,51 x 2,51
3 15,8 karto 2,51 x 2,51 x 2,51
4 6.3 kartai 2,51 x 2,51
5 2,51 karto 2,51 x
6

Išradus teleskopą ir modernią įrangą žvaigždžių dydžiams matuoti, skalė buvo išplėsta į abi puses. Blausesnėms žvaigždėms priskiriami didesni nei 6 dydžiai (6, 7, 8, 9, 30, 30 ir kt.) Hablo kosminio teleskopo giluminio lauko vaizde yra keletas silpnų, kaip 30-os galaktikų. Pirmojo dydžio žvaigždės koreguojamos skalėje 1, 0, -1, o ryškiausia žvaigždė „Sirius“ yra -1,44. Skalės ryškumas padidėja neigiamais skaičiais. Pavyzdžiui, ryškiausia Veneros planeta skiriasi ryškumu ir yra apie -4,4 balo, esant didžiausiam ryškumui. Mėnulis yra -12,7, o Saulė - -26,75.

Žemiau esanti žvaigždės dydžio lentelė, pagrįsta -1 dydžio žvaigžde, parodo, kiek blankesnė už -1 dydžio žvaigždė yra žvaigždės, esančios iki 19 dydžio. Pavyzdžiui, dauguma 10 x 50 arba 7 x 50 žiūronų gali aptikti 9 balų žvaigždę. 9 balų žvaigždė yra dešimtadalis tūkstančių (1/10 000 arba .0001) blankesnė už -1 balo žvaigždę.

Žvaigždžių dydžio lentelė, rodanti, kiek pritemdyta
Kiti dydžiai lyginami su -1 dydžio žvaigždute


Dydžių, o ne skirtumų santykiai - Astronomija

Nepamirškite parodyti visų savo darbų ir pateikti galutinį atsakymą į kiekvieną klausimą a formos pavidalu pilnas angliškas sakinys!

1. Tarkime, netoliese esančioje galaktikoje 20 dienų laikotarpyje atrasta tam tikra kefeido kintanti žvaigždė.

a) Pagal 23.7 paveiksle pateiktą grafiką, kaip šios žvaigždės vidutinis šviesumas lyginamas su Saulės šviesumu?

b) Atsižvelgiant į tai, kad absoliutus Saulės dydis yra +5, koks yra vidutinis šios žvaigždės absoliutus dydis?

c) Tarkime, kad šios žvaigždės vidutinis tariamasis dydis yra 10. Kiek toli yra parsekuose esanti galaktika, kurioje yra ši žvaigždė? Šviesmečiais?

2. a) „Tipiškos“ nykštukinės elipsės formos galaktikos bendrasis absoliutusis dydis yra –15. Mūsų teleskopai gali aptikti nykštukinius elipsinius elementus, kurių matomas dydis yra silpnas kaip +20. Koks yra tolimiausio nykštuko elipsės atstumas, kurį šiuo metu galime aptikti? Kaip šis atstumas lyginamas su vietinės grupės skersmeniu? Kaip tai palyginti su atstumu iki Mergelės klasterio?

b) Kuo jūsų atsakymas būtų kitoks, jei absoliutus „tipinės“ galaktikos dydis būtų -12, o ne -15?

3. Nustatyta, kad kvazare raudonas poslinkis yra z = (bangos ilgio pokytis) / (poilsio bangos ilgis) = 2,45. Šio kvazaro raudonos spalvos poslinkis yra didesnis nei 1, todėl turime naudoti reliatyvistinio doplerio efekto formulę:
v = c X ((z + 1) 2-1) / ((z + 1) 2 +1)

a) Norėdami nustatyti šios galaktikos recesijos greitį, naudokite reliatyvistinio doplerio efekto formulę.

b) Tarkime, kad Hablo konstantos vertė yra 75 km / sek / Mpc. Koks atstumas iki šios galaktikos? Kiek laiko šio objekto šviesa keliauja, kad patektų pas mus?

c) Koks yra absoliutus šio objekto dydis, jei jo tariamasis dydis yra +18? Jei absoliutus Saulės dydis yra +5, kiek ryškesnis nei Saulė yra šis kvazaras?


Dydžių, o ne skirtumų santykiai - Astronomija

Astronomijos docentas | Kalifornijos universitetas, Berklis

FAST (sintetinių šablonų pritaikymas ir įvertinimas) yra IDL pagrįstas kodas, kuris žvaigždžių populiacijos sintezės šablonus pritaiko prie plačiajuosčio fotometrijos ir (arba) spektrų. FAST yra suderinamas su fotometriniu raudonojo poslinkio kodu EAzY (Brammer et al. 2008), pritaikydamas plačiajuosčio ryšio fotometriją, jis naudoja EAzY gautus fotometrinius raudonus poslinkius, o įvesties failai (fotometrinis katalogas, pagrindinis filtro failas ir kt.) Yra vienodi. FAST taip pat tinka spektrams, pasirinktinai kartu su plačiajuosčio fotometrinių duomenų taškais. Atsižvelgiant į įvesties parametrus, FAST pateikia geriausiai tinkantį raudoną poslinkį, amžių, dulkių kiekį, žvaigždžių susidarymo laiką, metalizmą, žvaigždžių masę, žvaigždžių susidarymo greitį (SFR) ir jų pasikliautinus intervalus. Pagrindinis skirtumas su HYPERZ yra tas, kad (1) FAST tinka srautams, o ne dydžiams, (2) galite visiškai apibrėžti savo įvestų žvaigždžių populiacijos parametrų tinklelį, (3) galite lengvai įvesti fotometrinius raudonus poslinkius ir jų pasikliautinus intervalus ir ) FAST apskaičiuoja kalibruotus patikimumo intervalus visiems parametrams. Tačiau atkreipkite dėmesį, kad, nors jį galima naudoti kaip vieną, „FAST“ nėra fotometrinis raudono poslinkio kodas

FAST nuskaito parametrų failą (žr. Pavyzdį) ir sudaro modelio srautų kubą visam žvaigždžių populiacijos tinkleliui ir visiems filtrams ir (arba) spektriniams elementams. Norėdami nustatyti geriausiai tinkančius parametrus, jis paprasčiausiai naudoja ~ 2 montavimą. Kad nebūtų praleista (keli) minimumai, FAST nenaudoja minimalaus paieškos algoritmo, bet tinka kiekvienam modelio kubo taškui. Jei numatomi spektroskopiniai arba fotometriniai raudoni poslinkiai, raudonas poslinkis bus fiksuotas iki artimiausios tinklelio vertės.

Pasitikėjimo lygiai kalibruojami naudojant Monte Karlo simuliacijas. Stebimi srautai modifikuojami pagal jų fotometrines paklaidas, taip pat pritaikomi ir šie modifikuoti srautai. 68% (95% arba 99%) pasikliautinasis intervalas yra apibrėžtas pagal ~ 2 reikšmę pradiniame tinklelyje, kuris apima 68% (95% arba 99%) šių modeliavimų. Taigi visų savybių pasikliautini intervalai yra mažiausi ir didžiausi dydžiai, kuriuos leidžia ši ~ 2 riba. Jei manoma, kad fotometriniai raudoni poslinkiai (kaip nurodo EAzY), patikimumo intervalų skaičiavimas yra šiek tiek sudėtingesnis. Kriek ir kt. Priede. (2009) galite rasti daugiau apie šią problemą.

Naujausią versiją galite atsisiųsti čia. Prašau atsiųsti man el. Laišką, jei naudojate FAST, kad galėčiau jus įtraukti į el. Pašto sąrašą ir atnaujinti, jei yra nauja versija. Jei naudojate kodą, nurodykite šį dokumentą (kodo aprašymą galite rasti priede): Kriek ir kt. (2009). Laukiame bet kokių klausimų ir pastabų, tačiau pirmiausia patikrinkite parametrų faile esančią dokumentaciją ir DUK puslapį.

Galiausiai, visada patikrinkite išvesties failus. Ar tinka tinka? Ar išvesties raudonasis poslinkis iš tikrųjų panašus į įvesties raudoną poslinkį ir pan. Nors mes greitai išbandėme FAST, vis tiek gali būti klaidų. Prašau parašyti man el. Laišką, jei tokių radote, ir atkreipkite dėmesį, kad FAST naudojimas yra jūsų pačių rizika!


Dydžių, o ne skirtumų santykiai - Astronomija

Timas Hunteris yra mano klasės draugas ir dviejų puikių observatorijų Arizonoje - 3 bokštų observatorijos ir žolynų observatorijos - savininkas / operatorius. Jo projektas su M67 yra panašus į mano, bet ypatingas tuo, kad užuot naudojęsis pateiktais duomenimis, jis nusprendė naudoti savo. Jo projekte pabrėžiama, kaip jis užfiksavo savo mokslo vaizdus ir juos panaudojo kurdamas spalvinę M67 diagramą.

Atviro klasterio M67 (NGC2682) spalvų dydžio diagramos (CMD) buvo sudarytos iš duomenų, gautų naudojant „Meade LX200“ 12 colių teleskopą „Towers“ observatorijoje Tuksone, Arizonoje, ir iš duomenų, gautų naudojant 24 colių f / 5 teleskopas Žolynų observatorijoje netoli Sonoita, Arizonoje. CMD pavaizduoja grupėje pasirinktų žvaigždžių V dydžius, palyginti su B-V spalvų indeksais, ir R dydžius, palyginti su B-R spalvų indeksais. Gautos diagramos paprastai atitinka paskelbtus duomenis.

M67 yra gerai ištirtas atviras klasteris (Gilliland, Nissen, Sanders, Sandquist). Messieris jį atrado 1780 m., Nors yra įrodymų, kad anksčiau jį pastebėjo Johannas Gottfriedas Kohleris (Archinalas, 2003). M67 tamsia dangaus vietoje yra matoma be akių. Archinal ir Hynes (2003) M67 daugeliu atžvilgių laiko neįprastu klasteriu. Jis yra toli nuo Galaktikos plokštumos, jis yra gana didelis ir išplitęs. Galima daryti išvadą, kad jis yra arti ir vis dar šalia Galaktikos disko, kuriame jis susiformavo, arba yra gana senas ir daug kartų apkeliavęs Galaktiką. Jei jis yra senas ir apkeliavo aplink Galaktiką, jis tikriausiai buvo įsiskverbęs į orbitą virš Galaktikos disko toli nuo tos vietos, kur yra dauguma atvirų spiečių. Tai leido M67 grakščiai senti be didelių trikdžių.

Šis projektas susideda iš M67 spalvų dydžio diagramų (CMD) sudarymo naudojant mėgėjų observatorijas ir vaizdo įrangą. CMD ir juos lydintys duomenys lyginami su profesionaliais duomenimis ir aptarti jų apribojimai. Be to, CMD ir jų duomenys naudojami pagrįstoms išvadoms apie M67 atstumą ir amžių. Ar M67 yra artimas ir jaunas, ar jis toli ir senas?

„3towers“ observatorija yra Katalonijos papėdėje, penkios mylios į šiaurę nuo Tusono centro, Arizonoje, 2600 pėdų (792 metrų) aukštyje. Jame yra „Meade“ 12 colių „LX200“ teleskopas, „Apogee AP7“ CCD kamera (plona, ​​gale apšviesta SITe 512 x 512 24 mikronų mikroschema) ir ISIS FW-1 filtro ratas su Johnson-Cousins ​​R, V, B, I, ir „Clear parfocal filters“ („Hunter“, # 1). CCD matymo laukas yra 21,7 lanko minutės, kurio taškas yra 2,5 arkos sekundės.

M67 ir dviejų „Landolt“ standartinių laukų atvaizdai buvo gauti 2004 m. Kovo 23 d. - giedrą naktį su nedideliu rūku rytiniame danguje, be matomos miglos netoli M67 vietos arba projektui naudotų standartinių žvaigždžių. Penkių šališkumo ir penkių 60 sekundžių tamsių vaizdų serija buvo padaryta prieš pat atvaizduojant M67. Visiems vaizdams CCD kamera veikė -35 0 C temperatūroje. Kiekvienas šališkumas ir tamsūs vaizdai buvo sujungti kartu, kad būtų sukurti pagrindiniai tamsių ir pagrindinių šališkumo rėmeliai. M67 vaizdus sudarė 60 sekundžių ekspozicija per V, B ir R Johnson-Cousins ​​fotometrinius filtrus. Vieno iš vaizdų pavyzdys parodytas 1 paveiksle:

Kiekvienos spalvos plokšti rėmeliai buvo gauti po to, kai buvo paimti M67 spalvų rėmai. „LX200 Meade“ teleskopas turi daug „veidrodinio šleifo“, o tiksliausi plokšti vaizdai gaunami uždėjus permatomą plastikinį dangtį virš korektoriaus plokštės ir kelias minutes atidengiant dangų tikslioje teleskopo vietoje, naudojamoje duomenų atvaizdams. M67 vaizdai buvo padaryti su objektu, kurio oro masė buvo 1,07 B ir R vaizdams ir 1,10 V vaizdui.

Buvo vaizduojami du „Landolt Standard Star“ laukai. Jie buvo pasirinkti iš standartinių laukų WIYN CCD duomenų bazės (Smith, 1998). Laukai buvo arčiausiai M67, jų stebėjimo metu oro masė buvo 1,44 ir 1,30. Jie buvo sutelkti atitinkamai RA = 08:53:45, gruodis = - 00:34:30 ir RA = 09:21:32, gruodis = 02:47:00. 2 ir 3 paveiksluose pavaizduoti V vaizdai iš šių laukų:

Kiekvienos spalvos M67 duomenų vaizdas ir „Landolt Standard Star“ vaizdai buvo sukalibruoti „MaxIm DL / CCD“ naudojant kiekvienos spalvos pagrindinius poslinkius, pagrindinius tamsius ir plokščius vaizdus (Diffraction Ltd, 2003). Kalibravimui buvo naudojamas automatinis tamsių rėmelių mastelis ir jis buvo pritaikytas plokštiems vaizdams. Kalibravimui buvo pasirinktas „MaxIm DL / CCD“, nes tai buvo programinė įranga, naudojama „Apogee AP7“ CCD kamerai valdyti (Apogee, 2004).

Fotometriniai nulio taškai kiekvienu atveju buvo gauti lyginant penkių standartinių žvaigždžių svorį kiekviename lauke. Mira Pro 7.0 (Axiom, 2004) buvo naudojamas matuojant šiuos standartinius laukus, taip pat M67 V, B ir R duomenų vaizdus. Diafragmos fotometrijos įrankis buvo nustatytas pagal numatytuosius „Mira“ nustatymus, visiems matavimams taikant tikslinį 7 pikselių spindulį su dangaus fono žiedų spinduliais, nustatytais 20 ir 25 pikseliais. V M67 vaizdo viso pločio pusė maksimalaus (FWHM) buvo 2,4 pikselio.

Spalvotas M67 vaizdas buvo sukurtas naudojant atskirus B, V ir R atvaizdus. Šimtas devynios šio vaizdo žvaigždės buvo pažymėtos, kad būtų lengviau jas atpažinti fotometriniu būdu matuojant atskirus spalvotus vaizdus. Žvaigždėms, pasirinktoms ženklinti ir vėlesnei fotometrinei analizei, Sandersas (1977, 1989) prognozavo, kad yra didesnė nei 50% tikimybė būti M67 narėmis. 4 paveiksle pavaizduotos šios žvaigždės:

Iš pradžių matavimui buvo pasirinktos 109 žvaigždės. Dvidešimt keturios šios žvaigždės yra dvigubos arba pakankamai arti kitų žvaigždžių, kad daugiau nei viena žvaigždė buvo įtraukta į fotometrijos diafragmą. Šios žvaigždės buvo pašalintos iš matavimo, o iš viso pagal atskirus V, B ir R vaizdus buvo išmatuotos 85 M67 žvaigždės. Šių žvaigždžių sąrašas „Žvaigždžių katalogas“ (TGS) ir „Sanders“ (1977 m.) Pateikiami „Excel“ priedo 1 lape. 3 bokštaiM67ColorMagDiag.xls.

M67 vaizdų „Mira Pro 7.0“ matavimams pasirinkti fotometriniai nulio taškai buvo tiesiai ekstrapoliuoti iš fotometrinių nulio taškų „Landolt Standard“ laukams ir yra šie:

M67 V (oro masė 1,10) 18,864 M67 B (oro masė 1,07) 18,731 M67 R (oro masė 1,07) 18,766.

Pastaba: „Landolt Standard“ lauko fotometrinis nulio taškas B iš tikrųjų sumažėjo nuo 18,675, kai oro masė 1,44, iki 18,471, kai oro masė 1,3! Tai sunku paaiškinti, ir daroma prielaida, kad kai buvo eksponuojamas „Landolt Standard“ lauko B vaizdas, kurio oro masė buvo 1,3, nepastebėtas cirruso debesis perėjo lauką, sumažindamas fotometrinį ribinį dydį. Fotometrinis nulinis taškas B, esant M67, esant oro masei 1,07, buvo ekstrapoliuotas iš santykių tarp fotometrinių nulinių taškų B, V ir R Landolt standarto lauke esant 1,44 oro masės.

V ir R oro masės korekcijos buvo apskaičiuotos naudojant šias formules (pavaizduota V):

mV- V = + x1V + x3V 1,3, Landolt standartiniam laukui esant 1,3 oro masės

mV-V = + x1V + x3V - 1,44, „Landolt“ standartiniam laukui esant 1,44 oro masės

x1V = pastovus poslinkio terminas x3V = oro masės korekcijos terminas

Kiekvienos spalvos V, B arba R atveju yra dvi lygtys ir dvi nežinomos. Išsprendus šias V ir R lygtis, oro masės korekcijos buvo 0,166 V ir 0,164 R. B oro masės korekcijos nepavyko gauti, nes įtariama, kad duomenų apie Landolo lauko B reikšmes, esant oro masei, yra 1,3. Šis terminas buvo nustatytas 0,25. Ši vertė buvo pasirinkta išnagrinėjus daugybę nuorodų, nurodančių oro masės korekcijos vertes Kitt Peak nacionalinėje observatorijoje netoli Tuksono (Everett, 2001 Romanishin Walker). Tai atspindi geriausią faktinės oro masės korekcijos įvertinimą 3 bokštų vietoje, kurioje beveik tokios pačios dykumos sąlygos kaip ir Kitt Peak, nors jis yra mažesniame aukštyje.

Pradinė CMD apžvalga, surinkta iš šių 85 žvaigždžių duomenų, suteikė šiek tiek negausų grafiką, todėl buvo sunku atpažinti tam tikrą klasterio tendenciją (žr. Žemiau „Rezultatai“). Todėl fotometriniai duomenys buvo surinkti dar 265 žvaigždėse M67 lauke. Tai buvo atidžiai išnagrinėta, o 223 iš 265 žvaigždžių buvo kruopščiai atrinkti matuoti pagal jų tikimybę būti M67 narėmis (Sanders, 1977).

Toliau buvo tiriami Žolynų observatorijos duomenys. 2004 m. Kovo 19 d., Likus keturioms dienoms iki oficialaus šio projekto inicijavimo, M67 buvo nufotografuotas Žolynų observatorijoje, naudojant V, B ir R filtrus, naudojant observatorijos 24 colių f / 5 teleskopą (Hunter, # 2). „Finger Lakes Instrumentation Dream Machine CCD“ (1024 x 1024, 24 mikronų plonas, gale apšviestas SITe lustas) buvo naudojamas su CFW-1 spalvų filtro ratu, kuriame buvo Johnson-Cousins ​​fotometriniai filtrai („Finger Lakes“). Ekspozicija buvo 60 sekundžių V, 90 sekundžių B ir 30 sekundžių R. CCD regėjimo laukas buvo 28 lankų minutės, kurio taškas buvo 1,8 arkos sekundės. M67 V vaizdo FWHM buvo 2,7 pikselio. M67 oro masė buvo 1,1.

R vaizdas buvo atmestas fotometrijai dėl dalinio debesuotumo, kai buvo padarytas vaizdas. Vaizdai buvo sukalibruoti naudojant standartinius „Bias“, „Dark“ ir „Flat Field“ vaizdus, ​​paprastai naudojamus Žolynų observatorijoje. Deja, „Landolt Standard“ laukai su M67 vaizdais nebuvo gauti. Pasirinktų 85 žvaigždžių, išmatuotų 3 bokštų observatorijoje, rezultatai buvo naudojami apibūdinant fotometrinius nulio taškus žolynų V ir B vaizdams. „Grasslands“ CCD kamera visus vaizdus veikė -35 0 C temperatūroje, o kamerą valdanti programinė įranga ir fotometrinių duomenų matavimams naudojamos programinės įrangos technikos buvo tokios pačios, kaip ir „3towers“ observatorijos duomenims.

Neapdoroti šio projekto „Mira Pro 7.0“ žvaigždžių duomenys, esantys M67, yra pridedamuose „Excel“ failuose, 3towersMiraRawData.xls ir ŽolynaiMiraRawData.cvs. Šiuose duomenų lapuose pateikiama informacija apie atskirų žvaigždžių matavimų grynąjį skaičių, klaidas ir signalo ir triukšmo santykį.

„3towers“ observatorijos rezultatai

Šio projekto instrumentiniai ir pataisyti fotometriniai rezultatai rodomi pridedamame „Excel“ faile 3 bokštaiM67ColorMagDiag.xls. 1 lapas apibūdina 85 išmatuotas žvaigždes, kiekvienos žvaigždės Sanderso (1989 m.) žvaigždžių skaičių ir kiekvienos išmatuotos žvaigždės sąrašą. Parodomi kiekvienos žvaigždės instrumentiniai ir koreguoti V, B ir R dydžiai, kaip ir kiekvienos žvaigždės apskaičiuoti B-V ir B-R spalvų indeksai. H stulpelyje apskaičiuojamas skirtumas tarp Sanderso (1989 m.) V dydžių kiekvienai žvaigždei, palyginti su V dydžiu, gautu šiam projektui. Vidutinis skirtumas tarp Sanders ir Hunter V dydžių yra 0,23. 5 paveiksle pavaizduota šių 85 žvaigždžių M67 spalvų dydžio diagrama, rodanti V dydį, palyginti su B-V spalvų indeksu.

2 lapas rodo duomenis apie papildomas 265 žvaigždes iš lauko M67. Šios žvaigždės buvo parinktos atsitiktinai, o 3 lapas rodo duomenis apie 223 specialiai pasirinktas žvaigždutes, nes jos atitinka Sanderso 1977 m. kriterijus, kad tikimybė būti M67 narėmis yra didesnė nei 50 proc. Sujungus šių žvaigždžių duomenis su iš pradžių pasirinktų ir išmatuotų 85 žvaigždžių duomenimis, buvo parengtos naujos spalvų dydžio diagramos, rodančios V dydį, palyginti su B-V spalvų indeksu (6 pav.), Ir R dydį, palyginti su B-R spalvų indeksu (7 pav.).

Žolynų observatorijos rezultatai

Žolynų observatorijos „Finger Lakes Instrumentation CCD“ fotoaparato plotas yra 4 kartus didesnis už „Apogee AP7“ kameros, esančios „3towers“ observatorijoje, plotą. Ant žolynų vaizdų buvo išmatuoti penki šimtai dvidešimt keturios žvaigždės. Šių duomenų fotometriniai rezultatai rodomi pridedamame faile, ŽolynaiM67Data.xls. Instrumentiniai fotometriniai V ir B nulio taškai, skirti žolynų duomenims, buvo nustatyti imant koreguotus medžiotojų žvaigždžių 1–8 dydžius 3 bokštų observatorijos duomenyse ir naudojant juos kaip standartines žolynų duomenis. Tai sukėlė V fotometrinį nulio tašką 20,728 ir B fotometrinį nulio tašką 20,621. Išmatuotų 524 žvaigždžių instrumentiniai dydžiai buvo pakoreguoti naudojant oro masės korekciją V 0,12, o B - 0,20, remiantis tuo, kad Žolynų observatorija yra 5000 pėdų aukštyje (

1525 metrai) yra ne ką mažesnis už Kitt Peak observatorijos aukštį. 8 paveiksle parodytas sudėtinis spalvotas M67 vaizdas iš atskirų V, B ir R vaizdų, o 9 paveiksle pavaizduota žolynų duomenų V dydžio ir B-V indeksų spalvų dydžio diagrama.

M67 spalvų dydžių diagramos iš esmės sutampa su tomis, kurios paskelbtos profesinėje literatūroje. 10-12 paveiksluose parodytos M67 spalvų dydžio diagramos iš trijų skirtingų profesionalių šaltinių:

M67 yra senas klasteris, kurio daugelis žvaigždžių paliko pagrindinę seką. Net ir ribotos šio projekto spalvų dydžių diagramos rodo pagrindinį sekos poslinkį ir milžinišką šaką. Apatinis pagrindinės sekos galas nėra rodomas „3towers“ duomenyse, tačiau akivaizdu, kad tai yra „Grasslands“ duomenys, nors „Grasslands“ duomenys nėra beveik tokie silpni, kaip „Gilliland“ duomenys.

Spalvų diagramas ir fotometrines vertes šiame projekte riboja daugybė veiksnių. Pagrindinė seka nėra gerai pavaizduota, nes yra per mažai žvaigždžių visai diagramai. Efektyvus 3 bokštų observatorijos duomenų ribinis V dydis yra 15, tuo tarpu daugelis pagrindinių M67 sekos žvaigždžių yra žemiau šio dydžio. Pavyzdžiui, Gillilandas (1991) pavaizduoja žvaigždes iki 22 dydžio. Čia nurodyti dydžio apribojimai atspindi santykinai nedidelį „3towers Observatory“ teleskopo dydį, palyginti trumpą ekspozicijos laiką ir priemiesčio dangaus apribojimus (vizualiai ribojančio dydžio virš galvos 5.5) 3 bokštų observatorijoje. Žolynų observatorijos duomenys neryškėja iki 17 dydžio, tačiau jo vertės yra susietos su vertybėmis, gautomis iš 3 bokštų observatorijos, nes su žolynų duomenimis nebuvo paimti Landolt Standard laukai.

2 lentelėje parodyti 3 bokštų fotometriniai V dydžių skaičiai pasirinktoms žvaigždėms, kurių dydis yra 10,5-15. Tai rodo gerą šviesesnių žvaigždžių skaičių, tačiau akivaizdu, kad silpnesnės nei 14-osios žvaigždės žvaigždės kenčia nuo mažo skaičiaus, o numatomas jų tikslumas negali būti didesnis nei 0,02 dydžio.

Nepaisant to, 85 pasirinktų žvaigždžių 3 bokštų observatorijos V dydžiai nuo Sanderso (1989) skiriasi tik vidutiniškai 0,23. Sanderso dydis yra jo paties ir kitų darbų derinys, kai kurie iš jų apima fotografinius duomenis. Taip pat reikėtų pažymėti, kad yra septynios žvaigždės (Hunterio Nr. 21, 26, 46, 72, 87, 99 ir 102), kurios skiriasi nuo Sanderso žvaigždžių daugiau nei 0,5 dydžio. To priežastis nežinoma. Panašu, kad tai nėra susiję su atskirų žvaigždžių B-V indeksais. Žvaigždės Nr. 72 („Sanders 963 GSC 814: 2317“) ir „102“ žvaigždės („Sanders 770 GSC 813: 2212“) skiriasi nuo „Sanders“ rezultatų daugiau nei dydžiu! Atidžiai apžiūrėję „3towers“ observatorijoje gautus duomenų vaizdus ir Sanderso 1977 m. Paskelbtą atpažinimo lentelę matyti, kad nebuvo klaidingai atpažintos dvi žvaigždės. Vizualiai apžiūrėjus M67 V vaizdą, šios dvi žvaigždės buvo tikrai ryškesnės nei Sanderso išvardyti atitinkami V dydžiai 14,46 ir 14,64. Šios žvaigždės turi atitinkamus B-V indeksus 0,502 ir 0,587 ir yra kitaip nepastebimos. Jie gali būti klaidingai matuoti praeityje, arba jie gali būti kintamos žvaigždės. Įdomus ateities projektas būtų stebėti šių ir kitų pasirinktų M67 žvaigždžių kintamumą.

Šį projektą buvo galima patobulinti imant ilgesnes M67 duomenų ekspozicijas ir naudojant sistemingiau gautus duomenis iš didesnio žolynų observatorijos teleskopo su „Landolt Standard“ laukais. Tai būtų leidusi atlikti fotometriją silpnesnėms žvaigždėms. „3towers“ observatorijoje ekspozicija buvo apribota iki 60 sekundžių, kad būtų užtikrinta, jog bus nedaug orientacinių klaidų. „3towers“ observatorijos „Meade LX-200“ teleskopas nėra tiksliai sekamas, o ilgesnės nei 60 sekundžių ekspozicijos dažnai rodo reikšmingą atsilikimą. Trumpesnes ekspozicijas buvo galima pridėti kartu, tačiau tai sukelia galimas duomenų mažinimo ir kalibravimo problemas naudojant „Landolt Standard“ lauko sekas. Jei ilgesnė ekspozicija būtų naudojama 12 colių „Meade LX-200“ teleskopui 3 bokštų observatorijoje arba 24 colių f / 5 teleskopui Žolynų observatorijoje, ryškiausios M67 žvaigždės prisotintų. Taigi, norint gauti platų M67 fotometrinių dydžių matavimų diapazoną, reikalingos skirtingos grupių ekspozicijos.

Kitas čia pateiktas projekto apribojimas yra tai, kad nėra kruopščiai standartizuota „3towers Observatory“ teleskopo / CCD sistemos su dangaus sąlygomis ir trūksta „Landolt Standard“ laukų Žolynų observatorijos duomenims. Vienas ar keli „Landolt Standard“ laukai visą vakarą turėjo būti vaizduojami įvairiausiomis oro masėmis nuo Zenito, jei įmanoma, iki bent 2 oro masės (Zenito kampas 60 0). Tai būtų užtikrinusi daug geresnę V, B ir R sekų oro masės korekciją, o jei būtų ištirti Landolt standarto lauko duomenys, kaip jie buvo gauti, problema, susijusi su aukščiau aptartais B standarto lauko vaizdais, galėjo būti pašalinta. .Būsimas abiejų observatorijų projektas yra atlikti tokią standartizavimo tvarką vienam ar daugiau Landolt laukų per dvi ar tris naktis. Šie duomenys gali būti sugretinti ir naudojami kaip pagrindas būsimoms fotometrinėms pastangoms. Tinkamam fotometrinių duomenų kalibravimui naudojant „Landolt Standard“ laukus, kurie vaizduojami tą pačią naktį, kai imamas duomenų rinkinys, vis tiek reikės tiksliausios fotometrijos.

Du šio projekto tikslai buvo apytiksliai apskaičiuoti M67 atstumo modulį ir įvertinti M67 amžių. Tiriant V, palyginti su B-V, CMD (5 ir 6 paveikslai), pagrindinis klasterio sekos išjungimo taškas maždaug įvyksta tarp V dydžių 12,0-13,0, kai spalvų indeksas yra 0,5-0,7. Reprezentatyvios pagrindinės sekos žvaigždės M67 šalia išjungimo taško V dydis yra 12,5, o B-V indeksas - 0,6. Tokia žvaigždė, kurios B-V spalvų indeksas yra 0,58, yra G0 žvaigždė, kurios absoliutus dydis MV iš 4.2 (Ostlie, 1996). Jei ši žvaigždė atspindi pagrindinę M67 sekos viršūnę, tada apskaičiuotas M67 atstumo modulis yra 12,5–4,2 arba 8,3, o tai atitinka 457 parsekų atstumą. Sandquist (2004) išvedė M67 atstumo modulį 9,72, o Sandersas (1989) išvardijo 9,5 atstumo modulį. Dėl labai supaprastinto požiūrio dabartinis įvertis yra daugiau nei reikšmingas, tačiau jis pateikia įrodymų, kad M67 nėra šalia.

Norint įvertinti M67 amžių, reikia naudoti sudėtingus izochronus, tai yra pastangos, kurios nepatenka į šio projekto taikymo sritį. Nepaisant to, pastebima, kad, pasitelkus tariamą G0 žvaigždę M67 pagrindinės sekos viršuje, ji yra šiek tiek masyvesnė už Saulę (žvaigždė /MišiosSaulė = 1,05). Pagrindinės sekos gyvenimas bus šiek tiek trumpesnis nei Saulės, kurios gyvenimo trukmė pagrindinėje sekoje yra 10 10 metų. Saulei šiuo metu yra beveik 5 x 10 9 metų. G0 žvaigždė, esanti netoli pagrindinės sekos pabaigos, turėtų būti bent jau tokia sena. Jei bus konservatyvus, bus apskaičiuotas M67 amžius - 5 milijardai metų. Ši vertė palankiai palyginama su naujausiais 4-5 milijardų metų M67 amžiaus skaičiavimais (Archinal, 2004 Sandquist, 2004). Ankstesni specialistų vertinimai parodė, kad jo amžius yra šiek tiek didesnis. Akivaizdu, kad M67 yra gana senas atviram klasteriui. Jo amžius matuojamas milijardais, o ne milijonais ar šimtais milijonų metų.

Šiam projektui gautos M67 spalvų dydžių diagramos yra ribotos, tačiau jos pagrįstai atspindi M67 charakteristikas. Jie palaiko plačiai paplitusį profesionalų įsitikinimą, kad M67 yra neįprastas labai senas atviras klasteris.

Apogee Instruments, Inc., Auburn, CA.

Archinolas BA, Hynes SJ. Žvaigždžių sankaupos. Willmann-Bell, Inc., 2003 m., Ričmondas, VA.

Diffraction Ltd., Otava, ON, K2G 5W3, Kanada.

Everettas ME, Howellas SB. Itin didelio tikslumo CCD fotometrijos technika. Baras Astron Soc Pac 2001 113: 1428-1435.

„Finger Lakes Instrumentation, LLC“, Lima, NY 14485, JAV. http://www.fli-cam.com.

Gilliland RL, Brown TM, Duncan DK, Suntzeff NB, Lockwood GW, Thompson DT, Schild RE, Jeffrey WA, Penprase BE. Laiko skiriama žvaigždžių ansamblio atviroje grupėje M67 esanti CCD fotometrija. Astronas Dž 1991 101, #2: 541-561.

Medžiotojo TB. Žolynų observatorija: http://www.3towers.com.

Kaleris JB. Žvaigždės ir jų spektrai. Spektrinės sekos įvadas. Kembridžo universiteto leidykla, 1989, Kembridžas, 265 psl.

Nissen PE, „Twarog“ BA, Crawford DL. Pagrindinės sekos žvaigždžių UvbyH-beta fotometrija M67. AA 1987: 93: 634-646.

Ostlie DA, Carrollas BW. Įvadas į šiuolaikinę žvaigždžių astrofiziką. Addison-Wesley Publishing Co., Inc., 1996, Reading, MA, A13-14 puslapiai.

Romanishin W. Įvadas į astronominę fotometriją naudojant CCD. 2000 m., Oklahomos universitetas, Normanas, Gerai.

Sandersas WL. Narystė atvirame klase M67. Astron Astrophys Suppl 1977 27: 89-116.

Sandersas WL. UBV M67 narių fotometrija. Rev Mexicana Astronas Astrofas 1989 17: 31-35.

Sandquist EL. Didelio tikslumo M67 spalvų ir dydžių diagrama. MNRAS 2004 347: 101-118.

Smithas PS. Standartiniai žvaigždžių laukai, tinkami UBVRI fotometrinis WIYN CCD vaizduoklio kalibravimas. 1998 m. Rugsėjo mėn .: http://www.noao.edu/wiyn/obsprog/images/atlasinfo.html.


Intensyvumas

Žemės drebėjimas intensyvumas matuoja, kaip stipriai žemės drebėjimas paveikia konkrečią vietą. Pagal lemputės analogiją, tai yra ryškumas, kuriuo jūs suvokiate šviesą kambario vietoje. Ar galite skaityti knygą, išspausdintą smulkiu šriftu, prie lempos? Pasiimti adatą? Atlikti subtilią operaciją? Priklauso nuo lemputės galingumo, ir kiek jūs nuo jos esate, tiesa? Jei suskirstėte ryškumą pagal tai, ką galėtumėte pasiekti esant šviesos lygiui kambaryje, turėsite intensyvumo žemėlapį.

Na, galite sudaryti žemės drebėjimo padarinių žemėlapį naudodami modifikuotą Mercalli intensyvumo skalę (MMI), gautą iš ankstesnės dešimties laipsnių Rossi-Forel skalės, kurią vėliau patikslino italų vulkanologas Giuseppe Mercalli 1884 ir 1906 m. žemės drebėjimas ir # 39-ųjų padariniai. 1931 m. Amerikiečių seismologai Harry Woodas ir Frankas Neumannas paskelbė tolesnius modernesnių statybų tobulinimus. Intensyvumo matavimai naudojant modifikuotą Mercalli skalę susideda iš 12 didėjančių lygių, kurie svyruoja nuo nepastebimo purtymo iki katastrofiško sunaikinimo, paprastai pažymėto romėniškais skaitmenimis, o tai pabrėžia jų pusiau kiekybinį pobūdį. Kadangi žemės drebėjimas bus vieno stiprumo (gerai, kaip pažymėta toliau, greičiausiai bus keli skirtingi žemės drebėjimo stiprumo įverčiai, atsižvelgiant į įvertinimo tipą ir kt.), Kiekvienam atskiram žemės drebėjimui bus skiriamas intensyvumas iš dalies atsižvelgiant į šaltinio dydį, bet ir į vietos, kurioje pastebėtas intensyvumas, vietą.


SQM-LE klausimai

Ne, SQM-LE nėra atsparus oro sąlygoms. Jei norite nuolat tvirtinti lauke, jis turėtų būti sumontuotas korpuse, atspariame oro sąlygoms.

Žmonėms, naudojantiems įrenginį tik stebint teleskopą, skaitiklį galima pastatyti kartu su teleskopu.

  • Korpusas turi būti termostatuojamas ir šildomas, kad kondensatas nepatektų į kupolo viršų.
  • Korpuso viduje turėtų būti tam tikras oro srautas, kad būtų išvengta kondensacijos.
  • Oro srautas iš vidaus į išorę paprastai reiškia, kad vabzdžiai yra veiksnys, o tai reiškia, kad reikės ekrano.
  • Norint cirkuliuoti ore, gali prireikti ventiliatoriaus.

Taip, šiluma, kurią SQM-LE viduje sukuria vidinis interneto serveris, yra pakankamai didelė, kad atsikratytumėte rasos. Naudojant šį korpusą, įrenginio viduje niekada nebuvo matyti rasos. Tiesą sakant, lietaus lašai ant stiklo dangtelio išgaravo po kelių valandų.

Gali būti svarbu leisti drėgmei pasišalinti, todėl korpuso apačioje turime oro skylę.

Kalbant apie šalnas, įrenginys yra per šiltas, kad tai leistų. Jei įrenginys maitinamas be maitinimo šaltinio, greičiausiai kaupsis drėgmė. Tikriausiai geriausia visada laikyti įrenginį maitinamą.

Kaip galiu sumažinti laidus iki SQM-LE?

  1. „PoE“ purkštuvas maitina Ethernet kabelį.
  2. „PoE Splitter“ gauna maitinimą iš Ethernet kabelio.

„PoE“ purkštuvas būtų šalia maršrutizatoriaus, o „PoE“ skirstytuvas - prie SQM-LE.

„PoE“ seansas yra labai patogu, jei šalia „SQM-LE“ neturite elektros lizdo. Galite tiesiog paleisti Ethernet kabelį prie „PoE“ skirstytuvo, tada trumpieji laidai ateina iš skirstytuvo į „SQM-LE“.