Astronomija

Demonstracija, kad gautumėte materijos galios spektrą kosmologijoje

Demonstracija, kad gautumėte materijos galios spektrą kosmologijoje


We are searching data for your request:

Forums and discussions:
Manuals and reference books:
Data from registers:
Wait the end of the search in all databases.
Upon completion, a link will appear to access the found materials.

Norėčiau pademonstruoti galios spektro išraišką kosmologijoje:

Pirma, aš turiu santykinį kontrastą:

$$ delta_ {i} ( vec {x}, z) equiv rho_ {i} ( vec {x}, z) / bar { rho} _ {i} (z) -1 quad (1) $$

Po to mes suskaidome šį santykinį kontrastą Fourrier pagrindu:

$$ delta_ {i} ( vec {x}, z) = int frac { mathrm {d} ^ {3} k} {(2 pi) ^ {3}} tilde { delta} _ {i} ( vec {k}, z) exp ( mathrm {i} vec {k} cdot vec {x}) quad (2) $$

ir galiausiai, kaip rasti šią išraišką (3) iš (1) ir (2):

$$ left langle tilde { delta} _ {i} ( vec {k}, z) tilde { delta} _ {i} left ( vec {k} ^ { prime}, z right] right rangle = (2 pi) ^ {3} delta _ { mathrm {D}} left ( vec {k} + vec {k} ^ { prime} right) P_ { i} ( vec {k}, z) quad (3) $$

?

Bet kokia pagalba yra laukiama.


Tai tik Furjė transformacija: (tegul $ boldsymbol {x} = boldsymbol {r} _2- boldsymbol {r} _1 $)

$$ begin {aligned} langle delta ( boldsymbol {k} _1) delta ( boldsymbol {k} _2) rangle & = int int d ^ 3r_1d ^ 3r_2 langle delta ( boldsymbol {r } _1) delta ( boldsymbol {r} _2) rangle e ^ {- i boldsymbol {k} _1 cdot boldsymbol {r} _1} e ^ {- i boldsymbol {k} _2 cdot boldsymbol {r} _2} & = int d ^ 3r_1 e ^ {- i boldsymbol {k} _1 cdot boldsymbol {r} _1} int d ^ 3r_2 langle delta ( boldsymbol {r} _1 ) delta ( boldsymbol {r} _2) rangle e ^ {- i boldsymbol {k} _2 cdot boldsymbol {r} _2} & = int d ^ 3r_1 e ^ {- i boldsymbol { k} _1 cdot boldsymbol {r} _1} int d ^ 3x langle delta ( boldsymbol {r} _1) delta ( boldsymbol {r} _1 + boldsymbol {x}) rangle e ^ {- i boldsymbol {k} _2 cdot ( boldsymbol {r} _1 + boldsymbol {x})} & = int e ^ {- i ( boldsymbol {k} _1 + boldsymbol {k} _2) cdot boldsymbol {r} _1} d ^ 3r_1 int xi ( boldsymbol {x}) e ^ {- i boldsymbol {k} _2 cdot boldsymbol {x}} d ^ 3x & = (2 pi) ^ 3 delta_D ( boldsymbol {k} _1 + boldsymbol {k} _2) P ( boldsymbol {k} _2) end {aligned} $$

Čia $ langle delta ( boldsymbol {r} _1) delta ( boldsymbol {r} _2 rangle) $ yra dviejų taškų koreliacijos funkcija (2pcf) realioje erdvėje. Jei manysime, kad mūsų visata yra statistiškai vienalytė, $ langle delta ( boldsymbol {r} _1) delta ( boldsymbol {r} _2 rangle) $ turėtų turėti formą $ xi ( boldsymbol {r} _1- boldsymbol {r} _2) $. Taigi galios spektras yra Furjė 2pcf transformacija.

Be to, jei manome, kad mūsų visata yra statistiškai izotropinė (netiesa raudonojo poslinkio erdvėje), 2vnt gali būti $ xi (| boldsymbol {r} _1- boldsymbol {r} _2 |) $ o galios spektras gali būti $ P (k) $.


2.4: Ką šviesos spektras gali mums pasakyti apie materiją

  • Prisidėjo Kim Coble, Kevinas McLinas, Thomasas Targettas ir Lynn Cominsky
  • Sonomos valstybinis universitetas

Pratimai ( PageIndex <1> ): „Rainbowx“

Kai kurie mokiniai diskutuoja apie demonstraciją, kurią neseniai matė savo klasėje.

  • Demarijus: & quot; man labai patiko šiandien pamatyti vaivorykštes klasėje & mdash, kad buvo taip šaunu!
  • Eugenija: Na, jie iš tikrųjų vaivorykštes ir rkvotas ir mietus jie buvo spektrai. Bet sutinku, kad jie šaunūs. & Rdquo
  • Frankas: Koks & rsquos skirtumas? & rdquo
  • Eugenija: & ldquoSpectra yra tada, kai šviesa pasklinda po visas jos skirtingas energijas, kai ji praeina per kokį nors mokslinį instrumentą. Taigi manau, kad spektrai yra techninis vaivorykštės terminas. & Rdquo

Ar kada nors žiūrėjote per prizmę saulėtą dieną? Matėte, kad vaivorykštė atsispindi nuo papuošalo ar stiklo? Ar žinojote, kad spalvinga vaivorykštė jau buvo saulės šviesoje, kol dar nepalaikėte prizmės? Visa prizmė išskleidė šviesą į skirtingų bangos ilgių spektrą, kaip parodyta paveiksle ( PageIndex <1a> ).

Žiūrėdami į objekto šviesos spektrą, galime sužinoti daug informacijos apie šviesą gaminančio objekto sąlygas, pavyzdžiui, jos temperatūrą, tankį ir sudėtį. Dėl šios priežasties spektroskopija, spektrų tyrimas, naudojama daugelyje mokslų, įskaitant biologiją, geologiją, chemiją ir kriminalistiką, ne tik astronomiją ir fiziką. Terminas & ldquospectrum & rdquo nurodo, kiek fotonų išsiskiria kiekvienu dažniu (arba bangos ilgiu ar energija). Tai tik išgalvotas terminas, apibūdinantis pasiskirstymą energijoje. Žinomas paskirstymo pavyzdys gali būti klasės pažymiai. Įvertinimų paskirstymas apibūdina, kaip dažnai įvyko kiekvienas balas (t. Y. Kiek klasės mokinių gavo kiekvieną balą). Panašiai šviesos šaltinio spektras apibūdina, kiek tam tikro dažnio (arba bangos ilgio ar energijos) fotonų spinduliuoja šaltinis. Spektrografas yra mokslinis instrumentas, naudojamas spektrui gauti, kurio schema pavaizduota paveiksle ( PageIndex 1).

2.3 pav. Prizma ir paprastas spektrografas (spektroskopas). a) Dėl prizmės balta šviesa pasklinda į įvairias spalvas, nes skirtingi šviesos bangos ilgiai skiriasi, kai jie keliauja per prizmę (skirtingi bangos ilgiai vakuume keliauja tuo pačiu greičiu, bet ne kitaip). b) Šviesa patenka į spektroskopą per mažą angą, pavyzdžiui, plyšį, ir į prizmę panašiu įtaisu (kuris paprastai yra grotelė) padalijamas į jo sudėtinius bangos ilgius, kad kiekvieną bangos ilgį būtų galima tirti atskirai. Spektrų tyrimas leido astronomams sužinoti apie Visatą nepaprastai daug. Autoriai: NASA / SSU / Aurore Simonnet.

Kai kurie skirtingi pasiskirstymai, kuriuos galite pamatyti, yra nuolatiniai spektrai, emisijos linijos spektrai ir absorbcijos linijos spektrai. Nuolatiniai (arba nuolatiniai) spektrai rodo nuolatinį spinduliavimą (be tarpų) visais dažniais arba bent jau plačiu dažnių diapazonu. Absorbcijos linijos spektruose yra ryškus tęstinumas ir tamsios linijos, todėl kažkas sugeria šviesą labai specifiniais dažniais, pašalindamas tuos iš mišinio. Spinduliavimo linijos spektrai susideda iš ryškių linijų tamsiame fone, šaltinis skleidžia šviesą labai specifiniais dažniais. Nepertraukiamo, absorbcijos ir emisijos spektrų iliustracijas rasite paveiksle ( PageIndex <2> ).

Paveikslėlis ( PageIndex <2> ): Nenutrūkstamas (arba tęstinis) spektras turi šviesą visais dažniais. Absorbcijos spektras turi tamsias spragas bangos ilgiuose, kur atomai sugeria dalį šviesos. Emisijos spektras turi ryškias linijas bangos ilgyje, kur atomai spinduliuoja šviesą. Autoriai: NASA / SSU / Aurore Simonnet.


Standartinės kosmologijos¶

Naudojant funkciją setCosmology (), galima pasirinkti šiuos kosmologinių parametrų rinkinius:

Geriausiai tinka, tik „Planck“ (5 stulpelis)

Geriausiai tinka su BAO (6 stulpelis)

Geriausiai tinka, tik „Planck“ (2 stulpelis)

Geriausiai tinka su išorine dalimi (6 stulpelis)

Maks. tikimybė su eCMB, BAO ir H0

Geriausiai tinka su eCMB, BAO ir H0

Maks. tikimybė, su BAO ir H0

Maks. tikimybė, su BAO ir SN

„Illustris“ modeliavimo kosmologija

Didžiojo modeliavimo kosmologija

„Multidark-Planck“ modeliavimo kosmologija

Tūkstantmečio simuliacijos kosmologija

Einšteino de Šitterio kosmologija

Numatytieji galios dėsnių kosminiai nustatymai.

Tos kosmologijos, kurios nurodo tam tikras simuliacijas (pvz., Didysis ir tūkstantmetis), paprastai turi ignoruoti reliatyvistines rūšis, t. Y. Fotonus ir neutrinus, nes jos nėra modeliuojamos simuliacijose. EdS kosmologija nurodo Einstein-de Sitter modelį, t. Y. Plokščią kosmologiją, kurioje yra tik tamsioji materija ir ( Omega_ < rm m> = 1 ).


Pastaba: Gah, aš atsisakau latekso. Mano „Latex“ kodas yra teisingas, bet jis vis tiek rodomas kaip klaida mano mašinoje. Jei nematote, atsiprašau, bet galite patikrinti apačioje pateiktą nuorodą, kad gautumėte daugiau informacijos.

Gerai, tai, kas daroma, paimame CMB dangaus žemėlapį ir atliekame sferinę harmoninę transformaciją. Sferinė harmoninė transformacija iš esmės yra ta pati bendroji sąvoka kaip Furjė transformacija, tačiau sferinės harmonikos yra abipusiai stačios ant sferos paviršiaus, panašiai:

[tex] f ( theta, phi) = suma_a_Y ( theta, phi) _^[/ tex]

Čia & quotl & quot indeksas žymi svyravimų skaičių, o & quotm & quot indeksas yra būdas užkoduoti sferos svyravimo kryptį ir kinta nuo & quot-l & quot iki & quot & quot; Pavyzdžiui, l = 0 yra nulinis svyravimas: tai yra monopolis, nustatantis bendrą skalę. l = 1 yra dipolis: vienas pilnas svyravimas virš sferos ir yra trys galimos kryptys (x, y ir z). Eikite į vis didesnes l reikšmes ir gausite daugiau (taigi ir mažesnių) svyravimų ir daugiau galimų tų svyravimų krypčių. Kaip jie paprastai rašomi, sferinės harmonikos funkcijos [tex] Y ( theta, phi) _^[/ tex] yra sudėtingos funkcijos, todėl koeficientai yra sudėtingi. Vis dėlto tai nedidelis klausimas. Norėdami sukurti galios spektrą, mes vidutiniškai vertiname kryptis. Tai daroma taip:

Galiausiai, statydami tą sklypą, galite pastebėti, kad vertikali ašis nėra [tex] C_l [/ tex], o yra [tex] C_l l (l + 1) / 2 pi [/ tex]. Pasirodo, jei mes turėtume vienodą galios spektrą logaritminiame intervale l, tada padauginus minėtą funkciją iš [tex] l (l + 1) / 2 pi [/ tex] gautume konstantą. Taigi šis dauginimas leidžia mums lengviau interpretuoti funkciją, nes infliacija numato, kad pirminis galios spektras, kurį iš pradžių generavo infliacija, šioje erdvėje bus beveik pastovus.

Jei infliacija yra teisinga, tada visos savybės, kurias matote aukščiau parašytame galios spektre, kurios skiriasi nuo pastovios, kyla iš visatos dinamikos tarp infliacijos ir didžiojo sprogimo išmetimo (be to, kai kurie labai menki pakeitimai tarp mūsų ir CMB). Pvz., Ilga amortizuojanti uodega aukštoje l kyla iš to, kad CMB emisijos paviršius nėra momentinis: fazės perėjimas iš plazmos į dujas įvyko laikui bėgant, o dėl to signalo neryškumas slopina mažus masto svyravimai. Taip pat yra santykis tarp lygių ir nelyginių galios spektro smailių. Tai atsiranda dėl fizikos skirtumų tarp įprastos ir tamsios materijos: tamsioji materija tiesiog patenka į potencialius šulinius, o normalioji medžiaga šokinėja. Nesugebėjus atšokti tamsiosios materijos, sumažėja lyginių skaičių smailės, palyginti su normalia materija.


Pavadinimas: JĖGOS SPEKTRO ATNAUJINIMAS. III. GAUSSIANIZUOTO JĖGOS SPEKTRO KOSMOLOGIJOS JUTRUMAS

Neseniai buvo įrodyta, kad netausinio materijos tankio lauke taikant Gaussizizuojančią transformaciją, pvz., Logaritmą, galios spektro naudingumo taikymo sritis išplėsta keliais mažesniais koeficientais. Tokia transformacija dramatiškai sumažina kovariacijos ir galios spektro formos netiesiškumą. Čia, analizuodami „Coyote Universe“ realaus kosmoso tamsiosios medžiagos tankio laukus, tiriame šių transformacijų pasekmes kosmologinių parametrų įvertinimui. Log-tankio galios spektras suteikia griežčiausias kosmologinių parametrų klaidų juostas (marginalizuotas ar ne), suteikdamas 2-3 gerinimo koeficientą, palyginti su įprastu galios spektru visuose penkiuose tirtuose parametruose. Pakreipimui n , pagerėjimas pasiekia penkis kartus. Panašūs apribojimai pasiekiami, jei analizuojamas logaritminio galios spektras ir įprastas galios spektras. Rangės eilės Gausianizacija atrodo tokia pat naudinga kaip ir žurnalo transformacija, kad suvaržytų n , bet ne kitus parametrus. Panašu, kad pertekliaus padalijimas į jo dispersiją keliose MPa ląstelėse, tuo tarpu kovariansijos matrica įstrižai, neatrodo naudinga parametrų apribojimams. Mes taip pat pateikiame kodą, kuris imituoja šiuos galios spektrus pagal daugybę suderinamų kosmologinių modelių.


Demonstracija, kad gautumėte materijos galios spektrą kosmologijoje - astronomijoje

    Štai „Įvadas“ (labai trumpą paaiškinimą žr. 00 lentelę, spustelėkite pabraukimo temą, kad būtų išsamiau):


  1. CMB - tai matuoja labai mažą temperatūros svyravimą priekiniame plane esančios 2,726 o K juodųjų kūnų spinduliuotės K. Jis nubraižytas galaktinėmis koordinatėmis, iš kurių matomas viso dangaus dviejų matmenų vaizdas.
  2. CDF - tai „dangaus tyrimų“ tankio žemėlapio segmentas, kurio atstumas (gylis) yra 100–1000 Mpc nuo Žemės.

00a pav. Pearsono koreliacija [peržiūrėti didelį vaizdą]

00b paveikslas „Fourier Transform“ [peržiūrėti didelį vaizdą]


  1. CMB - duomenų mažinimas prasideda surinkus mikrobangų signalus, kurie vėliau paverčiami mažu temperatūros (kvadrato) nuokrypiu nuo vidurkio. Šis procesas sukelia visų dangaus taškų temperatūros svyravimą (00c, b pav.). KMB galios spektro gamyba turi pereiti kitą sudėtingo proceso etapą, pavadintą „Tikimybės įvertinimas“, kad gautų labiausiai tikėtiną tam tikro daugiapolio momento vertė nuo didžiulio duomenų kiekio.
  2. CDF - šio atvejo galios spektras yra ad hoc formulė, gauta suderinant stebėjimo duomenis.
  • (a) Tai yra kosminis priekinio (juodojo kūno) spinduliavimas galaktikos koordinatėmis. Jis buvo išleistas praėjus maždaug 380 000 metų po Didžiojo sprogimo. Pradinė temperatūra yra apie 4000 o K, ją kosminė plėtra sumažino iki dabartinės 2,726 o K.
  • (b) Tai yra labai mažas temperatūros pokytis (nuo vidutinio) 1 dalyje iš 100000, matuojant WMAP stebėjimu.
  • (c) Tai galios spektras, rodantis temperatūros kitimą (kvadratu) kaip daugiapolio momento funkciją. Iš šio grafiko gaunami daugelis kosminių parametrų.

00c paveikslas CMB

00d paveikslo CDF modeliavimas [peržiūrėti didelį vaizdą]

Dviejų taškų koreliacijos funkcija (teorinė galios spektro bazė)

01a1 pav Koreliacijos funkcija

01a2 pav. Beselio funkcija, 1-oji rūšis [peržiūrėti didelį vaizdą]

01a4 paveikslas Galios spektro evoliucija [peržiūrėti didelį vaizdą]

Įprastas dispersijos apibrėžimas yra kaip svyravimų, neapibrėžtumo, plitimo rodiklis,. tam tikro kintamojo x matavimų, kur yra vidutinė (vidutinė) vertė, o N - bendras matavimų skaičius. Žr. Grafinę iliustraciją 03a paveiksle, kurioje f (x) dx = (ni/ N) dx kur ni yra matavimų skaičius diapazone dx ties xi.
Matematinę informaciją apie dispersijos išvedimą iš koreliacijos žr. „Didelio masto struktūros formavimas“.

01a5 pav. Maitinimo spektras = Ak [peržiūrėti didelį vaizdą]

CMB duomenų mažinimas (2019 m. Leidimas)

1 - 0,03 cm), o numatomas CMB yra (

01a6 pav Dažnio juostos

  • Dažnių juostos - LFI: (30, 44, 70), HFI: (100, 143, 217, 353, 545, 857) GHz, atitinkančios bangų ilgio diapazoną nuo 1 iki 0,035 cm. Juostos plotis / yra 0,2 LFI ir 0,33 HFI.
  • Duomenys - duomenų srautas (galų gale nanovoltų pavidalu, 01a7 pav., A) susideda iš dangaus intensyvumo matavimų, gautų „Planck“ erdvėlaiviui sukantis 1 apsisukimu per minutę. Kiekvienas matavimas žymimas pagal dangaus vietą, į kurią buvo nukreipta, stebėjimo laiką ir tai, ar Saulės sistemos objektas buvo pluošte (ši informacija naudojama norint teisingai nustatyti triukšmą).
  • Duomenų kiekis - CMB matavimuose surinkta apie 1 TB duomenų. Taigi, siekiant sumažinti apdorojimo pastangas, sukurta daugybė schemų.

kurt yra laiko užsakytų duomenų vektorius, kitas vektorius sp žymi signalą iš taško p, (Atp) reiškia matricą, turinčią elementus, susiejančius TOD su konkrečiu pikseliu, o nt yra triukšmo vektorius (laikas išdėstytas). Apdorojimas turi susieti kiekvieną pikselį p su signalu, kuris CMB žemėlapiuose interpretuojamas kaip temperatūra (pažymėtas spalvomis). Triukšmo netekimo atveju nežinomas sp nustatoma atvirkštine Apt, t.y.,

Triukšmo atvejis yra sudėtingesnis, pateiktas pagal formulę (žr. Kitas alternatyvas „Žemėlapio sudarymo metodai CMB“):

sp = [A T N -1 A] -1 A T N -1 dt

kur N yra triukšmo matrica (paryškintu šriftu) laiko juostoje: N = T> ir A T, n T yra perkelti A, n atitinkamai.

Nukreipta matrica A turi didžiulį N matmenįt X Np

100 milijardų įrašų. Paprastai tai yra labai reta matrica, kur kiekvienoje eilutėje yra vienas ne nulio įrašas, skirtas temperatūros stebėjimui atitinkamu pikseliu. Kadangi pikselis būtų nuskaitytas daug kartų, kiekviename stulpelyje būtų daug įrašų, kurių nulis nėra nulis. Tai tampa sudėtingesnė atliekant papildomus poliarizacijos matavimus. Žemiau pateikti pavyzdžiai yra žymiai sumažinta nukreipimo matrica ir signalo vektorius su Nt = 4, Np = 5 iš viso 20 įrašų.

, ir 1080p HD televizoriaus ekrano vaizdas .

01a7 pav. CMB duomenų mažinimas

01a8 pav. Bajeso tikimybė

01a9 paveikslas Bernoulli pasiskirstymas

01a10 paveikslas Tikimybės funkcija

01a11 pav Gaissian pasiskirstymas

01a12 pav. CMB duomenų tikimybė, daugiamatis Gauso

01a13 paveikslas „Prism“ spektras [peržiūrėti didelį vaizdą]

01a14 paveikslas Furjė muzikinio signalo transformacija

kBT, toks vienetas yra tik nuotoliniu būdu susijęs su galia (= energija / sek.), Sukeldamas daug painiavos gluminančiam naujokui: „kur gi yra galia“? Tinkamesnis pavadinimas būtų kažkas panašaus į „Temperatūros dispersijos spektrą“ (arba „Televizijos spektrą“, nenumatytas kalambūras).

01a15 pav. CMB galios spektras [peržiūrėti didelį vaizdą]

  1. ISW („Integrated Sachs-Wolfe Effect“) pakilimas - šis efektas atsirado dėl gravitacinio lauko trikdžių, priklausančių nuo laiko. Poveikis yra suma iš įnašų fotonų kelyje. Tai buvo patvirtinta per koreliacijos tarp didelio kampo anizotropijų (temperatūros svyravimų) ir didelio masto struktūros.
  2. Sachso-Volfo plokščiakalnis - gravitacijos lauko pertvarkymas dideliu mastu yra atsakingas už tai, kad beveik nuolat atrodo žemesnėse vietose />. Tokio masto anizotropijos reikšmingai nesivystė ir todėl tiesiogiai atspindi „pradines sąlygas“.
  3. Akustinės (Doplerio) smailės - turtinga šio regiono struktūra yra akustinio virpesio, kurį lemia atstumiantis radiacijos slėgis ir patrauklus sunkis, pasekmė (kaip paaiškinta vėliau). Pagrindinis pikas yra virpesių režimas, kuris rekombinacijos metu išgyveno 1/4 periodo (pasiekdamas maksimalų suspaudimą) (tarp elektronų ir protonų, kad susidarytų neutralūs atomai). Apatinės smailės atitinka pagrindinio smailės dažnio harmonines eilutes. Papildomą efektą sukelia geometrinė projekcija, tokia, kad smailių kampinė padėtis yra jautri erdvės visatos kreivumui.
  4. Slopinanti uodega (Doplerio papėdės) - rekombinacijos procesas nėra momentinis, suteikiantis paskutinio barstomo paviršiaus storį. Tai lemia anizotropijų slopinimą esant aukštoms /> s, atitinkančias mažesnes skales nei tos, kurias palaiko šis storis. Slopinimas nutraukia aukščiau esančių daugiapolių anizotropijas

01a16 paveikslas Galaktikos koordinatės [peržiūrėti didelį vaizdą]

01a17 paveikslas Juostos galios spektras [peržiūrėti didelį vaizdą]

01a18 paveikslas Tikimybės galios spektras [peržiūrėti didelį vaizdą]

01a19 pav. Juodojo kūno spektras [peržiūrėti didelį vaizdą]

01a20 pav. Optinio gylio efektas [peržiūrėti didelį vaizdą]

    Štai keletas komentarų apie ekvivalentą (1k), kaip parodyta 01a21 paveiksle:

01a21 paveikslas CMB formavimas [peržiūrėti didelį vaizdą]

01a22 pav. Kosminiai parametrai [peržiūrėti didelį vaizdą]

CMBR galios spektro generavimas

    Visatos struktūra sėjama atsitiktinių kvantinių svyravimų pačioje Didžiojo sprogimo pradžioje. Greito išsiplėtimo laikotarpis, vadinamas infliacija, privertė šiuos kvantinius svyravimus ištempti į kosmines skales.

02 pav. Akustiniai virpesiai

(x) = k<>k cos (kx)> ---------- (1)

03a pav. Gauso pasiskirstymas

03b pav. Rekombinacija

Stebėjimo duomenys

Kadangi stebėjimo duomenys gaunami iš dvimatio sferinio paviršiaus, atsižvelgiant į kampines koordinates, temperatūros pokytis galios spektro diagramoje dažnai išreiškiamas arba kampu (kaip parodyta WMAP žemėlapyje) arba jo „Fourier Transform“ atitikmenį (kampinis dažnis arba daugiapolis kaip parodyta 01a15 paveiksle). Matematiškai lygių (1) trigonometrinę funkciją cos (kx) (fazės poslinkį) pakeičia sferinės harmonikos Ym(,), kur = 0 reiškia monopolį, = 1 dipolis, = 2 kvadrupolis,. ir m gali būti bet koks sveikas skaičius tarp - ir . Koeficientas Gk pakeičiamas alm . Kiekvienas alm yra daugiapolis režimas. Iš tikrųjų (1) ekvivalento x pakeičiamas kampinėmis koordinatėmis o jo Furjė transformacija k yra susijusi su daugiapoliu momentu . Taigi sferinių harmonikų atžvilgiu temperatūros svyravimus galima išreikšti taip:

03c paveikslas „Legendre“ polinomai [peržiūrėti didelį vaizdą]

N.B. Nors nėra tiksliai žinoma, kaip WMAP ir Plancko komandos vertina stebėjimo duomenis, vadinamąją „Hablo įtampą“ gali sukelti apatinių terminai, nes tai labiausiai veikia transformacijos iš diskrečios sumos į nuolatinę integraciją skirtumas (žr. Eq. (2b) aukščiau ir animacinis grafikas, iliustruojantis Hablo nuolatinę priklausomybę nuo apatinio CMB spektro daugiapolio).


Galios spektro ir materijos galios spektro painiavos ir kampinio ir 3D galios spektro santykis

Iš ankstesnio įrašo Ryšys tarp kampinio ir 3D galios spektrų gavau demonstraciją, susiejančią kampinio galios spektro $ C _ < ell> $ ir 3D medžiagos galios spektro $ P (k) $ ryšį.

Pradinis taškas yra santykis tarp & quotPower spektro $ P (k) $ & quot ir autokoreliacijos funkcijos $ xi (r) $:

Manau, & quotPower spektras $ P (k) $ & quot yra atvirkštinė Furjė transformacija:

Atsiprašome, jei eksponentiniai veiksniai nėra teisingi, praneškite man, ar tai teisinga $ P (k) $ išraiška.

  1. Dabar aš supainiojau šį aukščiau apibrėžtą energijos spektrą $ P (k) $ ir materijos energijos spektrą, kaip parodyta šiame paveiksle:

Koks yra šių 2 galios spektro dydžių ($ P (k) $ ir materijos galios spektro aukščiau esančiame paveikslėlyje) ryšys? Ar tiesiog yra faktorius tarp abiejų, ar jie yra lygūs?

išraišką, susiejančią 3D galios spektrą (Materijos galios spektras?) ir kampinės galios spektras (& quotMatter kampinio galios spektras & quot?) yra:

$ P (k) = frac <2> < pi> int_0 ^ infty z ^ 2 dz C _ < ell> (z, z) $

Suprantu, kad $ P (k) $ šioje išraiškoje nepriklauso nuo $ k $, tai yra, kintamasis $ k $ nėra dešiniajame naryje.


Funkcijos kaip raktinius žodžius laiko kosmologinius parametrus (kurie gali būti daugybiniai masyvai) ir nepaiso jokių papildomų raktinių žodžių. Tai reiškia, kad galite sukurti visų savo kosmologinių parametrų žodyną ir perduoti jį bet kuriai funkcijai naudodami ** sintaksę.

Kosmolopijos paketas taip pat apibrėžia keletą patogių sparčiųjų klavišų, įskaitant atskaitos kosmologiją (šiuo metu reiškia WMAP7 + BAO + H0), todėl galite tai padaryti:

Apskaičiuokite aureolės masę, kai virusinė temperatūra yra 10 ^ 4 kelvino, tada patikrinkite šios masės aureolės virusinę temperatūrą:

Apskaičiuokite kritinį ir materijos tankį:

Daugiau pavyzdžių ieškokite testuose / ir pavyzdžiuose / kataloguose.


1 Atsakymas 1

Duota $ tag <1> C _ < ell> kairė (z, z ^ < prime> right) = int_ <0> ^ < infty> dkk ^ <2> j _ < ell> (kz) j _ < ell> kairė (kz ^ < prime> dešinė) P (k) $ Klausimas: kaip apversti integralą, norint rasti funkciją $ P (k) $?

Sferinės Beselio funkcijos uždarymo ryšys: $ tag <2> int_0 ^ infty x ^ 2 j_n (xu) j_n (xv) dx = frac < pi> <2u ^ 2> delta (u-v). $

Dar kartą padauginkite ekv. (3) su $ z '^ 2 j_ ell (q'z') $ ir integralu virš $ z '$ prasideda int_0 ^ infty z '^ 2 dz' j_ ell (q'z ') int_0 ^ infty z ^ 2 j_ ell (qz) C _ < ell> kairysis (z, z ^ < prime> dešinė) dz = & amp frac < pi> <2> kairė < int_0 ^ infty z '^ 2 dz' j_ ell (q'z ') j _ < ell> (q z') dešinė > P (q). = & amp frac < pi> <2> kairė < frac < pi> <2q '^ 2> delta (q-q') dešinė > P (q) tag <4>. end

Norėdami perkelti $ delta $ funkciją dešinėje pusėje, padauginsime ekvivalentą. (4) (atkreipkite dėmesį, kad tik $ q = q '$ turi indėlį) su $ q' ^ 2 $ ir integralu virš $ q '$: begin int_0 ^ infty dq 'q' ^ 2 int_0 ^ infty z '^ 2 dz' j_ ell (q'z ') int_0 ^ infty z ^ 2 j_ ell (q'z) C _ < ell> kairė (z, z ' dešinė) dz = & amp frac < pi ^ 2> <4> int_0 ^ infty dq' delta (q-q ') P (q). = & amp frac < pi ^ 2> <4> P (q) tag <5>. galas

Kairioji Eq. (5) pusė prasideda int_0 ^ infty dq '& amp q' ^ 2 int_0 ^ infty z '^ 2 dz' j_ ell (q'z ') int_0 ^ infty z ^ 2 j_ ell (q'z) C_ < ell> kairė (z, z ' dešinė) dz = & amp int_0 ^ infty z' ^ 2 dz ' int_0 ^ infty z ^ 2 dz left < int_0 ^ infty dq' q '^ 2 j_ ell (q'z') j_ ell (q'z) right > C _ < ell> (z, z ') = & amp int_0 ^ infty z' ^ 2 dz ' int_0 ^ infty z ^ 2 dz left < frac < pi> <2z ^ 2> delta (z-z ') right > C _ < ell> (z, z') = & amp frac < pi> <2> int_0 ^ infty z ^ 2 dz C _ < ell> (z, z). tag <6> end

Sujunkite ekvivalentą (5) ir ekvivalentą (6) $ P (q) = frac <2> < pi> int_0 ^ infty z ^ 2 dz C _ < ell> (z, z). $


Materijos galios spektro $ P (k) $ ir materijos kampinio galios spektro $ C _ $ santykis

Santrauka: $ quad $ Norėčiau gilintis į materijos galios spektro ir kampinės galios spektro santykį.

Iš ankstesnio įrašo apie kampinio ir 3D galios spektro ryšį gavau demonstraciją, susiejančią kampinio galios spektro $ C _ < ell> $ ir 3D medžiagos galios spektro $ P (k) $ ryšį:

Gal taip yra dėl to, kad mes kalbame apie materijos svyravimų $ C _ < ell> $, o ne temperatūros svyravimus (kaip CMB kampinio galios spektro atveju), ar kas nors galėtų patvirtinti šį neaiškumą?

  1. Pvz., Turiu tokią demonstraciją: $ C _ < ell> left (z, z ^ < prime> right) = int_ <0> ^ < infty> dkk ^ <2> j _ < ell> (kz) j _ < ell> kairė (kz ^ < prime> right) P (k) tag <1> $, kur $ j _ < ell> $ yra sferinės Beselio funkcijos.

Klausimas: kaip apversti integralą, norint rasti funkciją $ P (k) $?

== & gt Sferinės Beselio funkcijos uždarymo ryšys: $ int_ <0> ^ < infty> x ^ <2> j_(x u) j_(x v) d x = frac < pi> <2 u ^ <2>> delta (u-v) $

Daugkartinis $ (1) $ su $ z ^ <2> j _ < ell> (q z) $ ir integralas virš $ z $:

Tik kampinis ir raudonas poslinkis? nes šioje išraiškoje rodomas tik raudonas poslinkis $ z $?

Kosmologijoje kampinio galios spektras priklauso nuo daugiapolio pažymėto $ l $ (Legendre transformacija), kuris yra susijęs su kampiniais dydžiais $ ( theta $ ir $ phi) $. Bet materijos galios spektras priklauso nuo $ k $ bangos skaičiaus (su Furjė transformacija).

Manau, kad klystu sakydamas, kad apibrėžiant $ C ell $, parašoma $ C ell left (z, z ^ < prime> right) $, kur $ z $ ir $ z $ 'gali būti suprantama kaip raudonas poslinkis.

Bet čia vėl kalbame apie materijos svyravimus, o ne temperatūros svyravimus apie $ C _ < ell> $, ar sutinkate?

Ką $ z $ ir $ z ^ < prime> $ reiškia jūsų požiūriu išraiškoje $ C ell left (z, z ^ < prime> right)? $

Kur mano nesusipratimas?

Iš anksto dėkoju už jūsų pagalbą ir nedvejodami paprašykite manęs papildomos informacijos, jei man nebuvo pakankamai aišku.