Astronomija

Apie būsenos lygties nuorodą

Apie būsenos lygties nuorodą

Na, aš esu aspirantas, studijuojantis matematiką. Šiuo metu dirbu prie matematinės žvaigždės teorijos (ne eksperto mintis). Kai darau prielaidą apie būsenos lygtį (žinoma, žvaigždei ar saulei), aš kartu apibendrinu radiacijos slėgį, idėją apie dujų slėgį ir degeneracijos slėgį. Tam tikra prasme aš manau, kad šis pasirinkimas yra tinkamas apytikslis tam tikram modeliui. Bet kai manęs klausia, kodėl, aš tarsi įstrigau, net pagalvojau, kad kai kurie internete paskelbti paskaitos raštai palaiko mano spėjimą (pavyzdžiui, http://www.jb.man.ac.uk/~smao/starHtml/equationState. pdf). Bet vis dar įdomu, ar yra kokia nors standartinė vadovėlis, pristatantis kažką panašaus? Žinau, kad Chandrasekharo knyga jau ką nors pasakė, bet panašu, kad joje iš tikrųjų nebuvo teigiama, kad aš galiu tiesiog susumuoti visą spaudimą tiesiškai. Iš anksto dėkoju.


Galite ne tik pridėti idealų dujų slėgį ir degeneracijos slėgį bet kuriai konkrečiai dalelių rūšiai. (Na, galite, bet tai būtų prastas priartinimas prie faktinio slėgio).

Bėda ta, kad tai nėra atskiri dalykai. Apskritai, dujose esantys elektronai yra iš dalies išsigimę ir visada paklūsta Fermi-Dirac statistikai. Deja, nėra analitinio tirpalo, kuris suteiktų jums slėgį priklausomai nuo temperatūros ir tankio; Arba turite naudoti iš anksto apskaičiuotų rezultatų lenteles, arba yra analitinių aproksimacijų, kurios tam tikrais režimais veikia gerai.

Claytono „Žvaigždžių evoliucijos ir nukleosintezės principuose“ yra keletas šių lentelių ir keletas geresnių analitinių aproksimacijų, veikiančių tam tikrais (dalinės) degeneracijos režimais.

Tiesa tai, kad jūs galite pridėti prie šio slėgio radiacijos slėgį dėl fotonų ir idealų dujų slėgį jonai.

REDAGUOTI: Suprantu, kad tai, kas gali jus jaudinti, yra ne tai, kas išdėstyta pirmiau, bet kodėl jūs apskritai galite pridėti atskirą slėgį (122 ekv. Jūsų nurodytose pastabose). Priežastį tose pačiose pastabose galima atsekti iki 31 ekvn. Tai sako, kad slėgis yra integralas per atskirų dalelių skaičių tankį ir momentus. Atkreipkite dėmesį, kad šioje lygtyje nėra nieko, kas identifikuoja dalelės (t. y. jų masė). Todėl integralas gali būti traktuojamas kaip visų dalelių sumavimas, kurį savo ruožtu galima atskirti į tris integralus, kurie atskirai uždengia jonus, elektronus ir fotonus.


Šiuo metu nėra vienos būsenos lygties, kuri tiksliai numatytų visų medžiagų savybes visomis sąlygomis. Būsenos lygties pavyzdys koreliuoja dujų ir skysčių tankį su temperatūra ir slėgiu, žinomu kaip idealus dujų įstatymas, kuris yra maždaug tikslus silpnai poliarinėms dujoms esant žemam slėgiui ir vidutinei temperatūrai. Ši lygtis tampa vis netikslesnė esant aukštesniam slėgiui ir žemesnėms temperatūroms, ir negali numatyti kondensacijos iš dujų į skystį.

Kitas įprastas panaudojimas yra modeliuojant žvaigždžių interjerą, įskaitant neutronines žvaigždes, tankią medžiagą (kvarko – gluono plazmą) ir radiacijos laukus. Susijusi sąvoka yra tobula skysčio būsenos lygtis, naudojama kosmologijoje.

Būsenos lygtys taip pat gali apibūdinti kietąsias medžiagas, įskaitant kietųjų medžiagų perėjimą iš vienos kristalinės būsenos į kitą.

Praktiniame kontekste būsenos lygtys yra svarbios apskaičiuojant PVT proceso inžinerijos problemose, tokiose kaip naftos dujų / skysčių pusiausvyra. Sėkmingas PVT modelis, pagrįstas pritaikyta būsenos lygtimi, gali būti naudingas nustatant srauto režimo būseną, rezervuaro skysčių apdorojimo parametrus ir vamzdžių dydį.

Būsenos lygties parametrus, ypač esant aukštam slėgiui, galima išmatuoti naudojant lazerius. [2] [3] [4]

Boyle'o dėsnis (1662) Redaguoti

Boyle'o dėsnis buvo bene pirmoji valstybės lygties išraiška. [ reikalinga citata ] 1662 m. Airių fizikas ir chemikas Robertas Boyle'as atliko daugybę eksperimentų, naudodamas J formos stiklo vamzdelį, kuris buvo užplombuotas viename gale. Į vamzdelį buvo įpilta gyvsidabrio, trumpame, sandariame mėgintuvėlio gale sulaikant fiksuotą oro kiekį. Tada buvo matuojamas dujų tūris, kai į vamzdelį buvo įpilta papildomo gyvsidabrio. Dujų slėgį galima nustatyti pagal gyvsidabrio lygio trumpame vamzdžio gale ir ilgo, atviro galo skirtumą. Atlikdamas šiuos eksperimentus, Boyle'as pažymėjo, kad dujų tūris kinta atvirkščiai, priklausomai nuo slėgio. Matematine forma tai galima teigti:

Minėti santykiai taip pat buvo priskirti Edme Mariotte ir kartais vadinami Mariotte'o įstatymu. Tačiau Mariotte darbas buvo paskelbtas tik 1676 m.

Karolio įstatymas arba Charleso ir Gay-Lussaco įstatymas (1787) Redaguoti

1787 m. Prancūzų fizikas Jacquesas Charlesas nustatė, kad deguonis, azotas, vandenilis, anglies dioksidas ir oras per tą patį 80 kelvinų intervalą plečiasi maždaug tiek pat. Vėliau, 1802 m., Josephas Louis Gay-Lussacas paskelbė panašių eksperimentų rezultatus, nurodydamas linijinį santykį tarp tūrio ir temperatūros (Karolio įstatymas):

Daltono dalinio slėgio dėsnis (1801) Redaguoti

Daltono dalinio slėgio dėsnyje teigiama, kad dujų mišinio slėgis yra lygus vien visų sudedamųjų dujų slėgių sumai.

Matematiškai tai galima pavaizduoti n rūšių:

Idealus dujų įstatymas (1834) Redaguoti

1834 m. Émile'as Clapeyronas sujungė Boyle'o ir Charleso įstatymus į pirmąjį idealus dujų įstatymas. Iš pradžių įstatymas buvo suformuluotas taip pVm = R(TC + 267) (kai temperatūra išreikšta Celsijaus laipsniais), kur R yra dujų konstanta. Tačiau vėliau atliktas darbas parodė, kad skaičius iš tikrųjų turėtų būti arčiau 273,2, o tada Celsijaus skalė buvo apibrėžta 0 ° C = 273,15 K, suteikiant:

Van der Waalso būsenos lygtis (1873) Redaguoti

1873 m. J. D. van der Waalsas įvedė pirmąją būsenos lygtį, gautą darant prielaidą apie baigtinį tūrį, kurį užima sudedamosios molekulės. [5] Jo naujoji formulė sukėlė perversmą tyrinėjant būsenos lygtis ir buvo garsiausia tęsiama per Redlicho – Kwongo būsenos lygtį [6] ir „Soave“ modifikaciją Redlich-Kwong. [7]

Tam tikro medžiagos kiekio, esančio sistemoje, temperatūra, tūris ir slėgis nėra nepriklausomi kiekiai, juos sieja bendros formos santykis

Šiam santykiui modeliuoti naudojama lygtis vadinama būsenos lygtimi. Tolesniuose skyriuose aprašomos pagrindinės būsenos lygtys, o čia naudojami kintamieji apibrėžiami taip. Gali būti naudojamas bet koks nuoseklus vienetų rinkinys, nors pirmenybė teikiama SI vienetams. Absoliuti temperatūra reiškia Kelvino (K) arba Rankinės (° R) temperatūros skalių naudojimą, kai nulis yra absoliutus nulis.

Gali būti parašytas klasikinis idealus dujų įstatymas

Aukščiau parodyta forma būsenos lygtis yra tokia

f (p, V, T) = p V - n R T = 0.

Jei naudojamas kalorijų požiūriu tobulas aproksimavimas, idealus dujų įstatymas taip pat gali būti išreikštas taip

Esant fiksuotam skaičių tankiui N / V < displaystyle N / V>, mažinant temperatūros priežastis Fermi dujose, slėgio vertės padidėjimas nuo klasikinės vertės reiškia efektyvų dalelių atstūmimą (tai yra akivaizdus atstūmimas dėl kvantinės vertės) mainų efektai ne dėl faktinės dalelių sąveikos, nes idealiose dujose sąveikos jėgos nepaisomos) ir Bose dujose slėgio sumažėjimas nuo klasikinės vertės reiškia veiksmingą trauką.

Kubinės būsenos lygtys vadinamos tokiomis, nes jas galima perrašyti kaip V m kubinę funkciją < displaystyle V_> .

Van der Waalso būsenos lygtis Redaguoti

Van der Waalso būsenos lygtis gali būti parašyta:

Van der Waalso lygtis gali būti laikoma idealiu dujų įstatymu, „patobulintu“ dėl dviejų nepriklausomų priežasčių:

Redlicho-Kwongo būsenos lygtis [6] Redaguoti

Įvestas 1949 m., Redlicho-Kwongo būsenos lygtis buvo reikšmingas pagerėjimas, palyginti su kitomis to meto lygtimis. Tai vis dar domina pirmiausia dėl gana paprastos formos. Nors ji yra pranašesnė už van der Waalso būsenos lygtį, ji blogai veikia skystos fazės atžvilgiu ir todėl negali būti naudojama tiksliai apskaičiuojant garų ir skysčių pusiausvyrą. Tačiau šiam tikslui jis gali būti naudojamas kartu su atskiromis skysčio fazės koreliacijomis.

Redlicho-Kwongo lygtis yra tinkama dujų fazių savybėms apskaičiuoti, kai slėgio ir kritinio slėgio (sumažinto slėgio) santykis yra mažesnis nei pusė temperatūros ir kritinės temperatūros (sumažintos temperatūros) santykio:

Redlich-Kwong [7] Redaguoti

Kur ω yra rūšinis acentrinis koeficientas.

Mes taip pat galime jį parašyti daugianario forma su:

1972 m. G. Soave [9] pakeitė 1 / √ T Redlicho-Kwongo lygties terminas su funkcija α(T,ω), apimanti temperatūrą ir acentrinį koeficientą (gautoji lygtis taip pat žinoma kaip būsenos Soave-Redlich-Kwong lygtis SRK EOS). α Funkcija buvo sukurta taip, kad atitiktų angliavandenilių garų slėgio duomenis, ir ši lygtis šioms medžiagoms tinka gana gerai.

Ypač atkreipkite dėmesį, kad šis pakeitimas pakeičia a šiek tiek, nes T c < displaystyle T_> dabar yra antra galia.

Peneloux ir kt. Vertimas į tomus. (1982) Redaguoti

SRK EOS gali būti parašyta taip

SRK EOS ir kitų kubinių EOS trūkumas yra tas, kad skystas molinis tūris yra žymiai mažiau tikslus nei dujų molinis tūris. Peneloux ir kt. (1982) [10] pasiūlė paprastą šios korekcijos metodą, įvedant tomo vertimą

Pirmojoje versijoje tik V m, SRK < displaystyle V_<>>>> yra išverstas, [11] [12] ir EOS tampa

Skysčio mišinio c parametras apskaičiuojamas pagal

Atskirų naftos dujų ir naftos skysčių komponentų c parametrą galima įvertinti pagal koreliaciją

kur Rackett suspaudžiamumo koeficientas Z RA, i < displaystyle Z _ << text>, i >> galima įvertinti pagal

Puiki savybė naudojant Peneloux ir kt. Apimties vertimo metodą. (1982) teigia, kad tai neturi įtakos garų ir skysčių pusiausvyros skaičiavimams. [14] Šis apimties vertimo metodas taip pat gali būti taikomas kitoms kubinėms EOS, jei koreguojama c parametro koreliacija, kad atitiktų pasirinktą EOS.

Peng – Robinson būsenos lygtis Redaguoti

Pengo ir Robinsono būsenos lygtis (PR EOS) 1976 m. Albertos universitete buvo sukurti Ding-Yu Pengo ir Donaldo Robinsono, siekiant įgyvendinti šiuos tikslus: [15]

  1. Parametrai turėtų būti išreikšti kritinėmis savybėmis ir acentriniu koeficientu.
  2. Modelis turėtų užtikrinti pagrįstą tikslumą netoli kritinio taško, ypač apskaičiuojant suspaudžiamumo koeficientą ir skysčio tankį.
  3. Maišymo taisyklėse neturėtų būti naudojami daugiau nei vienas dvejetainis sąveikos parametras, kuris neturėtų priklausyti nuo temperatūros, slėgio ir sudėties.
  4. Lygtis turėtų būti taikoma visiems gamtinių dujų procesų skysčių savybių skaičiavimams.

Daugeliu atvejų Pengo – Robinsono lygties našumas yra panašus į Soave lygtį, nors paprastai jis yra pranašesnis numatant daugelio medžiagų, ypač nepolinių, skysčių tankį. [16] Pengo – Robinsono lygties išvykimo funkcijos pateikiamos atskirame straipsnyje.

Jai būdingų konstantų analizinės vertės yra šios:

Peng – Robinson – Stryjek – Vera būsenos lygtys Redaguoti

PRSV1 Redaguoti

Patrauklumo termino modifikacija Pengo – Robinsono būsenos lygtyje, paskelbtoje Stryjeko ir Vera 1986 m. (PRSV), žymiai pagerino modelio tikslumą, įvedant reguliuojamą gryno komponento parametrą ir modifikuojant acininio faktoriaus polinomą. [17]

PRSV2 Redaguoti

Vėlesnė modifikacija, paskelbta 1986 m. (PRSV2), dar labiau pagerino modelio tikslumą, į ankstesnę traukos termino modifikaciją įtraukdama du papildomus gryno komponento parametrus. [18]

PRSV2 yra ypač naudingas skaičiuojant VLE. Nors PRSV1 siūlo pranašumą prieš Pengo-Robinsono modelį apibūdinant termodinaminį elgesį, jis vis dar nėra pakankamai tikslus fazės pusiausvyros skaičiavimams. [17] Labai nelinijinis fazės pusiausvyros skaičiavimo metodų elgesys yra linkęs sustiprinti tai, kas kitaip būtų priimtinai mažos klaidos. Todėl, taikant šiuos modelius projektuojant pusiausvyrą, rekomenduojama naudoti PRSV2. Tačiau nustačius pusiausvyros būseną, fazei būdingos termodinaminės vertės pusiausvyroje gali būti nustatomos vienu iš kelių paprastesnių modelių, kurių tikslumas yra pagrįstas. [18]

Reikėtų atkreipti dėmesį į tai, kad PRSV lygtyje parametro pritaikymas atliekamas tam tikroje temperatūros srityje, kuri paprastai yra žemesnė už kritinę temperatūrą. Virš kritinės temperatūros PRSV alfa funkcija yra linkusi skirtis ir tampa savavališkai didelė, užuot linkusi į 0. Dėl šios priežasties virš kritinio taško turėtų būti naudojamos alternatyvios alfa lygtys. Tai ypač svarbu sistemoms, kuriose yra vandenilio, kurio temperatūra dažnai būna aukštesnė nei kritinė. Buvo pasiūlyta keletas pakaitinių vaistų. Kai kurie gerai žinomi yra Twu ir kt. Arba Mathiaso ir Copemano.

Peng-Robinson-Babalola būsenos lygtis (PRB) Redaguoti

Babalola [19] modifikavo Pengo – Robinsono būsenos lygtį taip:

Patrauklus jėgos parametras „a“, kuris buvo laikomas pastoviu slėgio atžvilgiu Peng – Robinson EOS. Modifikacija, kurios parametras „a“ buvo traktuojamas kaip kintamasis, atsižvelgiant į slėgį daugiakomponentėms daugiafazėms didelio tankio rezervuarų sistemoms, turėjo pagerinti PVT modeliavimo kompleksinių rezervuarų skysčių savybių prognozavimo tikslumą. Variacija pavaizduota tiesine lygtimi, kur a1 ir a2 vaizduoja tiesės, atitinkamai gautos, kai parametro „a“ reikšmės braižomos prieš slėgį, nuolydį ir atkarpą.

Ši modifikacija padidina sunkesnių skysčių Peng-Robinson būklės lygties tikslumą, ypač esant slėgio diapazonams (& gt30MPa) ir pašalina poreikį suderinti pradinę Peng-Robinson būklės lygtį. A vertės

Elliott, Suresh, Donohue būsenos lygtis Redaguoti

Ellioto, Sureso ir Donohue (ESD) būsenos lygtis buvo pasiūlyta 1990 m. [20] Lygtimi siekiama ištaisyti Peng-Robinson EOS trūkumą, nes van der Waalso atstumiantis terminas buvo netikslus. EOS atspindi nepolinės molekulės formos poveikį ir gali būti išplėsta iki polimerų, pridedant papildomą terminą (neparodytas). Pati EOS buvo sukurta modeliuojant kompiuterines simuliacijas ir turėtų užfiksuoti esminę fizikos dydį, formą ir vandenilio ryšį.

Būdingas dydžio parametras yra susijęs su formos parametru c < displaystyle c> iki

Atkreipiant dėmesį į Boltzmanno pastoviosios ir visuotinės dujų konstantos sąsajas ir pastebint, kad molekulių skaičių galima išreikšti Avogadro skaičiumi ir moline mase, sumažintą skaičių tankį η < displaystyle eta> galima išreikšti molinis tūris kaip

Modelis gali būti išplėstas įtraukiant komponentus ir nesusijusių komponentų mišinius. Išsami informacija yra J. R. Elliotto, jaunesniojo, darbe. ir kt. (1990). [20]

Redaguoti „Cubic-Plus-Association“

„Cubic-Plus-Association“ (CPA) būsenos lygtis sujungia Soave'o-Redlicho-Kwongo lygtį su asociacijos terminu iš SAFT [21] [22], remiantis Chapmano išplėtimais ir molekulių susiejimo teorijos supaprastinimais dėl Michaelo Wertheimo. [23] Lygtis buvo pradėta kurti 1995 m. Kaip tyrimų projektas, kurį finansavo „Shell“, o 1996 m. Buvo paskelbtas straipsnis, kuriame buvo pateikta CPA būsenos lygtis. [23] [24]

Dieterici būsenos lygtis Redaguoti

kur a yra susijęs su molekulių ir b atsižvelgiama į baigtinį molekulių dydį, panašų į Van der Waalso lygtį.

Sumažintos koordinatės yra:

Virusinė būsenos lygtis Redaguoti

Nors paprastai ne pati patogiausia būsenos lygtis, virusinė lygtis yra svarbi, nes ją galima tiesiogiai išgauti iš statistinės mechanikos. Ši lygtis dar vadinama Kamerlingh Onnes lygtimi. Jei daromos tinkamos prielaidos apie tarpmolekulinių jėgų matematinę formą, kiekvienam iš koeficientų galima sukurti teorines išraiškas. A yra pirmasis virusinis koeficientas, kurio vertė yra pastovi 1 ir teigiama, kad kai tūris yra didelis, visi skysčiai elgiasi kaip idealios dujos. Antrasis virusinis koeficientas B atitinka molekulių porų sąveiką, C į trynukus ir t. Tikslumą galima padidinti neribotą laiką, atsižvelgiant į aukštesnes užsakymo sąlygas. Koeficientai B, C, Dir kt. yra tik temperatūros funkcijos.

Viena tiksliausių būsenos lygčių yra ta, kuri rodoma Benedict-Webb-Rubin-Starling [25]. Tai buvo labai arti virusinės būsenos lygties. Jei eksponentinis terminas jame išplėstas iki dviejų Tayloro terminų, galima gauti virialinę lygtį:

Atkreipkite dėmesį, kad šioje virusinėje lygtyje ketvirtasis ir penktasis viruso terminai yra lygūs nuliui. Antrasis virusinis koeficientas monotoniškai mažėja, kai temperatūra yra žemesnė. Trečiasis viruso koeficientas monotoniškai didėja, kai temperatūra yra žemesnė.

BWR būsenos lygtis Redaguoti

p yra spaudimas ρ yra molinis tankis

Įvairių 15 medžiagų parametrų vertes galite rasti K.E. Starlingas (1973). Skystųjų naftos sistemų skysčių savybės. Persijos įlankos leidybos įmonė.

Lee-Keslerio būsenos lygtis Redaguoti

Lee-Keslerio būsenos lygtis remiasi atitinkamų būsenų principu ir yra BWR būsenos lygties modifikacija. [26]

Statistinės susiejimo skysčių teorijos (SAFT) būsenos lygtys numato molekulių dydžio ir formos bei vandenilio jungimosi poveikį skysčio savybėms ir fazių elgsenai. SAFT būsenos lygybė buvo sukurta naudojant statistinius mechaninius metodus (ypač perturbacijos teoriją), siekiant apibūdinti sąveiką tarp molekulių sistemoje. [21] [22] [27] SAFT būsenos lygties idėją pirmiausia pasiūlė Chapmanas ir kt. 1988 ir 1989 m. [21] [22] [27] Buvo pasiūlyta daugybė skirtingų SAFT būsenos lygties versijų, tačiau visose vartojamos tos pačios grandinės ir asociacijos sąlygos, kurias išvedė Chapmanas. [21] [28] [29] SAFT būsenos lygtys reprezentuoja molekules kaip paprastai sferinių dalelių grandines, kurios sąveikauja viena su kita atstumdamos trumpą atstumą, pritraukdamos ilgą nuotolį ir sujungdamos vandenilį tarp konkrečių vietų. [27] Viena populiari SAFT būsenos lygties versija apima grandinės ilgio poveikį dispersijos sąveikos tarp molekulių ekranavimui (PC-SAFT). [30] Paprastai SAFT lygtys pateikia tikslesnius rezultatus nei tradicinės kubinės būsenos lygtys, ypač sistemose, kuriose yra skysčių ar kietųjų dalelių. [31] [32]

Helmholtzo funkcijos forma Redaguoti

Daugiaparametrinės būsenos lygtys (MEOS) gali būti naudojamos gryniems skysčiams pateikti labai tiksliai tiek skystoje, tiek dujinėje būsenose. MEOS reiškia Helmholtz skysčio funkciją kaip idealių dujų ir likutinių sąlygų sumą. Abu terminai yra aiškūs esant sumažintai temperatūrai ir sumažintam tankiui - taigi:

Sumažintas tankis ir temperatūra paprastai, nors ir ne visada, yra kritinės gryno skysčio vertės.

Kitos termodinaminės funkcijos gali būti gaunamos iš MEOS, naudojant atitinkamus Helmholtz funkcijos darinius, todėl, kad MEOS integruoti nereikia, yra nedaug apribojimų dėl idealių ar liekamųjų terminų funkcinės formos. [33] [34] Paprastai MEOS naudoja daugiau nei 50 skysčiui būdingų parametrų, tačiau gali tiksliai parodyti skysčio savybes. Šiuo metu MEOS galima įsigyti apie 50 dažniausiai naudojamų pramoninių skysčių, įskaitant šaldymo agentus. IAPWS95 vandens būsenos pamatinė lygtis taip pat yra MEOS. [35] Taip pat yra MEOS mišinių modelių.

Vienas tokios būsenos lygties pavyzdžių yra Spano ir Wagnerio pasiūlyta forma. [33]

Tai yra šiek tiek paprastesnė forma, kurią ketinama daugiau naudoti techninėse srityse. [33] Būklės lygtys reikalauja didesnio tikslumo ir naudoja sudėtingesnę formą su daugiau terminų. [35] [34]

Sustiprinta būsenos lygtis Redaguoti

Svarstant vandenį esant labai aukštam slėgiui, tokiose situacijose kaip povandeniniai branduoliniai sprogimai, garsinio šoko litotripsija ir sonoliuminescencija, dažnai naudojama sugriežtinta būsenos lygtis [36]:

Lygtis nurodyta šioje formoje, nes garso greitį vandenyje nurodo c 2 = γ (p + p 0) / ρ < displaystyle c ^ <2> = gama left (p + p ^ <0> dešinė) / rho>.

Taigi vanduo elgiasi taip, lyg tai būtų idealios dujos jau esant maždaug 20 000 atmosferų (2 GPa) slėgiui, ir paaiškina, kodėl vanduo paprastai laikomas nesuspaustu: kai išorinis slėgis keičiasi nuo 1 atmosferos iki 2 atmosferų (nuo 100 kPa iki 200 kPa), vanduo elgiasi taip, kaip būtų idealus dujoms keičiantis. nuo 20 001 iki 20 002 atmosferos (nuo 2000,1 MPa iki 2000,2 MPa).

Ši lygtis neteisingai prognozuoja specifinę vandens šiluminę galią, tačiau yra nedaug paprastų alternatyvų sunkiems neizentropiniams procesams, tokiems kaip stiprūs sukrėtimai.

Ultrareliatyvistinė būsenos lygtis Redaguoti

Ultrareliacinis skystis turi būsenos lygtį

Ideali Bose būsenos lygtis Redaguoti

Idealių Bose dujų būsenos lygtis yra

p V m = R T Li α + 1 (z) ζ (α) (T T c) α < displaystyle pV_= RT

kur α yra eksponentas, būdingas sistemai (pvz., jei nėra potencialo lauko, α = 3/2), z yra exp (μ/kT) kur μ yra cheminis potencialas, Li yra polilogaritmas, ζ yra Riemanno zetos funkcija ir Tc yra kritinė temperatūra, kuriai esant pradeda susidaryti Bose – Einšteino kondensatas.

Jones – Wilkins – Lee sprogmenų būsenos lygtis (JWL lygtis) Redaguoti

būsenos lygtis iš Jones – Wilkins – Lee yra naudojamas sprogmenų detonacijos produktams apibūdinti.


1. ĮVADAS

Mes gyvename labai įdomiu laikotarpiu, kad suprastume kosmosą. Per pastarąjį dešimtmetį buvo kaupiami ir išsamiai analizuojami kokybiški kosmologiniai duomenys [pvz. Ia tipo supernovos (SNeIa), kosminio mikrobangų fono (CMB) temperatūros svyravimai, galaktikų spiečių susikaupimas, didelioz galaktikų sankaupos ir kt.] primygtinai pasiūlė, kad gyventume plokščioje ir greitėjančioje visatoje, kurioje yra bent tam tikra šaltoji tamsioji materija (CDM), paaiškinančiai ekstragalaktinių šaltinių grupes, ir papildomas komponentas, veikiantis kaip neigiamas slėgis, kaip, pavyzdžiui, vakuumo energija [arba bendresne prasme vadinamosios tamsiosios energijos (DE)] paaiškinti pastebėtą pagreitintą kosminį išsiplėtimą (pvz., Riess et al. 1998, 2004 Perlmutter et al. 1999 Schuecker ir kt. 2003 Spergel ir kt., 2003, 2007 Tonry ir kt., 2003 Allenas ir kt., 2004 Tegmarkas ir kt., 2004 Basilakos ir amp, Plionis, 2005, 2006, 2009, toliau BP09 Seljak ir kt., 2005 Blake ir kt., 2007 Davis ir kt. 2007 m., toliau D07 Riess ir kt., 2007 Wood-Vasey ir kt., 2007 Kowalski ir kt., 2008 Hicken ir kt., 2009 Komatsu ir kt., 2009 Amanullah ir kt., 2010 ir kt.).

Akivaizdu, kad vienas iš svarbiausių klausimų kosmologijoje ir kosminės struktūros formavime yra susijęs su DE prigimtimi (taip pat ar tai yra vienintelis pastebėto pagreitinto Visatos išsiplėtimo paaiškinimas) ir jo aiškinimu pagrindinėje fizinėje teorijoje (pvz., Albrechtas ir kt., 2006 Peacockas ir kt., 2006). Šiuo tikslu siūloma daug labai brangių eksperimentų ir (arba) jie yra įvairiuose vystymosi etapuose, t. tamsiosios energijos tyrimas: http://www.darkenergysurvey.org/, Jungtinė tamsiosios energijos misija: http://jdem.gsfc.nasa.gov/, „Hobby – Eberly“ teleskopo tamsiosios energijos eksperimentas: http: // www. as.utexas.edu/hetdex/, „Panoramic Survey“ teleskopas ir greito reagavimo sistema: http://pan-starrs.ifa.hawaii.edu, Euclid: http://sci.esa.int/euclid/, Wfirst: http : //wfirst.gsfc.nasa.gov ir kt.

Todėl svarbiausia DE aptikimo ir kiekybinio įvertinimo svarba mūsų supratimui apie kosmosą ir pagrindinėms teorijoms reiškia, kad skirtingų eksperimentų rezultatai turėtų būti ne tik kruopščiai tikrinami, bet ir turėtų būti sukurti alternatyvūs, dar didesnės rizikos, metodai DE matuoti. ir taip pat pritaikyta. Ši paradigma patenka į dabartinį mūsų darbą. Iš tiesų, mes norime apriboti DE būsenos lygtį, naudodami atskirai ir kartu su „Hubble“ ryšiu ir didelio masto struktūros (grupių) metodais, tačiau naudodami alternatyvius kosminius žymenis abiem šiems komponentams.

Taigi, naudojant H ii galaktikas, mes stebėsime Hablo ryšį, kurį galima pastebėti esant didesniems raudonos spalvos poslinkiams, nei pasiekta pagal dabartinius SNIa tyrimus, iki atstumų, kur Hablo ryšys yra jautresnis kosmologiniams parametrams. H ii galaktikos gali būti naudojamos kaip standartinės žvakės (Melnick, Terlevich & amp Terlevich 2000 Melnick 2003 Siegel ir kt. 2005 Plionis ir kt. 2009) dėl jų greičio sklaidos, Hβ ryškumo ir metališkumo koreliacijos (Melnick 1978 Terlevich & amp Melnick 1981 Melnickas, Terlevichas ir amp. Molesas 1988). Be to, tokių alternatyvių aukšto lygioz žymeklis leis mums patikrinti SNIa rezultatus ir pakelti bet kokias abejones, kylančias dėl to, kad jie yra vieninteliai Hablo ryšio žymenys, naudojami iki šiol [dėl galimo gama spindulių pliūpsnio (GRB) naudojimo, žr. Ghirlanda, Ghisellini & amp Firmani 2006 Basilakos & amp Perivolaropoulos 2008 Ghirlanda 2009 ir nuorodos jose]. 1

Be to, mes naudojame rentgeno spinduliais pasirinktus aktyvius galaktikos branduolius (AGN), kai vidutinis raudonos poslinkis yra ∼1, kuris yra maždaug jų raudonojo poslinkio piko didžiausias (žr. Basilakos ir kt. 2004, 2005, Miyaji ir kt., 2007), kad nustatyti jų grupavimo modelį ir palyginti su tuo, kurį numatė skirtingi kosmologiniai modeliai (žr. Matsubara 2004).

Nors kiekvienas iš anksčiau aptartų mūsų projekto komponentų (Hablo ryšys naudojant H ii galaktikas ir rentgeno AGN kampinis / erdvinis susitelkimas) suteiks įdomių ir gana griežtų kosmologinių parametrų suvaržymų, ypač tikimės, kad mes žymiai sumažinsime atitinkamos atsitiktinės ir sisteminės klaidos, tai yra šių dviejų tipų analizių tikimybė, kuri leidžia mums nutraukti žinomas degeneracijas tarp kosmologinių parametrų ir labai tiksliai nustatyti DE būsenos lygtį (žr. Basilakos ir amp Plionis 2005, 2006 BP09).

Žemiau pateikiame dviejų metodų komponentų pagrindinę metodiką ir lūkesčius. 2 skyriuje pateikiame pirmojo komponento detales, kurdami Monte Karlo modeliavimo metodą, skirtą galiausiai pateikti nykščio taisyklę, kiek H ii galaktikų mums reikia norint gauti tam tikrą DE būsenos parametrų neapibrėžties lygties lygį. Mes taip pat kuriame metodą, skirtą atsižvelgti į gravitacinio objektyvo poveikį, kuris esant tokiems dideliems raudonos spalvos poslinkiams yra reikšmingas. 3 skyriuje pateikiame antrojo komponento detales, o 4 skyriuje pateikiame dviejų komponentų sujungimo pavyzdį, kad būtų pateikti kosmologiniai apribojimai. Išvados išvardytos 5 skyriuje.


Politropas

kur P yra slėgis, ρ yra tankis, o K - proporcingumo konstanta. [1] konstanta n yra žinoma kaip politropinio indekso pastaba, tačiau politropinis indeksas turi alternatyvų apibrėžimą, kaip ir n kaip rodiklis.

Šio santykio nereikia aiškinti kaip būsenos, kuri teigia, lygties P kaip ρ ir T (temperatūra), tačiau konkrečiu atveju, kurį apibūdina politropo lygtis, tarp šių trijų dydžių yra ir kitų papildomų ryšių, kurie kartu lemia lygtį. Taigi, tai tiesiog ryšys, išreiškiantis prielaidą apie slėgio pokytį spinduliu, atsižvelgiant į tankio su spinduliu kitimą, suteikiant Lane – Emdeno lygties sprendimą.

Kartais žodis politropas gali reikšti būsenos lygtį, panašią į aukščiau esantį termodinaminį santykį, nors tai potencialiai painu ir to reikia vengti. Pageidautina, kad pats skystis būtų nurodytas kaip politropinis skystis (priešingai nei Lane – Emdeno lygties sprendimas). Politropinio skysčio būsenos lygtis yra pakankamai bendra, kad tokie idealizuoti skysčiai būtų plačiai naudojami ne tik ribotoje politropų problemoje.

Įrodyta, kad politropinis eksponentas (politropo) yra lygiavertis tūrinio modulio slėgio išvestinei [2], kur taip pat įrodytas jo ryšys su Murnaghano būsenos lygtimi. Todėl politopo santykis geriausiai tinka sąlyginai žemo slėgio (žemiau 10 7 Pa) ir aukšto slėgio (virš 10 14 Pa) sąlygoms, kai tūrinio modulio slėgio darinys, kuris yra lygiavertis politropo indeksui, yra beveik pastovus.

  • Indeksas n = 0 politropas dažnai naudojamas ir uolingoms planetoms modeliuoti. [kodėl?] yra gerai modeliuojami politropų, kurių indeksas yra tarp n = 0,5 ir n = 1 .
  • Politropas, kurio indeksas n = 1,5, yra geras visiškai konvekcinių žvaigždžių šerdžių [3] [4] (kaip ir raudonųjų milžinų), rudųjų nykštukų, milžiniškų dujinių planetų (pvz., Jupiterio) modelis. Pagal šį indeksą politropinis rodiklis yra 5/3, tai yra monatominių dujų šilumos talpos santykis (γ). Dujinių žvaigždžių (sudarytų arba iš jonizuoto vandenilio, arba iš helio) vidų tai reiškia idealus dujų artėjimas natūralios konvekcijos sąlygomis.
  • Politropas, kurio indeksas n = 1,5, taip pat yra geras mažos masės baltųjų nykštukų modelis, atsižvelgiant į nereliatyvistinės išsigimėlių būsenos lygtį. [5]
  • Politropas, kurio indeksas n = 3, yra geras didesnių masių baltųjų nykštukų šerdžių modelis pagal reliatyvistinės išsigimėlių būsenos lygtį. [5]
  • Politopas, kurio indeksas n = 3, paprastai taip pat naudojamas modeliuojant pagrindinius sekvencestarus, tokius kaip mūsų Saulė, bent jau radiacijos zonoje, atitinkantį standartinį Eddingtono žvaigždžių struktūros modelį. [6]
  • Politropo, kurio indeksas n = 5, spindulys yra begalinis. Tai atitinka paprasčiausią tikėtiną savarankiškos žvaigždžių sistemos modelį, kurį pirmą kartą tyrė Arthuras Schusteris 1883 m., Ir jis turi tikslų sprendimą.
  • Politropas, kurio indeksas n = ∞, atitinka tai, kas vadinama an izoterminė sfera, tai yra izotermiškai savaime gravituojanti dujų sfera, kurios struktūra yra identiška nesusidūrusių žvaigždžių sistemos, kaip kamuolinis spiečius, struktūrai. Taip yra todėl, kad idealioms dujoms temperatūra yra proporcinga ρ 1 / n, taigi begalinė n atitinka pastovią temperatūrą.

Apskritai, didėjant politropiniam indeksui, tankio pasiskirstymas yra labiau pasveriamas kūno centro link (r = 0).


Vartotojo apibrėžta būsenos lygtis

Vartotojo apibrėžta būsenos lygtis suteikia bendrą galimybę modeliuoti medžiagų tūrinį atsaką per vartotojo paprogramę VUEOS (žr. VUEOS). Būties lygtis apibrėžia slėgį kaip srovės tankio, ρ ir vidinės energijos, tenkančios masės vienetui, funkciją E m: p = f ⁢ (ρ, E m). Abaqus / Explicit išsprendžia energijos lygtį kartu su būsenos lygtimi, naudodamas iteracinį metodą. The pressure stress, p , and the derivatives of the pressure with respect to the internal energy and to the density, ∂ ⁡ p / ∂ ⁡ E m and ∂ p / ∂ ρ , must be provided by user subroutine VUEOS . The latter is needed for the evaluation of the effective bulk modulus of the material, which is necessary for the stable time increment calculation.

Optionally, you can also specify the number of property values needed as data in the user subroutine as well as the number of solution-dependent variables (see About user subroutines and utilities).

The user-defined equation of state is not supported in Abaqus/CAE .

Initial state

You need to make sure that the initial specific energy, the initial stress, and the initial density satisfy the equation of state. If you do not specify the initial conditions, Abaqus/Explicit assumes that the material is at its reference state:

Use either or both of the following options to define the initial specific energy and/or initial pressure stress:

Use the following option to define the initial density:

Initial specific energy is not supported in Abaqus/CAE .


Extended Data Fig. 1 Schematic of the radiographic analysis method.

Normalized transmission intensity of an X-ray radiograph versus changes in compression and opacity. A given transmission corresponds to a range of possible compressions and opacities (black dashed curves). Density at the shock front is further constrained through knowledge of the initial material density ahead of the shock front and known mass contained within a region on the radiograph corresponding to a Ge marker layer in the sample. This further constrains the opacity and is included in the analysis as the shock traverses the sample. An example shock trajectory is denoted by a red dashed curve.

Extended Data Fig. 2 Comparison of two C9(H)10 shock Hugoniot measurements.

Measured pressure versus mass density (ρ) normalized to the initial density (ρ0) along the shock Hugoniot. Green, data from shot N130103-009-999 fielded at 24 K red (from Fig. 3), shot N130701-002-999 fielded at ambient temperature. Also plotted are the theoretical Hugoniots for AA-DFT and AA-TFD at 24 K (ρ0 = 1.136 g cm −3 ), indicating that the initial density conditions are predicted to access approximately the same Hugoniot states at high pressure.

Extended Data Fig. 3 Sensitivity of the theoretical Hugoniot to fluorine.

Calculations show insensitivity of the theoretical Hugoniot (AA-DFT 33,34,35 ) to fluorobenzene solvent (C6H5F) for concentrations up to 20%, corresponding to 1% atomic fraction of fluorine (green curve). Concentrations of 0.5% F (red curve) and 0% F (blue curve) are also shown, but not visibly distinguishable.

Extended Data Fig. 4 Simulations of the shock-front Hugoniot.

Extracted shock-front compressions and pressures from radiation hydrodynamic simulations 38 of the experimental platform (red points). The theoretical shock Hugoniot 33,34,35 input to the simulations is also shown with ±2% deviation in compression from the input Hugoniot (black curves).

Extended Data Fig. 5 Extended C9(H)10 shock Hugoniot measurements.

Measured pressure versus mass density (ρ) normalized to the initial density (ρ0) along the shock Hugoniot from this work (red and purple curves and shaded region). The purple curve corresponds to the extended dataset that may be impacted by radiative shock-front preheat. Also plotted are previous experimental data and theoretical modelling of the Hugoniot (see Fig. 3).


1. Introduction

[2] It is generally accepted that magnesium silicate perovskite, with the chemical composition of (Mg,Fe 2+ ,Fe 3+ )(Si,Al)O3, is the most dominant phase in the Earth's lower mantle [e.g., Irifune, 1994 ]. Its P-V-T equation of state (EOS) and thermoelastic parameters are essential to constraining the chemical composition and temperature of the lower mantle, by interpreting the seismological properties [e.g., Anderson et al., 1995 ]. Although magnesium silicate perovskite contains FeO, Fe2O3, and Al2O3 components, MgO and SiO2 are the most abundant end components, accounting for above 90 mol% of the lower mantle. Thus P-V-T EOS of pure MgSiO3 perovskite should have great importance as a primary reference for mineralogy of the lower mantle.

[3] Because of its geophysical importance, numerous high-pressure and high-temperature in situ X-ray diffraction studies of MgSiO3 perovskite using synchrotron radiation sources can be found in the literature, so that the thermoelastic properties of MgSiO3 perovskite are being constrained [e.g., Funamori et al., 1996 Fiquet et al., 1998 , 2000 Katsura et al., 2009a ]. However, thermal properties remain uncertain because of uncertainties in pressure scales and/or differences in high-pressure techniques.

[4] Funamori et al. [1996] first carried out high-pressure and high-temperature in situ volume measurements for MgSiO3 perovskite up to 29 GPa and 2000 K under the stability field of perovskite by using a sintered-diamond multianvil apparatus (SDMA). Following their study, Fiquet et al. [1998 , 2000] conducted similar measurements up to 57 GPa and 2500 K, 94 GPa and above 2500 K, respectively, by using laser-heated diamond anvil cells (LHDAC). After their studies, Katsura et al. [2009a] reported results of P-V-T measurements up to 53 GPa and 2300 K using SDMA, on the basis of developments in situ measurements using a large volume press [e.g., Katsura et al., 2004 ] and sintered-diamond anvils [e.g., Tange et al., 2008 Ito et al., 2010 ].

[5] Among these previous studies, Funamori et al. [1996] and Katsura et al. [2009a] used MgO as pressure standards, and their P-V-T data sets are mutually consistent if a same EOS of MgO is used as the pressure scale. However, Fiquet et al. [1998 , 2000] used Pt as a pressure standard [ Jamieson et al., 1982 ], so that consistent pressure scales of MgO and Pt are necessary to compare their results to those by Funamori et al. [1996] and Katsura et al. [2009a] accurately. Although such consistent pressure scales have long been actively pursued [e.g., Fei et al., 2007 ], it remains difficult to discuss absolute accuracies of the standard P-V-T EOS even for a single material, because of inconsistent treatments of secondary experimental data and functional forms of EOS models [e.g., Tange et al., 2009a ].

[6] Recently, Tange et al. [2009a] proposed an analytical method which circumvents the pressure scale related problems, and determined a primary EOS of MgO for a pressure scale applicable up to 200 GPa. Here we report a P-V-T EOS of MgSiO3 perovskite based on this EOS of MgO, and propose the pair as a primary reference for mineralogy of the lower mantle.


Equation of state

An equation that relates the pressure p, volume V, and thermodynamic temperature T of an amount of substance n. The simplest is the ideal gas law:

kur R is the universal gas constant. Applying only to ideal gases, this equation takes no account of the volume occupied by the gas molecules (according to this law if the pressure is infinitely great the volume becomes zero), nor dzoes it take into account any forces between molecules. A more accurate equation of state would therefore be

(p+k)(Vnb) = nRT,

kur k is a factor that reflects the decreased pressure on the walls of the container as a result of the attractive forces between particles, and nb is the volume occupied by the particles themselves when the pressure is infinitely high. In van der Waals's equation, proposed by the Dutch physicist J. D. van der Waals (1837–1923),

k = n 2 a/V 2 ,

kur a is a constant. This equation more accurately reflects the behaviour of real gases several others have done better but are more complicated.


EQUATION OF STATE

The equation of state relates the pressure p, volume V and temperature T of a physically homogeneous system in the state of thermodynamic equilibrium f(p, V, T) = 0. The equation called the thermic equation of state allows the expression of pressure in terms of volume and temperature p = p(V, T) and the definition of an elementary work δA = pδV at an infinitesimal change of system volume δV. As distinguished from thermic equations, the caloric equation of state specifies the dependence of the internal energy of the system E on volume V and temperature T (either p and V or p and T).

The equation of state is a fundamental characteristic of a substance which makes possible the application of the general principles of thermodynamics and hydrodynamics to particular physical objects.

Equations of state cannot be derived from thermodynamic relations alone but rely also on either experimental measurements or on theoretical calculations by the methods of statistical physics, using various models of interparticle interactions in a system. The First Law of Thermodynamics suggests that there exists a caloric equation of state while the Second, a relation between the thermodynamic and the caloric equations of state in the form ∂E/∂VT = T(∂p/∂T)V − p. The thermodynamic relationship allows the determination of the thermic and caloric equations of state, if the thermodynamic potential, specified in the form of a function of appropriate variables, is known. Thus, for instance, for Helmholtz free energy F as a function of volume V and temperature T, we have

A simple example of the equation of state for gases is the Clapeyron-Mendeleev equation pν = RT, where R is the gas constant and v is the volume of one mole. For real gases, and considering the interaction between particles, virial equations of state pν = RT(1 + B(T)/ν + C(T)/ν 2 + . ) are widely used, where B(T), C(T), . , are the second, third, etc. virial coefficients. These coefficients are the functions of temperature alone and, depend on the forces of two, three or more particles interacting in the system. This equation of state for real gases is the most theoretically-substantiated one, but the calculation of higher order virial coefficients is limited by the difficulties presented by multiple integrals. With a rise in density, the character of the convergence of the virial expansion also deteriorates drastically. In dense systems, nonadditivity of interparticle interaction becomes significant which, when considered, changes drastically the values of the higher order virial coefficients.

A qualitatively accurate picture of a phase diagram of real gases yields the van der Waals equation of state (p + a/ν 2 )(ν − b) = RT, in which a and b are constants whose values are determined from the adequate description of experimental data. This equation considers both the existence of attractive forces between the gas molecules, which brings about a decrease in pressure, and the presence of repulsive forces, which appears when the distances between molecules are small, preventing an infinite compression of the gas. The van der Waals equation of state has made it possible for the first time to obtain a thermodynamically-consistent description of a phase gas-liquid transition, which terminates at the critical point with parameters pc, νc, and Tc —where the difference between the liquid and gaseous states disappears. If the equation of state is represented in a reduced form, i.e., in dimensionless parameters p/pc, ν/νc, T/Tc, then the equations of state of various substances differ only slightly (the so-called law of corresponding states) within the limits of a definite group (simple liquids, alkali metals) over a reasonably large near-the-critical area.

The weak dependence of liquid structure on temperature at constant density is the decisive factor in creating models of equations of state for a liquid.

Molten metals, ionic systems and dielectrics, having substantially different attractive forces, and this testifies to the small role these forces play in forming the equilibrium properties of a liquid. These facts reveal the leading contribution of repulsive potential, while attractive forces and accounting for the temperature effects in a liquid bring about only minor corrections. A simple potential of interaction of solid spheres with radius a is widely used as a model for the description of repulsive forces in the system:

which characterizes the limit state of a highly-compressed and hot liquid. The model for hard spheres, being the simplest nontrivial model of the equation of state of a liquid, is widely used in Integral Equations, numerical Monte-Carlo methods and in molecular dynamics. Using different methods, the calculation of a system of particles with the potential of solid spheres is made over the entire range of a liquid state. This can be represented with high accuracy by the Pade analytic Carnahon-Starling approximation

which has a free parameter ν = 4πa 3 n/3 (n is the number density of the particles) that characterizes the degree of solid sphere packing. It must be noted that numerical calculations of the potential of solid spheres, with density approximating the dense packing of spheres ν ≤ 1, have shown a tendency towards the appearance of a long-range order in the system which is associated with crystallization.

Considerable progress in describing the thermodynamic properties of a liquid phase have been attained with the help of a soft sphere model. This model uses a power potential of repulsion

which is also the basis for carrying out numerical calculations by the Monte-Carlo method and by the molecular dynamics method. The resulting calculations of the equation of state of soft spheres is described for any 4 ≤ n ≤ 12 by the approximating formula

where η = a 3 n/√2 and ε and n are the additional free parameters of the model. The power potential of repulsion, like the potential of hard spheres, brings about crystallization—whose characteristics depend strongly on the value of n.

A modified van der Waals’ model based on the combination of an approximate formula for the potential of soft spheres and an approximated average field considerably improves the description of the thermodynamic properties of a dense gaseous phase and a liquid. Greater accuracy in describing experimental data is achieved by using the results of calculations for the thermodynamics of a system of soft spheres and introducing adjusting parameters into the average field model. The modified van der Waals’ equations of state can be equally useful for calculating the thermodynamic properties of liquids and dense gaseous phase. They have asymptotics of an ideal gas, which makes it possible to use them successfully for expressing a wide-range of semiempirical equations of state. These models can also define the equilibrium liquid-vapor line and the critical point. But as a whole, they are quantitative and do not give a detailed description of the fine characteristics of a liquid in particular, the dual correlation function g(r) which defines all equilibrium properties of a liquid phase for a given potential of interparticle interaction φ(r).

The density of a liquid near the melting point curve differs slightly (by 10–20%) from that of a crystal, which explains the success of equations of state for describing solid-state models. The notion of liquid molecules localizing in a small area in space under the action of an average field of neighbors forms the basis for the lattice model, or for the unconfined space theory. Such an approach, however, is applied only for a strongly-compressed liquid at low temperatures when kinetic energy forms a small fraction of total energy, a condition which, in general, does not correspond to a liquid state. A combination of solid-state and gaseous notions brings about a multistructural model, according to which an actual liquid is an equilibrium mixture of gaseous and solid bodies, whose properties can be described by a dual distribution function. Similar notions are used in a cell model where the liquid is divided into molecular cells, which are filled depending on thermodynamic conditions. Such models describe only schematically the thermodynamic properties of a real liquid.

Models of hard and soft spheres properly take into account the basic qualitative characteristics of multiparticle interactions in a dense liquid. This makes it possible to use them as a zero approximation model in calculating equations of state. The details of real potential of interparticle interaction are carried out within the framework of the thermodynamic perturbation theory, the chaotic phase approximation or on the basis of the variational method of perturbation theory. The variational method is most convenient for calculating the thermodynamics of particular liquids over a wide range of parameters and is especially effective in describing the properties of a dense liquid phase. Gibb’s-Bogolyubov’s inequality is used in finding the free energy F(V, T) of a system of particles with an arbitrary potential of interaction φ(r)

where F0 and g0 are the free energy and a dual correlation function of the original system with interparticle interaction potential φ0(k), respectively. The equation of state of an arbitrary system is defined by averaging the perturbation over the structural characteristics of an initial approximation and further minimizing a free parameter of this approximation λ according to (∂F/∂λ)V,T = 0. It is good practice to take a system of solid spheres as the zero approximation, for there are analytical expressions defining the free energy and dual correlation functions. This allows the explicit calculation of the thermodynamic characteristics of an arbitrary potential of the interparticle interaction. The radius of solid spheres is, in this case, the minimizing parameter λ. But at large densities, use of the solid spheres system as the initial one brings about essential errors, caused by the strong repulsion of particles at small distances. The choice, as the zero approximation model , of “soft” power potential φ(r) = C/r 12 is usually favored here. Use of the soft and solid spheres model for the original approximation results in equations of state of inert liquids or molecular gases and simple metals that are of high accuracy.

The development of the variational method of perturbation theory for calculating the equation of state of liquid metals has led to the use of the results obtained from the Monte-Carlo method for a single-component plasma as the zero approximation. The model of a single-component plasma is based on numerical simulation of a simple system of point-like particles with Coulomb interaction, located, for its stability, on a homogeneous background of a balance charge with an opposite sign. In this case, there exists an analytical expression for F0, with the Coulomb nonideality parameter Γ = e/kTrws as the minimizing quantity, and the average interparticle distance rws = (3/4πn) 1/3 . Results of calculating the equations of state have shown that for liquids with slight repulsion (alkali metals, solt melts, alloys), a single-component plasma model is best suited. It should be noted that the final expression for the equation of state of liquid metals—in addition to the configurational term determined by the variational method, the expression for energy—must include terms according to the Coulomb interaction energy and the kinetic energy of particles of the system, whose total value at high temperatures becomes significant. In simple liquids, the same holds true when accounting for electron excitation at high temperatures.

Additional information on equations of state are given in the article PVT Relationships.

To form equations of state for a solid body, phonon and electron components are distinguished and are considered separately to a large degree. A distinguishing feature of solid bodies is their atoms which oscillate about the nodes of a crystal lattice. A quasi-harmonic model of a solid body is based on the representation of a crystal lattice in the form of 3N oscillators. The most widespread interpolation of the Debye equation for a solid body has been obtained in the approximation of a sound spectrum of heat variations, which yields the following expression for heat components of energy and pressure:

where is the Debye function, θD is the Debye temperature dependent on volume and γ = − d lnθD/d lnV is the Grüneisen coefficient. The Debye function D(θD/T) ensures in this case a low-temperature cν ∞ T 3 and a high-temperature asymptotes for the heat capacity of a lattice. In the Debye model, the solid body is taken to be homogeneous and isotropic, thermal excitations of a crystal boil down to sound waves. External pressure in this case only influences the boundary temperature, while the spectrum itself remains harmonic.

Calculations for an electron spectrum are usually made within the framework of the zone model. Here the crystal presents an ideal periodic structure with immobile cores in the cell nodes and each electron moves in a periodic self-consistent potential, which allows expressing the wave function of the whole system through single-electron Bloch’s functions. The distinction between the models of equations of state reduces to the methods of calculating single-electron functions within the elementary atomic cells, and to the methods of joining the conditions at their boundaries. In the widely-used Wigner-Seitz model of spherical cells, a complete self-consistent problem is replaced by the solution of the Chariri-Fock equation for a single cell with Bloch’s boundary conditions. In doing this, zones of allowed states for electrons arise. The association of pressure with wave functions on the cell boundary makes it possible to determine the equation of state of the system.

Under normal conditions, the approach of spherical cells is too schematic besides, a considerable contribution is made by the effects of exchange and correlation interactions. For this reason, methods of adjoined flat or spherical waves, linear orbitals, etc., have been developed which accounted for the real shape of an elementary crystal cell. Exchange-correlation effects are accounted for in local density approximation.

A pseudo-potential model of a solid body is based on a true potential interaction of an electron with multicharge ion onto a simplified, single-particle. A consecutive theory of pseudo-potentials accounting for two-, three-, etc., ionic interaction through conduction electrons is a rigorous expansion into a series in terms of the parameter of electron-ion interaction . The application of a pseudo-potential approach at high degrees of compression is limited by the effect of ion core overlapping.

The increase in temperature brings about the appearance—both in gas and in liquid—of free charges, with the long-range character of the Coulomb interaction making significant its contribution into the equation of state over a large area of thermodynamic parameters. In a rarefied plasma, a separate description of states of discrete and continuous spectra—which define the internal structure of atoms and ions as well as the character of the behavior of free electrons—is practiced. Such an approximation forms the basis of a “chemical” model of plasma in which the number of particles of <>j> kind is determined from the conditions of chemical equilibrium

where μj is the chemical potential of particles, and all the hypotheses specifying structure and interaction are involved in the expression for total free energy. This expression includes the kinetic energy of ions and electrons of a continuous spectrum, the contribution of the discrete spectrum and various corrections for interparticle interaction. At extremely high temperatures of the plasma or with strong rarefaction, the energy contribution of a photon gas F1 = (4σ3c)VT 4 (σ is the Stefan-Boltzmann constant and c is the velocity of light).

REFERENCES

Godwall, B. K., Sikka, S. K., and Chidambaram, R. (1983) Equation of state theories of condensed matter up to about 10 TPa Fiz. Rep . 102. DOI: 10.1016/0370-1573(83)90014-5

Ross, M. 1985. Matter under extreme conditions of temperature and pressure Rep. Prog. Phys ., 48.


Žiūrėti video įrašą: Agregatinių būsenų kitimas. (Sausis 2022).